2024-2025学年辽宁省大连市高一上册期中考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年辽宁省大连市高一上册期中考试数学检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了 已知集合，，，则， 函数， 若，则的大小关系为， 已知命题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 由实数所组成的集合中，最多含有元素的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
3. 给定函数①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
4. 函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则的大小关系为（ ）
A B. C. D.
6. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，这次会议是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家，向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会，相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步.假设在2022年以后，我国每年的GDP（国内生产总值）比上一年平均增加8%，那么最有可能实现GDP翻两番的目标的年份为（参考数据：，）（ ）
A. 2032B. 2035C. 2038D. 2040
7. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根(精确度为)可以是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知命题：，，若为真命题，则的值可以为（ ）
A. B. C. 0D. 3
11. 已知函数，则使的可以是（ ）
A. B. C. D.
三､填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分.）
12. ，则__________.
13. 已知是定义域为的偶函数，当时，，那么，不等式的解集是__________.
14. 已知是一次函数，且满足，则函数解析式为______
四､解答题（本大题共5小题，15题13分，16，17题15分，18，19题共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 计算：
（1）
（2）
16. 已知函数.
（1）求函数的定义域及的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明.
17. 已知二次函数的两个零点为和，且．
（1）求函数解析式；
（2）解关于的不等式．
18. 已知函数的图象经过点.
（1）求，并比较与的大小；
（2）求函数值域.
19. 已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）．
（1）求函数f（x）定义域并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）记函数g（x）= +3x，求函数g（x）的值域；
（3）若不等式 f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．
2024-2025学年辽宁省大连市高一上学期期中考试数学检测试题
一､单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先解二次不等式得出集合，然后利用集合交集运算得出集合，最后判断元素与集合间的关系.
【详解】由，
又，
所以，
所以，故选项A错误，
，故选项B正确，
，故选项C错误，
，故选项D错误，
故选：B.
2. 由实数所组成的集合中，最多含有元素的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【正确答案】A
【分析】从集合中元素的互异性出发，按照、、分类，即可得解.
【详解】解：由于，，
因此当时，，集合含有1个元素；
当时，，，集合有2个元素；
当时，，，集合有2个元素；
所以集合中最多含有元素的个数为2.
故选：A
3. 给定函数①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
【正确答案】B
【分析】利用幂函数、对数函数、一次函数的单调性逐项判断即可得.
【详解】对①：在上单调递增，故①错误；
对②：在上单调递减，故②正确；
对③：当时，，故在上单调递减，故③正确；
对④：在上单调递增，故④错误.
故选：B.
4. 函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据题意，令，代入计算，即可得到定点坐标.
【详解】令，可得，则，故定点的坐标为.
故选：D
5. 若，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数单调性以及中间量即可比较大小.
【详解】，，，
所以，
故选：B.
6. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，这次会议是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家，向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会，相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步.假设在2022年以后，我国每年的GDP（国内生产总值）比上一年平均增加8%，那么最有可能实现GDP翻两番的目标的年份为（参考数据：，）（ ）
A. 2032B. 2035C. 2038D. 2040
【正确答案】D
【分析】由题意，建立方程，根据对数运算性质，可得答案.
【详解】设2022年我国GDP（国内生产总值）为a，在2022年以后，每年的GDP（国内生产总值）比上一年平均增加8%，则经过n年以后的GDP（国内生产总值）为，
由题意，经过n年以后的GDP（国内生产总值）实现翻两番的目标，则，
所以，
所以到2040年GDP基本实现翻两番的目标.
故选：D.
7. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】分和讨论，结合恒成立问题分析求解即可.
【详解】当时，原不等式为：，对恒成立；
当时，原不等式恒成立，需，解得，
综上得．
故选：C．
8. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根(精确度为)可以是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】由零点存在性定理结合二分法的定义即可得出答案.
【详解】由表格可得，函数的零点在之间．
结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.
故选：C.
二､多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AC
【分析】根据同一函数的定义域，对应法则相同，依次判断即可.
【详解】对于A：两个函数定义域都为，且，对应法则一样，故为同一函数，故A正确；
对于B：定义域为，定义域为，不为同一函数，故B错误；
对于C：两个函数定义域都为，且，对应法则一样，故为同一函数，故C正确；
对于D：定义域为，定义域为，不为同一函数，故D错误.
故选：AC
10. 已知命题：，，若为真命题，则的值可以为（ ）
A. B. C. 0D. 3
【正确答案】BCD
【分析】将条件转化为对应方程有根问题，分和两种情况，进行求解即可．
【详解】命题：，，为真命题，
即有根，
当时，成立，
当时，需满足，解得且，
的取值范围为，
故选：BCD．
11. 已知函数，则使的可以是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】BCD
【分析】分、两种情况讨论，求出的值，然后结合函数的解析式可求得的值.
【详解】①当时，由，可得，
若时，则，此时无解，
若时，由，解得；
②当时，由，可得或.
若时，则，由可得，方程无解，
若时，由可得或，由可得或.
综上所述，满足的的取值集合为.
故选：BCD.
三､填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分.）
12. ，则__________.
【正确答案】
【分析】借助反函数定义计算即可得.
【详解】有，则，故.
故答案为.
13. 已知是定义域为的偶函数，当时，，那么，不等式的解集是__________.
【正确答案】
【分析】计算出当时不等式的解集后，结合偶函数性质即可得该不等式在上的解集.
【详解】当时，令，即，
解得，又，故；
由是定义域为的偶函数，
故的解集是.
故答案为.
14. 已知是一次函数，且满足，则函数的解析式为______
【正确答案】
【分析】由题意设，根据，可得到方程组，求得a,b,即得答案.
【详解】根据题意，设，且，
，
,
，解得，
故答案为:.
四､解答题（本大题共5小题，15题13分，16，17题15分，18，19题共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 计算：
（1）
（2）
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）借助指数幂的运算法则计算即可得；
（2）借助对数运算法则计算即可得.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
16. 已知函数.
（1）求函数的定义域及的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明.
【正确答案】（1）定义域为，
（2）单调递减，证明见解析
【分析】（1）计算出即可得定义域，再代入计算即可得；
（2）借助函数单调性定义证明即可得.
【小问1详解】
由题意可得，解得，故的定义域为，
；
【小问2详解】
在上单调递增，证明如下：
令，则，
由，故，即，
故在上单调递增.
17. 已知二次函数的两个零点为和，且．
（1）求函数解析式；
（2）解关于的不等式．
【正确答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用根与系数的关系，由求出，即可得到函数的解析式；
（2）把原不等式转化为，即可解得.
【详解】（1）由题意得：关于的方程的两个根为和，
由根与系数的关系得
故，
故．∵，∴，
故．
（2）由得，
即，
即，
解得，
故原不等式的解集是．
18. 已知函数的图象经过点.
（1）求，并比较与大小；
（2）求函数的值域.
【正确答案】（1），；（2）.
【分析】
(1) 待定系数法求得参数，再利用指数函数的单调性即可比较大小；
（2）利用不等式法，结合指数型复合函数单调性，即可求得值域.
详解】（1）由已知得，解得，
因为在上递减，则，
所以
（2）令，
在R上单调递减.
原函数的值域为.
待定系数法求指数函数解析式，利用函数其单调性比较大小和求值域，注意复合函数求值域一般采取“由内到外”进行求解.
19. 已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）记函数g（x）= +3x，求函数g（x）的值域；
（3）若不等式 f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．
【正确答案】（1）见解析；（2）函数g（x）的值域是（﹣6， ]；（3）实数m的取值范围为{m|m＜lg4}.
【详解】试题分析：（1）利用对数函数的性质能求出函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）的定义域；推导出f（﹣x）=lg（2﹣x）+lg（2+x）=f（x），由此得到f（x）是偶函数． （2）由﹣2＜x＜2，得f（x）=lg（4﹣x2），从而函数g（x）=﹣x2+3x+4，由此能求出函数g（x）的值域．（3）由不等式f（x）＞m有解，得到m＜f（x）max，由此能求出实数m的取值范围．
试题解析：
（1）∵函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x），
∴，解得﹣2＜x＜2．
∴函数f（x）的定义域为（﹣2，2）．
∵f（﹣x）=lg（2﹣x）+lg（2+x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）∵﹣2＜x＜2，
∴f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）=lg（4﹣x2）．
∵g（x）=10f（x）+3x，
∴函数g（x）=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣）2+，（﹣2＜x＜2），
∴g（x）max=g（）=，g（x）min→g（﹣2）=﹣6，
∴函数g（x）的值域是（﹣6，]．
（3）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max，
令t=4﹣x2，由于﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4
∴f（x）的最大值为lg4．
∴实数m的取值范围为{m|m＜lg4}．