2024-2025学年辽宁省沈阳市铁西区高一上册期中考试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年辽宁省沈阳市铁西区高一上册期中考试数学检测试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
4. 函数（）的图象大致为
A. B.
C. D.
5. 若函数是幂函数，且在上单调递减，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
6. 函数值域为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（ ）
A. 4B. 5C. D.
8. 已知函数的定义域为R，对任意实数，满足，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为R上的减函数；④为奇函数. 其中正确结论的序号是（ ）
A. ①②④B. ①②C. ①③D. ①④
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9. （多选）下列选项正确的是（ ）
A. 若，则的最小值为2
B. 若正实数x，y满足，则的最小值为8
C. 最小值为2
D. 函数（）的最大值是0
10. 已知命题：函数的图象与轴有交点，命题：，.若，全为真命题，则实数的取值可以是（ ）
A. B. 0C. D.
11. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A. ，B. 的值域为
C. 若，且，则D. 若，则
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“，”的否定是______
13. 已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为______.
14. 我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形.若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数的值为______；若，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合.
（1）若集合，求实数a的值；
（2）若，求实数a的取值范围.
16. （1）计算：；
（2）已知，求下列各式值：
①；
②
17. 已知函数
（1）当时，写出函数的解析式和单调区间；
（2）当时，求函数在上的最大值.
18. 已知函数是定义在上奇函数，且
（1）求、的值及的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
19. 已知函数，.
（1）若，，求，最小值；
（2）若恒成立，
①求证：；
②若，且恒成立，求的取值范围.
2024-2025学年辽宁省沈阳市铁西区高一上学期期中考试数学
检测试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】确定集合A中元素，根据集合的交集运算即可求得答案.
【详解】由题意得集合，，
故，
故选:C.
2. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系求出的范围.
【详解】由“”是“”的充分不必要条件，得，
所以.
故选：B
3. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】利用函数有意义，列出不等式并求解即得.
【详解】函数有意义，则，解得或，
所以函数的定义域是.
故选：D
4. 函数（）的图象大致为
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】由奇偶性排除选项；由,可排除选项,从而可得结果.
【详解】因为，
所以函数是偶函数，函数图象关于轴对称，可排除选项；
因为,可排除选项,故选A.
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
5. 若函数是幂函数，且在上单调递减，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
【正确答案】A
【分析】根据给定条件，列式求出，进而求出函数值.
【详解】由幂函数在上单调递减，得，解得，
因此，.
故选：A
6. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域.
【详解】令，，则，
所以函数，函数在上单调递增，
时，有最小值，
所以函数的值域为.
故选：C
7. 已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（ ）
A. 4B. 5C. D.
【正确答案】D
【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数的单调性，列式求解即可.
【详解】由函数是上增函数，得，解得，
所以实数的值可以是.
故选：D
8. 已知函数的定义域为R，对任意实数，满足，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为R上的减函数；④为奇函数. 其中正确结论的序号是（ ）
A. ①②④B. ①②C. ①③D. ①④
【正确答案】D
【分析】利用抽象函数的关系式，令判断①的正误；令，判断②的正误；令，可得当时，，再令，结合单调性的定义判断③的正误；令判断④的正误；
【详解】因为，则有：
令，可得，
即，解得，故①正确；
令，，可得，
即，解得，
再令，可得，
即，故②错误；
令，可得，
即
因为，则，可得，所以，
令，不妨设，
可得，即，
因为，则，则，
可得，即，
所以为上增函数，故③错误；
令，可得，
即，整理得，
所以为奇函数，故④正确；
故选：D．
思路点睛：由题意采用赋值法，可解决①②，在此基础上继续对各个选项逐一验证可得答案．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9. （多选）下列选项正确的是（ ）
A. 若，则的最小值为2
B. 若正实数x，y满足，则的最小值为8
C. 的最小值为2
D. 函数（）的最大值是0
【正确答案】BD
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可依次求解．
【详解】对于A，当时，，故A错误，
对于B，∵，，，
则，当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值为8，故B正确，
对于C，令，，
在上单调递增，则y的最小值为，故C错误，
对于D，当时，
，当且仅当，即时，等号成立，
故，即函数y的最大值为0，故D正确．
故选：BD．
10. 已知命题：函数的图象与轴有交点，命题：，.若，全为真命题，则实数的取值可以是（ ）
A. B. 0C. D.
【正确答案】ACD
【分析】分别求出命题为真命题的值范围即可得解.
【详解】函数的图象与轴有交点，显然，因为的图象在轴下方，
则，而，解得或，即命题：或；
当时，，当且仅当时取等号，
由，，得，解得，即命题：，
由，全为真命题，得或，
所以实数的取值可以是或或.
故选：ACD
11. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A. ，B. 的值域为
C. 若，且，则D. 若，则
【正确答案】AC
【分析】由函数的图像经过原点，结合指数函数的性质分析可得的值，判断选项A；可得函数的解析式，求函数值域，分析函数的奇偶性和单调性判断选项BCD．
【详解】函数的图像过原点，∴，即，
，由，有，
时，；时，，
由的图像无限接近直线，但又不与该直线相交，∴，，
，故A正确；
由于，∴，故B错误；
，函数定义域为R，
上，单调递减；在上，单调递增，
，为偶函数，
故若，且，则，即，故C正确，
由于上，单调递减，故若，则，故D错误；
故选：AC．
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“，”的否定是______
【正确答案】，.
【分析】利用全称量词命题的否定直接写出结论.
【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“，”的否定是：，.
故，.
13. 已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为______.
【正确答案】
【分析】利用给定的解集求出与的关系，再代入解不等式.
【详解】由不等式的解集为，得是方程的二根，且，
则，于是，不等式化为，
整理得，解得或，
所以不等式的解集为.
故
14. 我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形.若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数的值为______；若，则实数的取值范围是______.
【正确答案】 ①. 2 ②.
【分析】由题意可得，代入计算即可得，结合函数的单调性与对称性即可求得实数的取值范围.
【详解】由函数的图象关于点0,1成中心对称，
得，即，
整理得，解得，故函数，
所以函数在R上都单调递减，因此函数在R上单调递减，
令，
由函数的图象关于点0,1成中心对称，得的图象关于对称，
且在R上单调递减，
所以由，得即，
于是，即，解得或，
所以实数的取值范围是.
故2；
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合.
（1）若集合，求实数a的值；
（2）若，求实数a的取值范围.
【正确答案】（1）或；
（2）
【分析】（1）利用集合交集的定义得到，，代入方程求解即可；
（2）利用子集的定义，分，，，，由根与系数的关系，列式求解即可.
【小问1详解】
因为集合，又集合，
所以，，
将代入方程
可得，解得或
当时，，符合题意；
当时，，符合题意.
综上所述，或；
【小问2详解】
若，
则
当时，方程无解，则，解得
当时，则，无解；
当时，则，无解；
当时，则，无解.
综上所述，实数a的取值范围为
16. （1）计算：；
（2）已知，求下列各式的值：
①；
②
【正确答案】（1）；（2）①；②.
【分析】（1）利用指数运算法则计算即得.
（2）①②根据给定条件，利用指数幂的运算性质计算即得.
【详解】（1）
.
（2）①由，两边平方得，则，
而，则，
所以；
②由①知，，，
所以.
17. 已知函数
（1）当时，写出函数的解析式和单调区间；
（2）当时，求函数在上的最大值.
【正确答案】（1），递减区间为和，递增区间为；
（2）
【分析】（1）利用分段函数表示出函数，再借助二次函数单调性求出单调区间.
（2）求出函数的单调区间，再按与区间的位置及区间端点离的远近分类，并结合单调性求出最大值.
【小问1详解】
当时， ,
所以，
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
所以函数的单调递减区间为和，递增区间为.
【小问2详解】
依题意，，，
函数上单调递减，在上单调递增，
当时，函数在上单调递减，；
当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
而，则；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
而，则；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
而，则；
当时，，函数在上单调递减，，
所以函数在上的最大值.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且
（1）求、的值及的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【正确答案】（1），；
（2）单调递增，证明见解析；
（3）.
【分析】（1）由求出、的值并验证，进而求出的解析式.
（2）借助指数函数单调性判断单调性，再利用增函数的定义证明即可.
（3）由奇函数化不等式为，再利用单调性和定义域列出关于的不等式求解.
【小问1详解】
由函数是定义在上的奇函数，得，
由，得，解得，，
，函数是在上的奇函数，
所以，.
【小问2详解】
由（1）知，，函数在上单调递增，
且，则，
由，得，则，即，
所以函数上单调递增.
【小问3详解】
不等式恒成立，即，
而函数是定义在上的奇函数，则，
又函数在上单调递增，因此，解得，
所以实数的取值范围为.
19. 已知函数，.
（1）若，，求，的最小值；
（2）若恒成立，
①求证：；
②若，且恒成立，求的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【分析】（1）化简得到，根据基本不等式可得最值；
（2）①由恒成立，令求解.
②，由恒成立，分 和，讨论求解.
【小问1详解】
若，，则，
当且仅当，即时，取等号，
所以；
【小问2详解】
①证明：因为恒成立，即恒成立，
所以，
即，
所以，
则，
所以；
②解：，
又，
当时，不等式恒成立，
当时，
所以恒成立.
令，则，
则在上恒成立，
又，
所以.