2024-2025学年山东省青岛市高一上册期中考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省青岛市高一上册期中考试数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷等内容，欢迎下载使用。
2．请将第Ⅰ卷题目的答案选出后用2B铅笔涂在答题纸对应题目的代号上；第Ⅱ卷用黑色签字笔将正确答案写在答题纸对应的位置上，答在试卷上作废．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据指数函数的性质可得，进而可求交集.
【详解】由题意可得，，
所以.
故选：B.
2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】B
【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系.若两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断答案.
【详解】对A，的定义域为R，的定义域为，则A错误；
对B，和的定义域均为R，且，则B正确；
对C，的定义域为，的定义域为R，则C错误；
对D，的定义域为，的定义域为R，则D错误.
故选：B.
3. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】C
【分析】根据特称命题的否定为全称命题求解即可.
【详解】由命题p：，得否定：，.
故选：C.
4. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据指数函数的单调性比较大小．
【详解】∵是减函数，，所以，
又，
∴．
故选：C．
5. 下列命题为假命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若且，则D. 若且，则
【正确答案】A
【分析】对于A：举例分析判断；对于BC：根据不等式的性质分析判断；对于D：根据不等式的性质结合作差法分析判断.
【详解】对于选项A：例如，则，故A为假命题；
对于选项B：若，则，即，故B为真命题；
对于选项C：若，则，可得，
因为，所以，故C为真命题；
对于选项D：因为，则，
又因为，则，可得，故D为真命题；
故选：A.
6. “幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分必要D. 既不充分也不必要
【正确答案】A
【分析】要使函数fx=m2+m−1xm是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数gx=2x−m2⋅2−x为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.
【详解】要使函数fx=m2+m−1xm是幂函数，且在上为增函数，
则m2+m−1=1m>0，解得：，当时，gx=2x−2−x，，
则g−x=2−x−2x=−2x−2−x=−gx，所以函数为奇函数，即充分性成立；
“函数gx=2x−m2⋅2−x为奇函数”，
则gx=−g−x，即2x−m2⋅2−x=−2−x−m2⋅2x=m2⋅2x−2−x，
解得：，故必要性不成立，
故选：A．
7. 已知是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A. -8B. -4C. 4D. 8
【正确答案】D
【分析】先求出，然后代入求解，最后利用偶函数性质求解即可.
【详解】由，解得，则.
所以，因为是定义在上的偶函数，所以.
故选：D
8. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】由函数的奇偶性与特殊的函数值对选项逐一判断，
【详解】由题意得，则是偶函数，故B，C错误，
，故D错误，
故选：A
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数（且）的图象恒过点
B. 在定义域上是单调递增函数
C. ，且，则
D. 函数的单增区间是
【正确答案】AC
【分析】对于A：根据指数函数定点分析判断；对于B：举反例说明即可；对于C：先将指数式化为对数式，结合对数的运算求解；对于D：结合函数定义域分析判断.
【详解】对于选项A：令，可得，，
所以函数的图象恒过点，故A正确；
对于选项B：当时，；当时，；
所以在定义域上不是单调递增函数，故B错误；
对于选项C：因为，则，
可得，
则，且且，所以，故C正确；
对于选项D：令，解得，
可知函数定义域为，
可知函数的单调递增区间不可能为，故D错误；
故选：AC.
10. 下列函数中，对任意，，，满足条件的有（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】结合已知条件，根据函数的凸凹性即可求解.
【详解】由题意可知，在上是下凸函数，
由指数函数的图像和性质可知，AB正确；
由幂函数的图像和性质可知， C错误，D正确.
故选：ABD.
11. 已知，，且，下列结论中正确的是（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是2
C. 的最小值是9D. 的最小值是
【正确答案】ACD
【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】因为，，且，
对于A，由，解得，当且仅当时等号成立，
则最大值为，故A正确；
对于B，由，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故B错误；
对于C，，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，故C正确；
对于D，由，
得，当且仅当时等号成立，
则的最小值是，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则的定义域是______．
【正确答案】或
【分析】复合函数定义域求法:若的定义域为,则有意义要首先满足.
【详解】的定义域为，
∴需满足：，解得，
∴的定义域是或．
故或．
13. 已知函数若，则实数___________.
【正确答案】或16
【分析】分两种情况分别求出的表达式，得到关于的方程，解方程即可.
【详解】当时，由题意知，，解得符合题意；
当时，由题意知，，
解得（舍），符合题意；
综上可知，实数a的值为16或.
故答案为: 16或.
14. 设是定义在R上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为___________.
【正确答案】
【分析】令，可得函数利是定义在上的偶函数且在(0,+∞)上单调递增，原不等式等价于，分析可得答案.
【详解】令，
由是定义在上的奇函数，
可得是定义在上的偶函数，
由对任意的，，，满足：，
可得在(0,+∞)上单调递增，
由，可得，
所以在上单调递减，且，
不等式，即为，即，
可得或，即或
解得或.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求值：
（1）；
（2）；
（3）已知，求式子的值．
【正确答案】（1）18 （2）
（3）
【分析】（1）将根式化为分数指数幂，再根据指数幂运算求解；
（2）根据对数的定义和运算求解即可；
（3）根据平方关系依次求得，，进而可得结果.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
【小问3详解】
因为，显然，
则，即，
又因为，且，可得，
所以.
16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，有．
（1）求函数在上的解析式；
（2）用定义证明在上的单调性，并求函数的值域；；
（3）解关于的不等．
【正确答案】（1）；
（2）证明见解析，值域为；
（3）．
【分析】（1）根据偶函数的定义求解析式；
（2）由单调性定义证明单调性，单调性求值域；
（2）根据奇偶性和单调性解不等式．
【小问1详解】
是偶函数，所以时，，
所以.
【小问2详解】
设是上任意两个实数，且，
则，
又，所以，
所以，即，
所以在上是减函数，
是偶函数，则在上是增函数，
，又，
所以的值域是．
【小问3详解】
是偶函数，则不等式化为，
又在是增函数，所以，
，，或，
所以不等式的解集为．
17. 已知函数，
（1）求的解析式；
（2）求函数在的最小值；
（3）已知，：当时，不等式恒成立；：当时，是单调函数．若，一真一假，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）答案见详解 （3）或
【分析】（1）根据题意利用配凑法求函数解析式；
（2）分和两种情况，结合二次函数性质求解即可；
（3）根据二次函数恒成立问题求p，根据二次函数单调性求q，分析可知p与q真假性相反，列式求解即可.
【小问1详解】
因为，
所以.
【小问2详解】
因为的图象开口向上，对称轴为，显然，
若，则在上单调递减，此时；
若，此时.
【小问3详解】
若为真，不等式，即对任意的恒成立，
而函数的图象开口向上，对称轴为，
可知在上单调递减，且，则；
函数的图象开口向上，对称轴为，
若为真，即在内是单调函数，则或，解得或；
由p，q一真一假，则或，解得或，
所以实数取值范围为或.
18. 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利，根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足: ，平均每班地铁的载客人数 （单位：人）与发车时间间隔近似地满足函数关系：，
（1）若平均每班地铁的载客人数不超过1560人，试求发车时间间隔的取值范围；
（2）若平均每班地铁每分钟的净收益为（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，平均每班地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.
【正确答案】（1）；（2），最大值为260元.
分析】
（1）根据题意即求解不等式；
（2）根据题意求出的解析式，利用函数单调性或基本不等式求最值.
【详解】（1）当，超过1560，所以不满足题意；
当，载客人数不超过1560，
即，解得或，由于
所以；
（2）根据题意，
则
根据基本不等式，，当且仅当，即时取得等号，所以，
即当时，平均利润的最大值为260元，
当时，单调递减，，
综上所述，最大值260元.
此题考查函数模型的应用，关键在于根据题目所给模型，准确求解不等式，或根据函数关系求出最值，基本不等式求最值注意等号成立的条件.
19. 对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”．
（1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由；
（2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【正确答案】（1）不是；（2）；（3）．
【分析】（1）先假设为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明；
（2）先根据幂函数确定出的解析式，然后将问题转化为“在上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出的取值范围；
（3）将问题转化为“在上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出的取值范围.
【详解】（1）假设为“伪奇函数”，存在满足，
有解，化为，无解，
不是“伪奇函数”；
（2）为幂函数，，，
，
为定义在的“伪奇函数”，
在上有解，
在上有解，
令，在上有解，
又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
且时，，时，，
，的值域为，
，；
（3）设存在满足，即在上有解，
在上有解，
在上有解，
令，取等号时，
在2,+∞上有解，
在2,+∞上有解（*），
，解得，
记，且对称轴，
当时，在2,+∞上递增，
若（*）有解，则，，
当时，在上递减，在上递增，
若（*）有解，则，即，此式恒成立，，
综上可知，.
关键点点睛：解答本题（2）（3）问题的关键在于转化思想的运用，通过理解“伪奇函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算.