中考数学二轮复习难点题型突破课件：将军饮马模型

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例1 如图，正方形ABCD的对角线交于点O，E是直线BC上一动 点，AB＝4，求AE＋OE的最小值．
解：如图，过点O作OF⊥AB于点F，作点A关于BC的对称点A′，
连接OA′，AE，A′E，则AE＝A′E.
∵四边形ABCD是正方形，
∴FA′＝FB＋BA′＝2＋4＝6.
∴AE＋OE＝A′E＋OE≥OA′.
当O，E，A′三点共线时，AE＋OE最小．
1． (2024·成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3，0)， B(0，2)，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA， 则PO＋PA的最小值为 ⁠．
2． (2024·广安)如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝ 30°，点M为直线BC上一动点，则MA＋MD的最小值为 ⁠．
3． (2024·大庆)如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是 AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转 90°，点N旋转到点N′，则△MBN′周长的最小值为（　B　）
例2 (2024·绥化)如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一 点，点M为射线OA，点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最 小时，则∠MPN＝ ⁠．
解：如图，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2， 分别交OA，OB于点E1，F1，连接PE1，PF1，则△PE1F1的周长最 小．所以当点E在点E1处，点F在点F1处时，△PEF的周长最小，最小 值为P1P2的长．连接OP1，OP2，OP.
由对称性，知OP1＝OP2＝OP＝2，∠P1OA＝∠POA，∠P2OB＝ ∠POB．
∴∠P1OP2＝2(∠POA＋∠POB)＝2∠AOB＝90°.
解：如图，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，
分别交OA，OB于点E1，F1，连接PE1，PF1，则△PE1F1的周长最
小．所以当点E在点E1处，点F在点F1处时，△PEF的周长最小，最小
值为P1P2的长．连接OP1，OP2，OP.
由对称性，知OP1＝OP2＝OP＝2，∠P1OA＝∠POA，∠P2OB＝
∴∠OP1P2＝∠OP2P1＝45°，
由对称性，知△P1OE1≌△POE1，△P2OF1≌△POF1．
∴∠OPE1＝∠OP1E1＝∠OPF1＝∠OP2F1＝45°，PE1＝PF1.