2024-2025学年北京五十中分校高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京五十中分校高二（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线3x−4y+1=0不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.直线y=− 3x+1的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
3.已知点B是点A(2,−3,4)在坐标平面Oxy内的射影，则点B的坐标为( )
A. (2,−3,0)B. (2,0,4)C. (0,−3,4)D. (2,3,4)
4.已知直线 3x+y−1=0与直线2 3x+my+3=0平行，则它们之间的距离是( )
A. 1B. 54C. 3D. 4
5.如图，在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c.点M在OC上，且OM=12MC，N为AB的中点，则MN=( )
A. −12a−12b+13c
B. −12a−12b−13c
C. 12a+12b+13c
D. 12a+12b−13c
6.圆C1：x2+y2=2与圆C2：(x−2)2+(y−2)2=2的位置关系是( )
A. 相交B. 相离C. 内切D. 外切
7.已知空间中四点A(−1,1,0)，B(2,2,1)，C(1,1,1)，D(0,2,3)，则点D到平面ABC的距离为( )
A. 6B. 63C. 66D. 0
8.已知点A(1,3)，B(−2,−1)，若直线l：y=k(x−2)+1与线段AB相交，则k的取值范围是( )
A. [12,+∞)B. (−∞,−2]
C. (−∞,−2]∪[12,+∞)D. [−2,12]
9.已知向量a=(2,−1,3)，b=(−4,2,t)的夹角为钝角，则实数t的取值范围为( )
A. (−∞,−6)B. (−∞,−6)∪(−6,103)
C. (103,+∞)D. (−∞,103)
10.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.如图，已知一个正八面体ABCDEF的棱长为2，M，N分别为棱AD，AC的中点，则直线BN和FM夹角的余弦值为( )
A. 56
B. 116
C. 216
D. 156
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.直线x+y−2=0与x−y=0的交点坐标为______．
12.已知向量m=(2,−1,6)，n=(1,λ,3)，且m⊥n，则λ的值为______．
13.已知方程x2+y2−2x+2y+F=0表示半径为2的圆，则实数F=________．
14.若e1，e2是两个不共线的向量，已知AB=2e1+ke2，CB=e1+3e2，CD=2e1−e2，若A，B，D三点共线，则k=______．
15.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点E是△ABC内(包括边界)的动点，则下列结论中正确的序号是______.(填所有正确结论的序号)
①若AE=λAC,λ∈(0,1)，则D1E//平面A1BC1；
②若AE=12(AB+AC)，则直线AE与C1D所成角的余弦值为 105；
③若D1E=tDE，则t的最大值为 62；
④若平面α与正方体各个面都相交，且B1D⊥α，则截面多边形的周长一定为6 2．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知a=(1,3,−2),b=(−1,1,2)．
(1)求|a+b|的值；
(2)若(a+kb)⊥(a−b)，求实数k的值．
17.(本小题12分)
已知ABCD−A1B1C1D1是正方体，点E为A1B1的中点，点F为B1C1的中点．
(Ⅰ)求证：BD1⊥EF；
(Ⅱ)求二面角E−FC−B的余弦值．
18.(本小题12分)
已知△ABC顶点A(1,2)、B(−3,−1)、C(3,−3)．
(1)求边BC的垂直平分线l1的方程；
(2)若直线l2过点A，且l2的纵截距是横截距的2倍，求直线l2的方程．
19.(本小题12分)
已知圆C的圆心在直线x−2y=0上，且与y轴相切于点(0,1)．
(Ⅰ)求圆C的方程；
(Ⅱ)若圆C与直线l：x−y+m=0交于A，B两点，_____，求m的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：∠ACB=120°；条件②：|AB|=2 3．
20.(本小题12分)
如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，DE⊥AB于E.将△AED沿DE翻折到△A′ED，使A′E⊥BE，如图2．
(Ⅰ)求证：平面A′ED⊥平面BCDE；
(Ⅱ)求直线A′E与平面A′BC所成角的正弦值；
(Ⅲ)设F为线段A′D上一点，若EF//平面A′BC，求DFFA′的值．
21.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2−4x=0及点A(−1,0)，B(1,2)．
(1)若直线l平行于AB，与圆C相切，求直线l的方程；
(2)在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12成立？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由；
(3)对于线段AC上的任意一点Q，若在以点B为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段QN的中点，求圆B的半径r的取值范围．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.B
5.D
6.D
7.A
8.D
9.B
10.D
11.(1,1)
12.20
13.−2
14.−8
15.①②④
16.解：(1)已知a=(1, 3, −2), b=(−1, 1, 2)，
则a+b=(0,4,0)，则|a+b|=4；
(2)因为(a+kb)⊥(a−b)，则(a+kb)⋅(a−b)=0，
又a+kb=(1−k,3+k,−2+2k)，a−b=(2,2,−4)，
则(1−k)⋅2+(3+k)⋅2+(−2+2k)⋅(−4)=0，化简整理可得，16−8k=0，解得k=2．
17.(1)证明：依题意以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
如图，设正方体棱长为2，
则B(2,2,0)，D1(0,0,2)，C(0,2,0)，
因为E，F分别是A1B1，B1C1的中点，
所以E(2,1,2)，F(1,2,2)，
所以BD1=(−2,−2,2),EF=(−1,1,0)，
BD1⋅EF=(−2)×(−1)+(−2)×1+0=0，
所以BD1⊥EF，所以BD1⊥EF．
(2)解：因为DC⊥平面BCF，所以平面BCF的一个法向量为m=(0,1,0)，
设平面EFC的一个法向量为n=(x,y,z)，
因为EF=(−1,1,0)，FC=(−1,0,−2)，
所以n⋅EF=−x+y=0n⋅FC=−x−2z=0，令z=1，则x=−2，y=−2，
所以n=(−2,−2,1)，
cs〈m,n〉=m⋅n|m|⋅|n|=−21× 9=−23，
因为二面角E−FC−B是锐二面角，
所以二面角E−FC−B的余弦值为23．
18.解：(1)由B(−3,−1)、C(3,−3)，
可知BC中点为(0,−2)，且kBC=−3−(−1)3−(−3)=−13，
所以其垂直平分线斜率满足k1⋅kBC=−1，即k1=3，
所以边BC的垂直平分线l1的方程为y−(−2)=3(x−0)，即3x−y−2=0；
(2)当直线l2不过坐标原点时，由题意设直线方程为xa+y2a=1，
由l2过点A(1,2)，则1a+22a=1，解得a=2，
所以直线l2方程为x2+y4=1，即2x+y−4=0；
当直线l2过坐标原点时，k2=21=2，此时直线l2：y=2x，符合题意；
综上所述，直线l2的方程为y=2x或2x+y−4=0．
19.解：(Ⅰ)设圆心坐标为C(a,b)，半径为r．
∵圆C的圆心在直线x−2y=0上，∴a=2b．
又圆C与y轴相切于点(0,1)，∴b=1，r=|a−0|．
∴圆C的圆心坐标为(2,1)，r=2．
则圆C的方程为(x−2)2+(y−1)2=4；
(Ⅱ)如果选择条件①，
∵∠ACB=120°，|CA|=|CB|=2，
∴圆心C到直线l的距离d=1．
则d=|2−1+m| 1+1=1，解得m= 2−1或− 2−1．
如果选择条件②，
∵|AB|=2 3，|CA|=|CB|=2，
∴圆心C到直线l的距离d=1．
则d=|2−1+m| 1+1=1，解得m= 2−1或− 2−1．
20.(Ⅰ)证明：在菱形ABCD中，因为DE⊥AB，
所以DE⊥AE，DE⊥EB，所以A′E⊥DE．
因为A′E⊥BE，A′E⊥DE，DE∩BE=E，DE⊂平面BCDE，BE⊂平面BCDE，
所以A′E⊥平面BCDE．
因为A′E⊂平面A′ED，所以平面A′ED⊥平面BCDE．
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知A′E⊥DE，A′E⊥BE，DE⊥BE，如图建立空间直角坐标系E−xyz，
则E(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2 3,0)，C(4,2 3,0) ，A′(0,0,2)，
所以A′E=(0,0,−2)，BA′=(−2,0,2)，BC=(2,2 3,0)．
设平面A′BC的法向量n=(x,y,z)，
由n⋅BA′=0n⋅BC=0，得−2x+2z=02x+2 3y=0，所以x=zx=− 3y．
令y=−1，则x= 3，z= 3，
所以n=( 3,−1, 3)，所以|n|= ( 3)2+(−1)2+( 3)2= 7．
又|A′E|=2，A′E⋅n=−2 3，
所以cs=A′E⋅n|A′E|⋅|n|=−2 32 7=− 217，
所以直线A′E与平面A′BC所成角的正弦值为 217．
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，DA′=(0,−2 3,2)，ED=(0,2 3,0)，
设DF=mDA′=(0,−2 3m,2m)，则EF=ED+DF=(0,2 3−2 3m,2m)．
因为EF/​/平面A′BC，所以EF⋅n=0，
即0× 3+(2 3−2 3m)×(−1)+2m× 3=0，
所以m=12，即DF=12DA′，所以DFFA′=1．
21.解：(1)圆C：x2+y2−4x=0，可得(x−2)2+y2=4，∴C(2,0)，半径为2，
∵l平行于AB，点A(−1,0)，B(1,2)，可得kAB=2−01−(−1)=1，
∴设直线l的方程为y=x+m，
则圆心C到直线l之距d=|m+2| 2=r=2，解得m=−2±2 2，
∴直线l的方程为y=x−2+2 2或y=x−2−2 2．
(2)假设圆上存在点P，设P(x,y)，则(x−2)2+y2=4，
又PA2+PB2=(x+1)2+(y−0)2+(x−1)2+(y−2)2=12，即x2+(y−1)2=4，
∵2−2< (2−0)2+(0−1)2r2恒成立，
∴r2