2024-2025学年广东实验中学江门市分校高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东实验中学江门市分校高二（上）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB+BC+CC1等于( )
A. AD1B. AC1C. ADD. AB
2.已知直线l过圆x2+(y−3)2=4的圆心，且与直线x+y+1=0平行，则直线l的方程为( )
A. x+y−2=0B. x−y+2=0C. x+y−3=0D. x−y+3=0
3.已知a=(2,−1,3)，b=(−1,4,−2)，c=(1,3,λ)，若a,b,c三向量共面，则实数λ等于( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( )
A. 3x−2y=0B. x+y−5=0
C. 3x−2y=0或x+y−5=0D. 2x−3y=0或x+y−5=0
5.直线x+y−1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长等于( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
6.已知圆C的方程为(x−3)2+(y−4)2=1，过直线l：3x+4y−5=0上任意一点作圆C的切线，则切线长的最小值为( )
A. 4B. 15C. 17D. 5
7.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过点(4,0)的直线交椭圆E于A，B两点.若AB中点坐标为(2,−1)，则椭圆E的离心率为( )
A. 12B. 32C. 13D. 2 33
8.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=5，P是棱DD1上的动点，则△PA1C的面积最小时，DP=( )
A. 1B. 2C. 52D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l：4x+3y+6=0与圆C：x2+y2−2x−8=0相交于E，F两点，则( )
A. 圆心C的坐标为(1,0)B. 圆C的半径为2 2
C. 圆心C到直线l的距离为2D. |EF|=2 5
10.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中正确的是( )
A. EF//平面ABC1D1
B. EF⊥B1C
C. EF与AD1所成角为60°
D. EF与平面BB1C1C所成角的正弦值为 33
11.已知椭圆C：x24+y2b2=1(2>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，动点P在椭圆C上，则下列描述正确的有( )
A. 若△PF1F2的周长为6，则b= 3
B. 若当∠F1PF2=π3时，△PF1F2的内切圆半径为 33，则b= 3
C. 若存在P点，使得PF1⊥PF2，则b∈[ 2,2)
D. 若|PB|的最大值为2b，则b∈[ 2,2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(x,1,−2)，b=(2,1,2)，|a|= 5，则a⋅b= ______．
13.若直线l1：x−y+3=0和l2：x+(a−2)y−1=0垂直，则实数a= ______．
14.直线与圆C：x2+y2−2y−1=0相交于A，B两点，弦长|AB|的最小值为 ，若三角形ABC的面积为 32，则m的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知直线l经过点P(−2,5)，且斜率为−34
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
16.(本小题12分)
如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．
(Ⅰ)求证：BM//平面ADEF；
(Ⅱ)求证：BC⊥平面BDE．
17.(本小题12分)
已知以点A(−1,2)为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切，过点B(−2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|=2 19时，求直线l的方程．
18.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 (a>b>0)长轴是短轴的 2倍，且右焦点为F(1,0)．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)直线l：y=k(x+2)交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为−23，求直线l的方程及△FAB的面积．
19.(本小题12分)
如图所示，四棱锥S−ABCD中，∠DAB=∠ADC=2∠ABD=2∠BCD=90°，CB=BD=2 2，SB=SD= 6，平面SBD⊥平面ABCD．
(1)求证：平面SBD⊥平面SBC；
(2)若点P在线段SC上，且CPCS=λ，若平面ABP与平面SBD所成锐二面角大小为60°，求λ的值．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.C
5.B
6.B
7.B
8.A
9.ACD
10.ABD
11.ABD
12.−3
13.3
14.2；±；1
15.解：(1)由点斜式写出直线l的方程为 y−5=−34(x+2)，化简为 3x+4y−14=0．
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x+4y+c=0，
由点到直线的距离公式，得|3×(−2)+4×5+c| 32+42=3，即|14+c|5=3，
解得c=1或c=−29，故所求直线方程3x+4y+1=0，或3x+4y−29=0．
16.证明：(Ⅰ)取DE中点N，连结MN，AN．
在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，
所以MN/​/CD，且MN=12CD．
由已知AB/​/CD，AB=12CD，
所以MN//AB，且MN=AB．
所以四边形ABMN为平行四边形．
所以BM/​/AN．
又因为AN⊂平面ADEF，且BM⊄平面ADEF，
所以BM/​/平面ADEF.
(Ⅱ)在矩形ADEF中，ED⊥AD．
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，
且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC.
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2 2．
在△BCD中，BD=BC=2 2,CD=4，
因为BD2+BC2=CD2，所以BC⊥BD．
因为BD∩DE=D，所以BC⊥平面BDE．
17.解：(1)设圆A的半径为R. 因为圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，
所以R=|−1+4+7| 5=2 5，
所以圆A的方程为(x+1)2+(y−2)2=20；
(2)当直线l与x轴垂直时，x=−2，满足题意；
当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y=k(x+2)，即kx−y+2k=0，
由于MN=2 19，于是( | −k−2+2k| k2+1)2+( 19)2=20，
解得k=34，
此时直线l的方程为3x−4y+6=0，
综上，直线l的方程为x=−2或3x−4y+6=0.
18.解：(Ⅰ)因为长轴是短轴的 2倍，所以a= 2b．
因为焦点F的坐标为(1,0)，所以c=1．
结合a2=b2+c2，
得a= 2 , b=1．
所以椭圆方程为x22+y2=1．
(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2).
由x22+y2=1y=k(x+2)得(2k2+1)x2+8k2x+8k2−2=0．
则 x1+x2=−8k22k2+1,x1x2=8k2−22k2+1，且需Δ=64k4−42k2+18k2−2>0．
因为线段AB中点的横坐标为−23，
所以 x1+x22=−4k22k2+1=−23．
解得 k2=14，即k=±12(满足Δ>0).
所以直线l的方程为y=±12(x+2)，
因为 |AB|= (1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2] = 23 5．
点F到直线l的距离d=|3k| 1+k2=3 55．
所以△FAB的面积 S△FAB=12×2 53×3 55=1．
即△FAB的面积等于1．
19.(1)证明：因为∠DAB=∠ADC=2∠ABD=2∠BCD=90°，
故∠CBD=90°，故BC⊥BD．
又平面SBD⊥平面ABCD，平面SBD∩平面ABCD=BD，BC⊂平面ABCD，
故BC⊥平面SBD；
因为BC⊂平面SBC，故平面SBD⊥平面SBC；
(2)解：设E为BD的中点，连接SE，因为SB=SD= 6，
所以SE⊥BD，又平面SBD⊥平面ABCD，故SE⊥平面ABCD，
如图，以A为原点，分别以AD，AB和平行于SE的方向为x，y，z轴正方向，
建立空间直角坐标系A−xyz，
则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,4,0)，D(2,0,0)，S(1,1,2)，
因为CP=λCS，则CP=λCS=λ(−1,−3,2)=(−λ,−3λ,2λ)，
所以P(2−λ,4−3λ,3λ)，
易得平面SBD的一个法向量为BD=(2,2,0)，
设n=(x,y,z)为平面ABP的一个法向量，AB=(0,2,0)，AP=(2−λ,4−3λ,2λ)，
由n⋅AB=0,n⋅AP=0,得2y=0,(2−λ)x+(4−3λ)y+2λz=0,不妨取n=(2,0,λ−2)．
因为平面SBD与平面ABP所成锐二面角为60°，
所以|4λ|2 2 4λ2+(λ−2)2=12，
解得λ=23，λ=−2(不合题意舍去)，
故λ=23．