2023-2024学年山东省临沂市河东区高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年山东省临沂市河东区高一（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z满足(1+i)z=i，则复数z的虚部为( )
A. 12B. 12iC. 1D. i
2.cs15°=( )
A. 2− 3B. 6− 24C. 6+ 24D. 2− 64
3.如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF=3FE，记a=BA，b=BC，则CF=( )
A. 23a+13bB. 23a−13bC. −14a+38bD. 34a−58b
4.将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，然后再将所得图象上所有点向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，则( )
A. g(x)=sin(2x−π6)B. g(x)=sin(2x−π3)
C. g(x)=sin(12x−π6)D. g(x)=sin(12x−π3)
5.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为3，圆台的侧面积为36π，则圆台较小底面的半径为( )
A. 8B. 6C. 4D. 2
6.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为( )
A. 8 6海里/小时B. 16 2海里/小时C. 16 6海里/小时D. 32 2海里/小时
7.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
A. 20+12 3B. 28 2C. 563D. 28 23
8.在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点M，N分别在边AC，BC上，且满足AM=2MC，BN=2NC，若AN，BM相交于点P，则cs∠MPN=( )
A. 2613B. 2626C. 1313D. 3 1326
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(2,1)，b=(−3,4)，e是与b同向的单位向量，则( )
A. |a+b|=4B. a与b可以作为一组基底
C. e=(−35,45)D. 向量a在向量b上的投影向量为−25e
10.下列说法正确的是( )
A. 若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数
B. 若i为虚数单位，n为正整数，则i4n−3=−i
C. 若1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0(a,b∈R)的根，则1−i也是该方程的根
D. 复数z满足|z−1|=1，则|z−i|的最大值为2 2
11.如图，正八面体E−ABCD−F的每一个面都是正三角形，并且四边形ABCD，四边形BEDF，四边形AECF都是正方形，若正方形ABCD的边长为2cm，则( )
A. 正八面体E−ABCD−F的表面积为8 3cm2
B. 正八面体E−ABCD−F的体积为8 33cm3
C. 正八面体E−ABCD−F的外接球的表面积为8πcm2
D. 正八面体E−ABCD−F的内切球的体积为8 627πcm3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=6，B′C′=4，则边AB上的中线的实际长度为______．
13.已知对任意平面向量AB=(x,y)，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(xcsθ−ysinθ,xsinθ+ycsθ)，叫作把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(1,3)，点B(1+ 2,3−2 2)，把点B绕点A沿顺时针方向旋转3π4后得到点P，若点O为坐标原点，则|OP|= ______．
14.我国南宋著名数学家秦九韶(约1202−1261)独立推出了“三斜求积”公式，在他的著作《数书九章》中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”把以上这段文字写成从三条边长求三角形面积的公式，就是S= 14[c2a2−(c2+a2−b22)2].现有△ABC满足sinA：sinB：sinC=2：3： 7，且△ABC的面积是54 3，则△ABC的周长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(3,2)，b=(x,−1)，c=(−8,−1)．
(1)若(a+b)⊥(3a+c)，求实数x的值；
(2)若a//(b+c)，求向量a与b的夹角θ．
16.(本小题15分)
用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥PO底面圆的半径是4，轴截面PAB的面积是12．
(1)求圆锥PO的母线长；
(2)过圆锥PO的两条母线PB，PC作一个截面，求截面PBC面积的最大值．
17.(本小题15分)
(1)已知α，β都是锐角，tanα=17，sinβ= 1010，求tan(α+2β)的值；
(2)已知csα+csβ=12，sinα+sinβ=13，求cs(α−β)的值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)= 3sin2x+2cs2x+m在区间[0,π2]上的最大值为6，
(1)求常数m的值；
(2)求f(x)的单调递减区间；
(3)求使f(x)>5成立的x的取值集合．
19.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2=c2+ab．
(1)若c=8，CA⋅CB=8，D为边AB上的中点，求|CD|；
(2)若E为边AB上一点，且|CE|=1，|AE||EB|=sinB2sinA，求2a+b的最小值．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.B
5.C
6.A
7.D
8.C
9.BCD
10.AC
11.ACD
12.5
13.2 10
14.30+6 7
15.解：(1)a=(3,2)，b=(x,−1)，c=(−8,−1)，
则a+b=(3+x,1)，3a+c=(1,5)，
若(a+b)⊥(3a+c)，
则(a+b)⋅(3a+c)=3+x+5=0，解得x=−8；
(2)b+c=(x−8,−2)，
a//(b+c)，
则3×(−2)=2(x−8)，解得x=5，
故|a|= 13，|b|= 26，
a⋅b=3×5+2×(−1)=13，
故csθ=a⋅b|a||b|=13 13× 26= 22，
θ∈[0,π]，
则θ=π4．
16.解：(1)根据题意，设圆锥的高为ℎ，
若圆锥PO底面圆的半径是4，轴截面PAB的面积是12，即S△PAB=12×PO×AB=12(2r×ℎ)=rℎ=12，
解可得ℎ=3，
则其母线长l= 9+16=5；
(2)根据题意，由(1)的结论，由于AO>PO，则∠APO>45°，故∠APB>90°，
当PB与PC垂直时，截面PBC面积最大，其最大值为12×4×4=8．
17.解：(1)∵α，β都是锐角，tanα=17，sinβ= 1010，
所以csβ= 1−sin2β=3 1010，tanβ=13，
所以tan2β=2tanβ1−tan2β=2×131−19=34，
tan(α+2β)=tanα+tan2β1−tanαtan2β=17+341−17×34=1；
(2)因为csα+csβ=12，sinα+sinβ=13，
两边平方相加得，2+2csαcsβ+2sinαsinβ=14+19=1336，
即2+2cs(α−β)=1336，
cs(α−β)=−5972．
18.解：(1)因为函数f(x)= 3sin2x+2cs2x+m= 3sin2x+cs2x+1+m=2sin(2x+π6)+m+1，
所以令t=2x+π6∈[π6,7π6]，则sint∈[−12,1]，所以f(x)的最大值为2+m+1=6，即m=3．
(2)由(1)知：f(x)=2sin(2x+π6)+4，
令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，则π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z．
(3)因为f(x)>5等价于2sin(2x+π6)+4>5，即sin(2x+π6)>12，
所以π6+2kπ