2023-2024学年新疆克州高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年新疆克州高二（下）期中数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设f(x)=sinx，则f′(π6)=( )
A. 12B. 22C. 32D. 1
2.A，B，C，D，E，F六人站成一排，如果B，C必须相邻，那么排法种数为( )
A. 240B. 120C. 96D. 60
3.已知(x−1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+…+a10=( )
A. 210B. 0C. 1D. −1
4.学校夏季运动会需要从4名男生和3名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有2名女生的不同选法种数为( )
A. 20B. 30C. 22D. 40
5.函数f(x)=2x−4lnx的单调递减区间是( )
A. (−∞,2)B. (0,2)C. (2,+∞)D. (e,+∞)
6.若( x+3x2)n展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n=( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
7.设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则q等于( )
A. 1B. 1− 22C. 12D. 1+ 22
8.函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则( )
A. x=12为函数f(x)的零点B. 函数f(x)在(12,2)上单调递减
C. x=2为函数f(x)的极大值点D. f(−2)是函数f(x)的最小值
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某中药材盒中共有包装相同的10袋药材，其中甲级药材有4袋，乙级药材有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到甲级药材”，用B表示事件“第二次取到乙级药材”，则( )
A. P(A)=25B. P(B|A)=23
C. P(B)=35D. 事件A，B相互独立
10.对于函数f(x)=13x3+2x2，下列说法正确的是( )
A. f(x)是增函数，无极值
B. f(x)是减函数，无极值
C. f(x)的单调递增区间为(−∞,−4)，(0,+∞)，单调递减区间为(−4,0)
D. f(0)=0是极小值，f(−4)=323是极大值
11.甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照留念，下列结论正确的是( )
A. 站成一排不同的站法共有120种
B. 若甲和乙不相邻，则不同的站法共有36种
C. 若甲站在最中间，则不同的站法共有24种
D. 若甲不站排头，且乙不站排尾，则不同的站法共有78种
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12.设A，B为两个事件，若事件A和事件B同时发生的概率为37，在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为34，则事件B发生的概率为______．
13.函数f(x)=ex+x(其中e为自然对数的底数)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为 ．
14.已知随机变量X的概率分布为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,⋅⋅⋅,10)，则实数a= ．
四、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题7分)
已知(x2+1x)n的展开式中的所有二项式系数之和为64．
(1)求n的值；
(2)求展开式中x3的系数．
16.(本小题9分)
根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某数学组有4名男教师和2名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.求：
(1)2名女教师互不相邻的坐法有多少种？
(2)学校从观看《我本是高山》的4名男教师和2名女教师中选派3名教师参加市教育局组织的观影分享会，若要求选派的3名教师中至少要有1名女教师，那么有多少种选派方法？
17.(本小题9分)
函数f(x)=x+ax2+blnx的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为y=2x−2．
(1)求a、b的值；
(2)求f(x)的极值．
18.(本小题12分)
从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球，规定每取出1个黑球记2分，而取出1个白球记−1分，取出黄球记零分．
(1)以X表示所得分数，求X的概率分布；
(2)求得分X>0时的概率．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=xlnx，g(x)=−x2+ax−3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若对任意x∈(0,+∞)，不等式f(x)≥12g(x)恒成立，求a的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.C
5.B
6.D
7.C
8.B
9.ABC
10.CD
11.ACD
12.47
13.2x−y+1=0
14.1110
15.解：(1)由已知(x2+1x)n的展开式中的所有二项式系数之和为64．
由题意可得，2n=64，
解得n=6．
(2)(x2+1x)n=(x2+1x)6，故二项展开式的通项为Tr+1=C6r(x2)6−r(1x)r=C6rx12−3r(r=0,1,2,3,4,5,6)，
由12−3r=3，得r=3．
∴展开式中x3的系数为C63=20．
16.解：(1)根据题意，先将4名男教师排好，有A44=24种坐法，
再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入2名女教师，有A52=20种坐法，
由分步乘法计数原理，共有24×20=480种坐法；
(2)根据题意，分类讨论，
当1名女教师和2名男教师时C21C42=12种，
当2名女教师和1名男教师时C22C41=4种，
所以共有12+4=16种选派方法．
17.解：(1)由f(x)=x+ax2+blnx，得f′(x)=1+2ax+bx，
∵f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为y=2x−2，
∴f′(1)=1+2a+b=2，f(1)=1+a=2×1−2=0，解得a=−1，b=3．
(2)由(1)，可得f′(x)=1+2ax+bx=1−2x+3x=−2x2+x+3x=(−2x+3)(x+1)x，
f(x)与f′(x)随着x的变化情况如下表．
由表可知，函数f(x)的极大值为−34+3ln32，无极小值．
18.解：(1)根据题意，当取到2个白球时，随机变量X=−2；
当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X=−1；
当取到2个黄球时，随机变量X=0；
当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X=1；
当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X=2；
当取到2个黑球时，随机变量X=4，
所以随机变量X的可能取值为−2，−1，0，1，2，4，
可得P(X=−2)=C62C122=522，P(X=−1)=C61C21C122=211，P(X=0)=C22C122=166，
P(X=1)=C61C41C122=411，P(X=2)=C41C21C122=433，P(X=4)=C42C122=111，
所以X的概率分布为
(2)解：由(1)得P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)=411+433+111=1933，
所以得分X>0时的概率为1933．
19.解：(1)f(x)=xlnx定义域为(0,+∞)，f′(x)=lnx+1，
令f′(x)>0，即lnx+1>0，
解得x>1e，
所以f(x)在(1e ,+∞)单调递增；
(2)对任意x∈(0,+∞)，不等式f(x)≥12g(x)恒成立，
即xlnx≥12(−x2+ax−3)恒成立，
分离参数得a≤2lnx+x+3x，
令g(x)=2lnx+x+3x(x∈(0,+∞))，则g′(x)=(x+3)(x−1)x2，
当x∈(0,1)时，g′(x)0，g(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以g(x)min=g(1)=4，即a≤4，
故a的取值范围是(−∞,4]． X
2
3
4
P
12
1−2q
2q2
x
(0,32)
32
(32,+∞)
f′(x)
+
0
−
f(x)
↗
极大值−34+3ln32
↘
X
−2
−1
0
1
2
4
P
522
211
166
411
433
111