2024-2025学年北京市海淀区首都师大附中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市海淀区首都师大附中高二（上）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量m=(−3,2,4)，n=(1,−3,−2)，则|m+n|=( )
A. 2 2B. 8C. 3D. 9
2.直线2x+y+7=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则a、b的值是( )
A. a=−7，b=−7B. a=−7，b=−72
C. a=−72，b=7D. a=−72，b=−7
3.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，若AC1=aAB+2bAD+3cA1A，则abc的值等于( )
A. 16B. 56C. 76D. −16
4.方程x2+y2+ax−2by+c=0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为( )
A. 4、2、4B. −4、2、4C. −4、2、−4D. 4、−2、−4
5.已知a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若a//α，a//b，则b//αB. 若a//α，a//β，则α//β
C. 若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βD. 若a⊥α，b⊥α，则a//b
6.若直线l1：ax+3y+1=0与直线l2：2x+(a+1)y+1=0互相平行，则a的值是( )
A. −3B. 2C. −3或2D. 3或−2
7.一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态).将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为( )
A. 3B. 2C. 3 32D. 94
8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点A(2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A. 10−1B. 2 5−1C. 2 5D. 10
9.已知动直线l与圆O：x2+y2=16交于A、B两点，且∠AOB=120°.若l与圆(x−2)2+y2=25相交所得的弦长为t，则t的最大值与最小值之差为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，曲线W的方程是 x2+y2+|y|=1，P为W上的任意一点，给出下面四个命题：
①曲线W上的点关于x轴、y轴对称；
②曲线W上两点间的最大距离为2 2；
③|OP|的取值范围为[12,1]；
④曲线W围成的图形的面积小于23．
则以上命题中正确命题为( )
A. ①②B. ①③C. ①④D. ③④
二、填空题：本题共5小题，每小题6分，共30分。
11.直线l：x+ 3y−1=0的倾斜角为______，经过点(1, 3)且与直线l垂直的直线方程为______．
12.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则在正方体的顶点中，满足到平面A1DB的距离为 33的一个顶点为______．
13.直线l过点(−4,0)且与圆(x+1)2+(y−2)2=9相切，那么直线l的方程为 ．
14.设m∈R，过定点M的直线l1：x+my−3m−1=0与过定点N的直线l2：mx−y−3m+1=0相交于点P，则点M坐标为______，|PM|+|PN|的最大值为______．
15.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，A1D1的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：
①平面CMN截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面图形是五边形；
②直线B1D1到平面CMN的距离是 22；
③存在点P，使得∠B1PD1=90°；
④△PDD1面积的最小值是5 56．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD//BC，AD⊥AB，AB= 2，AD=2，BC=4，AA1=2，点E是DD1的中点，点F是平面B1C1E与直线AA1的交点．
(1)证明：EF//A1D1；
(2)求直线BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．
17.(本小题12分)
已知圆C过原点O和点A(1,3)，圆心在x轴上．
(1)求圆C的方程；
(2)直线l经过点(1,1)，且l被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程；
(3)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量OQ=OM+ON，求动点Q的轨迹方程．
18.(本小题12分)
图1是边长为 2的正方形ABCD，将△ACD沿AC折起得到如图2所示的三棱锥P−ABC，且PB= 2．

(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；
(2)棱PA上是否存在一点M，使得二面角M−BC−A的余弦值为5 39，若存在，求出AMAP的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C
2.D
3.D
4.B
5.D
6.A
7.D
8.B
9.D
10.B
11.5π6 3x−y=0
12.点A(A,B1,D1,C中任填一个即可)(答案不唯一)
13.x=4或5x+12y+20=0
14.(1,3) 4
15.①③
16.(1)证明：因为C1B1//A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，
所以则C1B1/​/平面ADD1A1，
又因为C1B1⊂平面B1C1EF，平面B1C1EF∩平面ADD1A1=EF，所以C1B1//EF，
所以EF//A1D1；
(2)因为BB1⊥平面A1B1C1D1，A1B1⊥A1D1，A1D1//C1B1，所以A1B1⊥C1B1，
故以点B1为坐标原点，分别以A1B1，C1B1，BB1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则B1(0,0,0),C1(0,4,0),E( 2,2,1),B(0,0,2)，
B1C1=(0,4,0),B1E=( 2,2,1),BC1=(0,4,−2)，
设平面B1C1EF的法向量为n=(x,y,z)，
则B1C1⋅n=0B1E⋅n=0，即4y=0 2x+2y+z=0，
取x=1，则y=0，z=− 2，则n=(1,0,− 2)，
设直线BC1与平面B1C1EF所成的角为θ，
则sinθ=|cs〈BC1,n〉|=|BC1⋅n||BC1|⋅|n|=2 22 5× 3= 3015，
故直线BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值为 3015．
17.解：(1)已知圆C过原点O和点A(1,3)，圆心在x轴上，
设圆心为C(a,0)，由题意可得|OC|=|AC|，
则|a|= (a−1)2+(0−3)2，解得a=5，所以圆C的半径为|a|=5，
故圆C的方程为(x−5)2+y2=25；
(2)直线l经过点(1,1)，且l被圆C截得的弦长为6，
由题意可知，圆心C到直线l的距离为d= 52−32=4，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，
此时，圆心C到直线l的距离为4，合乎题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−1=k(x−1)，即kx−y+1−k=0，
由题意可得|5k+1−k| k2+1=|4k+1| k2+1=4，解得k=158，
此时，直线l的方程为y−1=158(x−1)，即15x−8y−7=0；
综上所述，直线l的方程为x=1或15x−8y−7=0；
(3)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量OQ=OM+ON，
设点M(x0,y0)，其中x0≠0，则N(x0,0)，设点Q(x,y)，

因为OQ=OM+ON，则(x,y)=(x0,y0)+(x0,0)=(2x0,y0)，
可得x=2x0y=y0，可得x0=x2y0=y，
因为点M在圆C上，则(x0−5)2+y02=25，即(x2−5)2+y2=25，
故点Q的轨迹方程为(x−10)2+4y2=100(x≠0)．
18.(1)证明：在图1中，连接BD，交AC于点O，
因为四边形ABCD是边长为 2的正方形，所以AC⊥BD，AC=2，
在图2中，有AC⊥PO，AC⊥BO，PO=BO=12AC=1，
因为PB= 2，所以PO2+BO2=PB2，即PO⊥OB，
又AC∩BO=O，PO∩AC=O，PO、AC⊂平面PAC，
所以PO⊥平面ABC，
因为PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC．
(2)解：由(1)知，OB，OA，OP两两垂直，
故以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,1,0)，C(0,−1,0)，B(1,0,0)，P(0,0,1)，
所以AP=(0,−1,1)，AB=(1,−1,0)，CB=(1,1,0)，
假设在棱PA上存在点M，满足AM=λAP,λ∈[0,1]，使得二面角M−BC−A的余弦值为5 39，
则BM=AM−AB=λ(0,−1,1)−(1,−1,0)=(−1,1−λ,λ)，
设平面MBC的法向量为n=(x,y,z)，则CB⋅n=x+y=0BM⋅n=−x+(1−λ)y+λz=0，
取x=λ，则y=−λ，z=2−λ，所以n=(λ,−λ,2−λ)，
易知平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1)，
所以|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m|⋅|n|=|2−λ| 3λ2−4λ+4=5 39，化简得6λ2+λ−1=0，
解得λ=13或λ=−12(舍去)，
所以AM=13AP，
即棱PA上存在点M，当AMAP=13时，二面角M−BC−A的余弦值为5 39．