2024-2025学年河南省郑州七中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省郑州七中高二（上）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l经过点M(−1,0)，N(0,7)，则直线l的方程为( )
A. 7x+y+7=0B. 7x+y−7=0C. 7x−y−7=0D. 7x−y+7=0
2.若椭圆x2a2+y23=1(a> 3)的长半轴长等于其焦距，则a=( )
A. 2B. 2 2C. 2 3D. 4
3.已知直线l1：2x+3y−1=0与直线l2：3x+(m+1)y+2=0垂直，则实数m=( )
A. 3B. −3C. 2D. 1
4.抛物线y=−2025x2的准线方程为( )
A. x=20252B. x=20254C. y=14050D. y=18100
5.已知圆x2+y2+4x−2ay+3a2−a+1=0的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为( )
A. (−1,32)B. (−1,0]C. (0,32)D. (−32,1)
6.在四面体ABCD中，E为棱AD的中点，点F为线段BE上一点，且BF=4FE，设AB=m，AC=n，AD=t，则CF=( )
A. 15m−n−25tB. 15m−n+25tC. 15m+n−25tD. 25m−n+15t
7.已知点P为圆C：(x−2)2+y2=r2(r>0)上一动点，若直线x− 3y+6=0上存在两点A，B，满足|AB|=4，且∠APB=90°，则r的最小值为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，M为棱A1D1的中点，G为侧面CDD1C1的中心，点P，Q分别为直线AD，AB上的动点，且PG⊥MQ，当|PQ|取得最小值时，点Q到平面PMG的距离为( )
A. 62B. 52C. 1D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a，b满足a+b=(−1,1,3)，a−2b=(−4,−2,−3)，c=(2,2,4)，则下列结论正确的是( )
A. a=(2,0,−1)B. |c|=2 6
C. b/​/cD. cs〈a,a−b〉=511
10.已知直线l的方程为(m+n)x+(2m−n)y+3n=0(m,n∈R)，圆C的方程为(x−1)2+y2=12，则下列结论正确的是( )
A. 直线l恒过定点(−2,1)B. 圆C的半径为12
C. 直线l与圆C恒有两个交点D. 圆心C到直线l距离的最大值为 10
11.已知点F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，点P为抛物线C上位于第一象限内的点，直线l为抛物线C的准线，点Q在直线l上，若|PF|=2+ 2，|QF|= 2，∠PFQ=90°，且直线PF与抛物线C交于另一点M，则下列结论正确的是( )
A. 直线PF的倾斜角为60°B. 抛物线C的方程为y2=2x
C. |MF||PF|=3−2 2D. 点Q在以线段PM为直径的圆上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面α的法向量为m=(2,3,z)，平面β的法向量为n=(x,1,5)，若α/​/β，x，z∈R，则xz= ______．
13.已知双曲线C1：x2a12−y2b12=1(a1>0,b1>0)的一条渐近线与双曲线C2：x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0)的一条渐近线关于直线y=x对称，且这两条渐近线的夹角为30°，则双曲线C1与C2的离心率之积为______．
14.过圆M：x2+(y−2)2=1上的一个动点A作圆C：x2+y2+6x+4y+9=0的两条切线，切点分别为P，Q，则|PQ|的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C：(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)经过点A(−3,3)，B(−1,1)，且圆C与直线l1：x+y+2 2+2=0，l2：x+y−2 2+2=0均相切．
(1)若经过圆心C的直线l与l1，l2平行，求直线l的方程；
(2)求圆C的标准方程．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面
ABCD，PA=3，且AP=2AH，AG=GB，DP=3MP，
(1)求直线AP与直线CM所成角的余弦值；
(2)证明：M，C，G，H四点共面．
17.(本小题15分)
已知点M(2,3)在双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上，且C的实轴长为2，F1，F2分别为C的左、右焦点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点M的直线l与C交于另一点N，且点N位于x轴下方，若S△MF1F2=S△MNF1，求点N的坐标．
18.(本小题17分)
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，|AA1|= 52|AB|，cs〈AB,AA1〉= 55，点E，F分别为AB，CC1的中点，且AD⋅(A1A+A1B)=0．
(1)证明：平面A1EF⊥平面ABCD；
(2)若AB=2，直线AA1与平面A1BC1所成角的正弦值为4 515，求AD的长度．
19.(本小题17分)
已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)，定义A，B的“倒影距离”为[A,B]=|x1−y2|+|x2−y1|，我们把到两定点F1(−2,0)，F2(2,0)的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫做“倒影椭圆”．
(1)求“倒影椭圆”C的方程；
(2)求“倒影椭圆”C的面积；
(3)设O为坐标原点，若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E，D为外接椭圆E的下顶点，过点(0,2)的直线与椭圆E交于P，Q两点(均异于点D)，且△DPQ的外接圆的圆心为H(异于点O)，证明：直线OH与PQ的斜率之积为定值．
参考答案
1.D
2.A
3.B
4.D
5.C
6.B
7.C
8.A
9.BC
10.ACD
11.BCD
12.10
13.4 33
14.[2 3,8 23]
15.解：(1)圆C：(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)经过点A(−3,3)，B(−1,1)，且圆C与直线l1：x+y+2 2+2=0，l2：x+y−2 2+2=0均相切．
直线l到直线l1，l2的距离都等于圆的半径，
设直线l的方程为x+y+m=0，
则|2 2+2−m| 2=|−2 2+2−m| 2，解得m=2，
所以直线l的方程为x+y+2=0；
(2)由题意可得(−3−a)2+(3−b)2=r2(−1−a)2+(1−b)2=r2a+b+2=0，
解得a=−3b=1r2=4，
所以圆C的标准方程为(x+3)2+(y−1)2=4．
16.解：(1)连接AC，∵四边形ABCD为菱形，
又∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，
取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC，∴AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥AE，
以A为原点，以AE，AD，AP所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz．

则A(0,0,0),P(0,0,3),C( 3,1,0)，D(0,2,0),AP=(0,0,3)，由DP=3MP，
可知M(0,23,2)，∴CM=(− 3,−13,2)，
∴cs〈AP,CM〉=AP⋅CM|AP||CM|=6 32× 3+19+4=63×83=34；
(2)证明：∵AP=2AH,AG=GB，∴G，H分别为AB，AP中点，
则H(0,0,32)，G( 32,−12,0)，连接CG，CH，则CH=(− 3,−1,32)，CG=(− 32,−32,0)，
设CH=μCG+λCM，由(1)知CM= (− 3,−13,2)，
则(− 3,−1,32)=μ(− 32,−32,0)+λ(− 3,−13,2)=(− 32μ− 3λ,−32μ−13λ,2λ)，
则− 32μ− 3λ=− 3,−32μ−13λ=−1,2λ=32,
解得μ=12,λ=34，
∴CH=12CG+34CM，
故M，C，G，H四点共面．
17.解：(1)因为点M(2,3)在双曲线C上，且双曲线的实轴长为2，
所以2a=24a2−9b2=1，
解得a=1,b= 3，
则双曲线C的标准方程为x2−y23=1；
(2)因为S△MF1F2=S△MNF1，
所以点N，F2 到直线MF1的距离相等，
因为点N位于x轴下方，
所以NF2//MF1，
由(1)知，F1(−2,0)，F2(2,0)，
所以kNF2=kMF1=3−02−(−2)=34，
则直线NF2的方程为y=34(x−2)，
联立y=34(x−2)x2−y23=1，消去y并整理得13x2+12x−28=0，
解得x=1413或x=−2，
当x=1413时，
解得y=−913，
即N(1413,−913)；
当x=−2时，
解得y=−3，
即N(−2,−3)．
综上，点N的坐标为(1413,−913)或(−2,−3)．

18.(1)证明：设AB=2a，则AA1= 5a，
因为A1B=AB−AA1，
所以|A1B|2=(AB−AA1)2=AB2−2AB⋅AA1+AA12=4a2−2⋅2a⋅ 5a⋅ 55+5a2=5a2，
所以|A1B|= 5a，即AA1=A1B，
因为E为AB的中点，
所以AB⊥A1E，且A1A+A1B=2A1E，
所以AD⋅(A1A+A1B)=2AD⋅A1E=0，即AD⊥A1E，
又AB∩AD=A，AB，AD⊂平面ABCD，
所以A1E⊥平面ABCD，
因为A1E⊂平面A1EF，
所以平面A1EF⊥平面ABCD．
(2)解：由AB=2，可得AE=1,AA1= 5，则A1E= 5−1=2，
以点E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD=b(b>0)，
则E(0,0,0)，A1(0,0,2)，A(−1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,b,0)，
所以AA1=(1,0,2),A1C1=AC=(2,b,0),A1B=(1,0,−2)，
设平面A1BC1的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅A1C1=2x+by=0m⋅A1B=x−2z=0，
令z=b，则x=2b，y=−4，所以m=(2b,−4,b)，
设直线AA1与平面A1BC1所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|m⋅AA1||m|⋅|AA1|=4b 4b2+16+b2× 5=4 515，
解得b=±2(舍负)，
所以AD的长度为2．
19.解：(1)设M(x,y)，∵定点F1(−2,0)，F2(2,0)，
由“倒影距离”的定义可知，[M,F1]=|x−0|+|−2−y|=|x|+|y+2|，
[M,F2]=|x−0|+|2−y|=|x|+|y−2|，
由题意[M,F1]+[M,F2]=6，即2|x|+|y+2|+|y−2|=6，
∴“倒影椭圆”C的方程为2|x|+|y+2|+|y−2|=6；
(2)由2|x|+|y+2|+|y−2|=6，
得2|x|=6−|y+2|−|y−2|，
当x≥0时，x=y+3,−3≤y≤−21,−2