2024-2025学年内蒙古呼和浩特二中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年内蒙古呼和浩特二中高二（上）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知椭圆C：x225+y29=1，则椭圆C的焦距为( )
A. 5B. 10C. 4D. 8
2.无论k为何值，直线(k+2)x+(1−k)y−2k−4=0都过一个定点，则该定点为( )
A. (−2,0)B. (0,2)C. (2,0)D. (0,−2)
3.已知△ABC的周长为20，且顶点B (0,−4)，C (0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A. x236+y220=1(x≠0)B. x220+y236=1(x≠0)
C. x26+y220=1(x≠0)D. x220+y26=1(x≠0)
4.方程x ​2+y ​2+ax−2ay+2a ​2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆圆心位于 ( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.已知直三棱柱ABC−A1B1C1，∠BAC=90°，AB=AC=12AA1，那么异面直线B1C与A1B所成角的余弦值为( )
A. 3010B. 12C. 155D. 1010
6.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，M，N分别是棱AB，CC1的中点，则点A1到直线MN的距离为( )
A. 24
B. 17412
C. 1
D. 23
7.设M是椭圆C：x29+y24=1上的上顶点，点P在C上，则|PM|的最大值为( )
A. 9 55B. 15C. 13D. 4
8.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，B(0,b)，若经过F1的弦AB满足|AB|=|AF2|，则椭圆C的离心率是( )
A. 33B. 34C. 63D. 64
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线x+y−1=0上与点P(−2,3)的距离等于 2的点的坐标是( )
A. (−4,5)B. (−3,4)C. (−1,2)D. (0,1)
10.如图所示，已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1、F2为左右焦点，下列命题正确的是( )
A. P为椭圆上一点，线段PF1中点为Q，则PF1+2OQa为定值
B. 直线y=kx与椭圆交于R，S两点，A是椭圆上异与R，S的点，且kAR、kAS均存在，则kAR⋅kAS=1−e2
C. 若椭圆上存在一点M使∠F1MF2=2π3，则椭圆离心率的取值范围是[ 32,1)
D. 四边形ABCD为椭圆内接矩形，则其面积最大值为2ab
11.已知P(4,2)，A(4,0)，点Q为圆O：x2+y2=4上一动点，过点P作圆O的切线，切点分别为M、N，下列说法正确的是( )
A. 若圆C：(x−2)2+(y−3)2=1，则圆O与圆C有四条公切线
B. 若x，y满足x2+y2=4，则−4≤ 3x+y≤4
C. 直线MN的方程为2x+y−1=0
D. PQ+12AQ的最小值为 13
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在四面体O−ABC中，空间的一点M满足OM=λOA+2OB−4OC，若M，A，B，C四点共面，则λ= ______．
13.在空间直角坐标系中，u(x−x0)+v(y−y0)+w(z−z0)=0表示经过点(x0,y0,z0)，且法向量为(u,v,w)的平面的方程，则点P(1,1,3)到平面(x−1)−2(y+1)+2(z−2)=0的距离为______．
14.圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的.一直到两千多年前我国的墨子(约公元前468−前376年)才给圆下了一个定义：圆，一中同长也.意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.现在以点(3,2)为圆心，2为半径的圆上取任意一点P(x,y)，若|3x+4y+a|+|6−3x−4y|的取值与x、y无关，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知圆C1的圆心为坐标原点，且与直线3x+4y−10=0相切．
(1)求圆C1的标准方程；
(2)若直线l过点M(1,2)，直线l被圆C1所截得的弦长为2 3，求直线l的方程．
16.(本小题12分)
如图所示，在几何体ABCDEFG中，四边形ABCD和ABFE均为边长为2的正方形，AD//EG，AE⊥底面ABCD，M、N分别为DG、EF的中点，EG=1．

(1)求证：MN//平面CFG；
(2)求直线AN与平面CFG所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
已知在△ABC中，点A(−1,0)，角C的平分线所在直线的方程为y=x+2，AB边上的高所在直线的方程为x+2y−7=0．
(1)求点C的坐标及直线AB的方程；
(2)求点B的坐标．
18.(本小题12分)
已知P(0, 2)和Q( 2,1)为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的两点．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设直线l：y=kx+1与椭圆C交于A、B两点，求S△AOB的取值范围．
19.(本小题12分)
刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为2π−3×π3=π.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点A的曲率为2π3，N，M分别为AB，CC1的中点，且AB=AC．
(1)证明：CN⊥平面ABB1A1；
(2)若AA1= 2AB，求二面角B1−AM−C1的余弦值；
(3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D，棱数为L，面数为M，则有：D−L+M=2.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率(多面体有顶点的曲率之和)是常数．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.D
5.A
6.B
7.A
8.A
9.BC
10.ACD
11.ABD
12.3
13.23
14.(−∞,−27]
15.解：(1)∵原点O到直线3x+4y−10=0的距离为|−10| 32+42=2，
∴圆C1的标准方程为x2+y2=4；
(2)当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=1，代入x2+y2=4，
得y=± 3，即直线l被圆C1所截得的弦长为2 3，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y−2=k(x−1)，即kx−y−k+2=0．
∵直线l被圆C1所截得的弦长为2 3，圆的半径为2，
则圆心到直线l的距离d= 22−( 3)2=1=|−k+2| k2+1，解得k=34．
∴直线l的方程为34x−y−34+2=0，即3x−4y+5=0．
综上，直线l的方程为x=1或3x−4y+5=0．
16.解：(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，AE⊥底面ABCD，所以AB，AD，AE两两相互垂直，
如图，以A为原点，分别以AB，AD，AE的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系A−xyz，

由题意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2)，
G(0,1,2)，M(0,32,1)，N(1,0,2)，
所以CF=(0,−2,2)，CG=(−2,−1,2)，MN=(1,−32,1)，
设平面CFG的一个法向量n1=(x1,y1,z1)，则n1⊥CF，n1⊥CG，
故n1⋅CF=0n1⋅CG=0，即−2y1+2z1=0−2x1−y1+2z1=0，令z1=2，得n1=(1,2,2)，
所以n1⋅MN=(1,2,2)⋅(1,−32,1)=1×1+2×(−32)+2×1=0，
所以MN⊥n1，又MN⊄平面CFG，所以MN/​/平面CFG．
(2)由(1)得，直线AN的一个方向向量为AN=(1,0,2)，平面CFG的一个法向量为n1=(1,2,2)，
设直线AN与平面CFG所成角为θ，
则sinθ=|cs〈n1,AN〉|=|n1⋅AN||n1|⋅|AN|=|1×1+0×2+2×2| 12+22 12+22+22=53 5= 53，
所以直线AN与平面CFG所成角的正弦值为 53．
17.解：在△ABC中，点A(−1,0)，角C的平分线所在直线的方程为y=x+2，AB边上的高所在直线的方程为x+2y−7=0．
(1)设C(x,y)，联立方程组y=x+2x+2y−7=0，解得x=1，y=3，所以点C的坐标为(1,3)，
由题可得直线AB的斜率为kAB=−1−12=2，
所以AB的直线方程为y−0=2(x+1)，即2x−y+2=0．
(2)设A(−1,0)关于直线y=x+2的对称点为A′(x1,y1)，
可得y1−0x1+1×1=−1y1+02=x1−12+2，解得x=−2，y=1，所以A′(−2,1)，
因为角C的平分线所在直线的方程为y=x+2，可得点A′(−2,1)在直线BC上，
可得kBC=3−11−(−2)=23，所以BC的直线方程为y−3=23(x−1)，即2x−3y+7=0，
联立方程组2x−3y+7=02x−y+2=0，解得x=14,y=52，所以点B的坐标为(14,52)．
18.解：(1)依题意有2b2=12a2+1b2=1，解得a2=4b2=2，
所以c2=a2−b2=4−2=2，所以a=2，b= 2，c= 2，
所以椭圆离心率e=ca= 22．
(2)由(1)有椭圆标准方程为x24+y22=1，
联立y=kx+1x24+y22=1，消去y得(1+2k2)x2+4kx−2=0，
Δ=16k2+8(1+2k2)=32k2+8>0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−4k1+2k2,x1x2=−21+2k2，
则|AB|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2
= 1+k2⋅ (−4k1+2k2)2−−81+2k2
= 1+k2⋅ 32k2+81+2k2，
点O到直线l的距离d=1 k2+1，
所以S△AOB=12|AB|⋅d=12⋅ 1+k2⋅ 32k2+81+2k2⋅1 k2+1= 2⋅ 4k2+1(1+2k2)2，
令4k2+1=t，则t≥1，
则S△AOB=2 2⋅ t(t+1)2=2 2⋅ 1t+1t+2，
因为函数y=t+1t在[1,+∞)上单调递增，
所以t+1t+2≥4，所以0