2024-2025学年北京市海淀区中央民族大学附中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市海淀区中央民族大学附中高二（上）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，E，F分别是长方体ABCD−A′B′C′D′的棱AB，CD的中点，则AB+CF等于( )
A. AD′
B. AC′
C. DE
D. AE
2.直线x+y+ 3=0的倾斜角为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 135°
3.已知圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，则该圆锥的体积为( )
A. 12πB. 15πC. 36πD. 45π
4.在空间直角坐标系中，点A(1,−2,3)关于y轴的对称点为B，则|AB|=( )
A. 2 10B. 2 13C. 2 14D. 4
5.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若m⊥α，α⊥β，则m//βB. 若α∩β=l，l//m，则m//β
C. 若m⊂α，α⊥β，则m⊥βD. 若m⊥α，α//β，则m⊥β
6.已知向量a=(1,0,1)，b=(−2,2,1)，c=(3,4,z)，若a，b，c共面，则z等于( )
A. −9B. −5C. 5D. 9
7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C1与直线B1C所成角的大小为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°
8.已知平面α，β，直线l，b，如果α⊥β，且α∩β=l，M∈α，M∈b，则l⊥b是b⊥β的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P为棱DD1的中点，点Q为面ADD1A1内一点，B1Q⊥AP，则( )
A. S△A1D1Q=2S△A1AQ
B. 2S△A1D1Q=S△A1AQ
C. 2S△A1D1Q=3S△A1AQ
D. 3S△A1D1Q=2S△A1AQ
10.如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板A1B1C1D1E1F1.若其中三根柱子AA1，BB1，CC1的高度依次为12m，9m，10m，则另外三根柱子的高度之和为( )
A. 47m
B. 48m
C. 49m
D. 50m
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知a=(1,0,−1)，b=(2,1,1)，则3a+b= ______．
12.已知平面α的法向量为(2,−4,−2)，平面β的法向量为(−1,2,k)，若α//β，则k= ______．
13.如图，在三棱锥O−ABC中，D是BC的中点，若OA=a，OB=b，OC=c，则AD等于______．
14.已知P(2,3)是直线l上一点，且n=(1,−2)是直线l的一个法向量，则直线l的方程为______．
15.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足平面AA1P⊥平面BB1E.给出下列四个结论：
①△AA1P的面积的最大值为 5；
②满足使△AA1P的面积为2的点P有且只有4个；
③点P可以是CC1的中点；
④线段AP的最大值为3．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知△ABC的顶点坐标分别是A(−1,5)，B(−2,−1)，C(4,3)，M为BC边的中点．
(1)求直线AB的斜率；
(2)求中线AM的方程．
17.(本小题12分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点.求证：
(Ⅰ)BD//平面C1EF；
(Ⅱ)EF⊥平面ACC1A1．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=4，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为PB，PC的中点．
(Ⅰ)求证：平面ADE⊥平面PCD；
(Ⅱ)求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB//DC，AB=AD=2，DC=PD=4，点N是PD的中点，直线PC交平面ABN于点M．
(1)求证：点M是PC的中点；
(2)求二面角A−MN−P的大小
(3)求点P到平面ABMN的距离．
20.(本小题12分)
在三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC为等腰直角三角形，PA⊥PC，AC⊥BC，BC=2AC=4，M为AB的中点．
(Ⅰ)求证：AC⊥PM；
(Ⅱ)求二面角C−PA−B的余弦值；
(Ⅲ)在线段PB上是否存在点N使得平面CMN⊥平面PAB？若存在，求出PNPB的值，若不存在，说明理由．
21.(本小题12分)
n个有次序的实数a1，a2，…，an所组成的有序数组(a1,a2,…,an)称为一个n维向量，其中ai(i=1,2,…,n)称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量a=(a1,a2,…,an)，若|ai|=1，i=1，2…n，称a为n维信号向量.设a=(a1,a2,…,an)，b=(b1,b2,…,bn)，
则a和b的内积定义为a⋅b=i=1naibi=a1b1+a2b2+…+anbn，且a⊥b⇔a⋅b=0．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量x1，x2，…，xk满足它们的前m个分量都是相同的，求证： km