2024-2025学年河南省濮阳市高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省濮阳市高二（上）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l的倾斜角为3π4，且l经过点(−1,2)，则l的方程为( )
A. x+y+3=0B. x+y−1=0C. 2x−y+4=0D. 2x+y=0
2.在空间直角坐标系中，直线l过点A(1,0,−1)且以μ=(3,2,4)为方向向量，M(x,y,z)为直线l上的任意一点，则点M的坐标满足的关系式是( )
A. x−12=y3=z+14B. x+13=y2=z−14
C. x−13=y2=z+14D. x−12=y4=z+13
3.若圆C过P(1,4)，Q(3,4)两点，则当圆C的半径最小时，圆C的标准方程为( )
A. (x−2)2+(y−4)2=4B. (x+2)2+(y+4)2=1
C. (x+2)2+(y+4)2=4D. (x−2)2+(y−4)2=1
4.在四面体ABCD中，M为棱CD的中点，E为线段AM的中点，若BE=aBC+bBD+cBA，则ca=( )
A. 12B. 1C. 2D. 3
5.若直线l：ax−by−4=0与圆O：x2+y2=4相离，则点P(a,b)( )
A. 在圆O外B. 在圆O内C. 在圆O上D. 位置不确定
6.已知直线l经过点P(2,1)，且与圆C：(x+1)2+(y−2)2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则直线l的方程为( )
A. x−y−1=0或7x+y−15=0 B. x−2y=0或7x+y−15=0
C. 4x+3y−11=0或3x+4y−10=0 D. 4x−3y−5=0或3x−4y−2=0
7.曲线x2+y2=4|x|+4|y|的周长为( )
A. 4 2πB. 8 2πC. 12πD. 16π
8.如图，在多面体EF−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点(包括边界)，AE⊥底面ABCD，CF⊥底面ABCD，且AE=CF=2，则ME⋅MF的最小值与最大值分别为( )
A. 72,4
B. 3，4
C. 72,5
D. 52,72
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. a，b，a+c
B. b−2c，c−2a，2a−12b
C. a−b，b−c，c−b−a
D. b−a−c，c−2a+2b，c
10.已知直线l的方程为ax−y−a=0，M(1,−1)，N(3,3)，则下列结论正确的是( )
A. 点M不可能在直线l上
B. 直线l恒过点(1,0)
C. 若点M，N到直线l的距离相等，则a=2
D. 直线l上恒存在点Q，满足MQ⋅NQ=0
11.如图，在三棱锥A−BCD中，BD⊥BC，AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=2，E，F，G，H分别为AB，BD，BC，CD的中点，M是EF的中点，N是线段GH上的动点，则( )
A. 存在a>0，b>0，使得GM=aGH+bGE
B. 不存在点M，N，使得MN⊥EH
C. |MN|的最小值为 52
D. 异面直线AG与EF所成角的余弦值为 105
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系Oxyz中，点P(a,0,2b−3)与Q(a,0,b)关于原点O对称，则点Q的坐标为______．
13.若圆C：(x−2)2+(y−1)2=1关于直线ax+2by+2=0对称，则点(a,b)与圆心C的距离的最小值是______．
14.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点A(−7,0)，B为直线l：2x+y+3=0上的动点，P为圆C：(x−2)2+y2=9上的动点，则|PA|+3|PB|的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知圆C的圆心在直线y=2x和直线2x+y−4=0的交点上，且圆C过点(−1,1)．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆B的方程为x2+y2−4x+4y+3=0，判断圆B与圆C的位置关系．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形．PA=AB=2,AD=4,PB=2 2,PD=2 5,N为CD的中点．
(1)证明：PA⊥BN；
(2)求直线AB与平面PBN所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
已知直线l：x−y−1=0．
(I)若直线m与l平行，且m，l之间的距离为2 2，求m的方程；
(Ⅱ)P为l上一点，点M(1,−2)，N(2,6)，求|PN|−|PM|取得最大值时点P的坐标．
18.(本小题12分)
如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1=A1C，O为AC的中点，且A1O=2，D为A1C的中点，E为AD的中点，BF=14BB1．
(1)设向量a为平面ABC的法向量，证明：EF⋅a=0；
(2)求点A到平面BCD的距离；
(3)求平面BCD与平面B1DC夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=max{|x1−x2|，|y1−y2|}为两点A(x1,y1)，B(x2,y2)的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称d(P,Q)的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作d(P,l)．
(I)已知点P(3,1)和点R(−1,4)，直线l：x=1，求d(P,R)和d(P,l)．
(Ⅱ)已知圆C：x2+y2−2x−3=0和圆E：(x−a)2+(y−a+32)2=254．
(i)若两圆心的切比雪夫距离d(C,E)=12，判断圆C和圆E的位置关系；
(ii)若a>0，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且d(M,N)=3，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线AN为l1，直线BN为l2，证明：d(M,l1)=d(M,l2).
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.C
5.B
6.A
7.B
8.A
9.BD
10.ABD
11.BCD
12.(0,0,1)
13.2 2
14.3 5
15.解：(1)已知圆C的圆心在直线y=2x和直线2x+y−4=0的交点上，
联立y=2x2x+y−4=0，
得x=1y=2，
即圆心坐标为(1,2)，
又圆C过点(−1,1)，
所以 [1−(−1)]2+(2−1)2= 5，
所以圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=5．
(2)由(1)知，圆C的圆心为C(1,2)，半径r1= 5，
圆B的方程x2+y2−4x+4y+3=0可化为(x−2)2+(y+2)2=5，
则圆B的圆心为B(2,−2)，半径r2= 5．
因为|CB|= (1−2)2+(2+2)2= 17，
所以0=r1−r2