2023-2024学年上海市宝山区通河中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年上海市宝山区通河中学高二（上）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线倾斜角的范围是( )
A. (0,π2]B. [0,π2]C. [0,π)D. [0,π]
2.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是( )
A. 720B. 710C. 310D. 35
4.关于曲线M：x12+y12=1，有下述两个结论：①曲线M上的点到坐标原点的距离最小值是 22；②曲线M与坐标轴围成的图形的面积不大于12，则下列说法正确的是( )
A. ①、②都正确B. ①正确②错误C. ①错误②正确D. ①、②都错误
二、填空题：本题共12小题，共42分。
5.椭圆x2+y24=1的焦距为______．
6.若球O的表面积为4π，则球O的体积为______．
7.已知数列{an}是各项为正的等比数列，a1=1，a5=1，则其前10项和S10= ______．
8.已知事件A与事件B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A∪B)= ______．
9.若抛物线x2=my的顶点到它的准线距离为12，则正实数m= ______．
10.某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为______．
11.已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为 ．
12.若双曲线x216−y2m=1经过点(4 2,3)，则此双曲线的渐近线夹角的为______．
13.若数列{an}满足a1=12，an+1=an+2n(n≥1,n∈N)，则{an}的通项公式是______．
14.在体积为9的斜三棱柱ABC−A1B1C1中，S是C1C上的一点，S−ABC的体积为2，则三棱锥S−A1B1C1的体积为______
15.已知无穷等比数列{an}满足：i=1+∞ai=3,i=1+∞ai2=92，则{an}的通项公式是______．
16.已知直线l1：y−2=0和直线l2：x+1=0，则曲线(x−1)2+y2=1上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是______．
三、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
随机抽取某校甲乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据如下：
甲班：170 179 162 168 158 182 179 168 163 171
乙班：159 173 179 178 162 181 176 168 170 165
(1)计算甲班的样本方差；
(2)求乙班数据的25%分位数．
18.(本小题8分)
在长方体ABCD−A1B1C1D1中(如图)，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点．
(1)求异面直线AD1与EC所成角的大小；
(2)《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE是否为鳖臑？并说明理由．
19.(本小题8分)
已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=n2+n，其中n∈N，且n≥1．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{1anan+1}的前n项和Hn．
20.(本小题10分)
如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m．
(Ⅰ)试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60°；
(Ⅱ)在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q⊥AP，并证明你的结论．
21.(本小题12分)
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2 3，离心率为 32，椭圆的左右焦点分别为F1、F2，直角坐标原点记为O.设点P(0,t)，过点P作倾斜角为锐角的直线l与椭圆交于不同的两点B、C．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆上有一动点T，求PT⋅(TF1−TF2)的取值范围；
(3)设线段BC的中点为M，当t≥ 2时，判别椭圆上是否存在点Q，使得非零向量OM与向量PQ平行，请说明理由．
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.C
5.2 3
6.4π3
7.10
8.0.7
9.2
10.300
11.12π
12.arccs725
13.an=n2−n+12
14.1
15.an=2⋅(13)n−1
16.4− 2
17.解：(1)依题意，设甲班的样本平均数为x−，方差为s2，
则x−=110×(170+179+162+168+158+182+179+168+163+171)=170，
所以s2=110×[02+92+(−8)2+(−2)2+(−12)2+122+92+(−2)2+(−7)2+12]=57.2；
(2)将乙班数据从小到大重新排列得：159，162，165，168，170，173，176，178，179，181，
又10×25%=2.5，所以乙班数据的25%分位数为第3位数，即165cm．
18.解：(1)取CD中点F，连接AF，则AF/​/EC，
∴∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角．
在长方体ABCD−A1B1C1D1中，由AD=AA1=1，AB=2，
得AD1= 2，AF= 2，D1F= 2，
∴△AD1F为等边三角形，则∠D1AF=π3．
∴异面直线AD1与EC所成角的大小为π3；
(2)连接DE，∵E为AB的中点，∴DE=EC= 2，
又CD=2，∴DE2+CE2=DC2，得DE⊥CE．
∵D1D⊥底面DEC，则D1D⊥CE，∴CE⊥平面D1DE，得D1E⊥CE．
∴四面体D1CDE的四个面都是直角三角形，
故四面体D1CDE是鳖臑．
19.解：(1)当n∈N，且n≥1时，有Sn=n2+n，
∴当n∈N，且n≥2时，有Sn−1=(n−1)2+n−1，
两式相减，得an=2n，
当n=1时，S1=12+1⇒a1=2，适合an=2n，
∴an=2n，n∈N∗；
(2)∵an=2n，n∈N∗；
∴1anan+1=12n(2n+2)=14⋅1n(n+1)=14(1n−1n+1)，
因此Hn=14(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=n4(n+1)．
20.(Ⅰ)解：建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1,m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,2)，D1(0,0,2)．
∴BD=(−1,−1,0), BB1 =(0,0,2)，AP=(−1,1,m),AC=(−1,1,0)．
又∵AC⋅BD=0,AC⋅BB1=0，
∴AC为平面BB1D1D一个法向量．
设AP与面BDD1B1所成的角为θ，则sinθ=cs(π2−θ)=|AP⋅AC||AP|⋅|AC|=2 2⋅ 2+m2= 32，
∴m= 63．
∴当m= 63时，直线AP与平面BDD1B1所成角为60°；
(Ⅱ)解：在A1C1上存在这样的点Q，使得对任意的m，D1Q⊥AP
证明：设此点的横坐标为x，则Q(x,1−x,2),D1Q=(x,1−x,0).由(1)知AP=(−1,1,m)，
依题意，D1Q⊥AP⇔D1Q·AP=0⇔−x+1−x=0⇔x=12．
即Q为A1C1的中点时，使得对任意的m，D1Q⊥AP．
21.解：(1)∵椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2 3，离心率为 32，
∴c= 3，e=ca= 32，可得a=2，∴b= a2−c2=1，
∴椭圆的标准方程为x24+y2=1；
(2)设动点T(x,y)，F1F2=(2 3,0)，PT=(x,y−t)，
PT⋅(TF1−TF2)=−PT⋅F1F2=−2 3x，
∵x∈[−2,2]，∴PT⋅(TF1−TF2)的取值范围为[−4 3,4 3]；
(3)显然直线的斜率存在，故可设直线l：y=kx+t，
联立y=kx+tx24+y2=1，消去y得(1+4k2)x2+8ktx+4t2−4=0，
Δ=−16t2+64k2+16>0，即k2>t2−14①，
设B(x1,y1)、C(x2,y2)，
由根与系数的关系可得x1+x2=−8kt1+4k2，x1x2=4t2−41+4k2，
则x1+x22=−4kt1+4k2，y1+y22=k(x1+x2)+2t2=−4k2t1+4k2+t=t1+4k2，
则xM=(−4kt1+4k2,t1+4k2)，
故kOM=−14k，
若OM//PQ，则有kPQ=kOM=−14k，
设直线PQ为y=−14kx+t，
联立y=−14kx+tx24+y2=1，消去y有(1+14k2)x2−2tkx+4t2−4=0，
要使得存在点Q，则Δ2=4t2k2−4(1+14k2)(4t2−4)≥0，
整理得16+4k2−16t2≥0，
故k2≤14t2−4②，
由①②式得，t2−14