2024-2025学年北京市海淀区清华大学附中高一（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市海淀区清华大学附中高一（上）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={x|−3bc2
6.“a≥4”是“二次函数f(x)=x2−ax+a有零点”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.在下列区间中，一定包含函数f(x)=2x+x−5零点的区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
8.已知函数f(x)=1,x≤01x,x>0，则使方程x+f(x)=m有解的实数m的取值范围是( )
A. (1,2)B. (−∞,−2)
C. (−∞,1)∪(2,+∞)D. (−∞,1]∪[2,+∞)
9.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0,+∞)(x1≠x2)，都有f(x2)−f(x1)x2−x10的解集是( )
A. (−∞,−3)∪(0,3)B. (−3,0)∪(3,+∞)
C. (−3,3)D. (−∞,−3)∪(3,+∞)
10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数f(x)=ae2x+bex(ab≠0,e=2.71828⋯)来表示．下列结论正确的是( )
A. 若ab>0，则函数f(x)为奇函数B. 若ab>0，则函数f(x)有最小值
C. 若ab0时，f(x)= ______．
15.已知非空集合A，B满足以下四个条件：
①A∪B={1,2,3,4,5,6}；
②A∩B=⌀；
③A中的元素个数不是A中的元素；
④B中的元素个数不是B中的元素．
(i)如果集合A中只有1个元素，那么集合A的元素是______；
(ⅱ)有序集合对(A,B)的个数是______．
三、解答题：本题共6小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
已知集合A={x|−1≤x≤4}，B={x|a−1≤x≤a+1}．
(1)若a=4，求A∩B；
(2)若A∪B=A，求a的取值范围．
17.(本小题6分)
解下列关于x的不等式：
(1)2x+1x−2≤1；
(2)|2x−1|≥3；
(3)ax2+(a−2)x−2≥0(a∈R)．
18.(本小题6分)
已知函数f(x)=a⋅2x−2−x是定义在R上的奇函数．
(1)求a的值，并用定义法证明f(x)在R上单调递增；
(2)解关于x的不等式f(3x2−5x)+f(x−4)>0．
19.(本小题6分)
某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
20.(本小题7分)
已知函数f(x)=mx2−(m−1)x+m．
(1)若不等式f(x)>0的解集为R，求m的取值范围；
(2)若不等式f(x)≤0对一切x∈(0,+∞)恒成立，求m的取值范围．
21.(本小题6分)
设k是正整数，集合A至少有两个元素，且A⊆N∗.如果对于A中的任意两个不同的元素x，y，都有|x−y|≠k，则称A具有性质P(k)．
(1)试判断集合B={1,2,3,4}和C={1,4,7,10}是否具有性质P(2)？并说明理由；
(2)若集合A={a1,a2,⋯,a12}⊆{1,2,⋯,20}，求证：A不可能具有性质P(3)；
(3)若集合A⊆{1,2,⋯,2023}，且同时具有性质P(4)和P(7)，求集合A中元素个数的最大值．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.A
5.B
6.A
7.B
8.D
9.C
10.D
11.[1,+∞)
12.12 2
13.−3
14.12 1−2−x
15.5 10
16.解：(1)当a=4时，B={x|3≤x≤5}，
因为A={x|−1≤x≤4}，
所以A∩B={x|3≤x≤4}．
(2)因为A∪B=A，所以B⊆A，
又因为a−10，
问题转化为m≤−xx2−x+1=−1x+1x−1对一切x>0恒成立，
因为x+1x≥2 x⋅1x=2，当且仅当x=1时取等号，
故−1x+1x−1≥−12−1=−1，
则m≤−1，m的取值范围是(−∞,−1]．
21.解：(1)因为B={1,2,3,4}，又B⊆N∗，
但对于B中4，2两个元素，有|4−2|=2，
所以集合B不具有性质P(2)，
因为C={1,4,7,10}，又C⊆N∗，
但对于C中任意两个元素，有|4−1|=3，|7−1|=6，|10−1|=9，|7−4|=3，|10−4|=6，|10−7|=3，
所以集合C具有性质P(2)．
(2)证明：将集合{1,2,⋯,20}中的元素分为如下11个集合，
{1,4}，{2,5}，{3,6}，{7,10}，{8,11}.{9,12}，{13,16}，{14,17}，{15,18}，{19}，{20}，
所以从集合{1,2,⋯,20}中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，
所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素差的绝对值为3，
所以A不可能具有性质P(3)；
(3)先说明连续的11个自然数中集合A中最多选取5项，
以1，2，3，⋅⋅⋅，11为例：构造集合{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}，{5}，{6}，{7}，
①若5，6，7同时选，因为具有性质P(4)和P(7)，
所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；
则只剩4，8.故1，2，3，⋅⋅⋅，11中属于集合A的元素个数不超过5个；
②若5，6，7选2个，
若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，则{4,11}只能选一个元素，
3，8可以选，故1，2，3⋅⋅⋅，11中属于集合A的元素个数不超过5个；
若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，
故1，2，3⋅⋅⋅，11中属于集合A的元素个数不超过5个；
若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{1,8}只能选一个元素，
4，9可以选，故1，2，3⋅⋅⋅，11中属于集合A的元素个数不超过5个；
③若5，6，7中只选1个，
又四个集合{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}每个集合至多选1个元素，
故1，2，3⋅⋅⋅，11中属于集合A的元素个数不超过5个；
由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，
因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；
从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有184×5=920个．
给出如下选取方法：从1，2，3⋅⋅⋅，11中选取1，4，6，7，9；
然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次．
此时集合A的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；⋅⋅⋅⋅⋅⋅，2014，2017，2019，2020，2022，共920个元素，
经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个．