2024-2025学年北京171中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京171中学高三（上）期中数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U=R，集合M={x|x>2}，N={x|10的解集是( )
A. (0,1)B. (−∞,2)C. (2,+∞)D. (0,2)
5.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P为C上一动点，线段PF的垂直平分线与x=−1交于点Q，那么( )
A. |QF|≥|PF|B. |QF|>|PF|C. |QF|≤|PF|D. |QF|0)在(π2,π)上单调，且在(0,π4)上存在极值点，则ω的取值范围是( )
A. (13,2]B. (23,2]C. (23,76]D. (13,76]
7.在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∠BAC的平分线交BC于点D.若AD=λAB+μAC(λ,μ∈R)则λμ=( )
A. 13B. 12C. 2D. 3
8.已知数列{an}为无穷项等比数列，Sn为其前n项的和，“S1>0，且S2>0”是“∀n∈N∗，总有Sn>0”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不必要又不充分条件
9.已知在三棱锥P−ABC中，PA=BC=2 34,PB=AC=10,PC=AB=2 41，则三棱锥P−ABC的体积为( )
A. 40B. 80C. 160D. 240
10.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值(精确到0.001)，可得N的值为( )
A. 13B. 14C. 15D. 16
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数f(x)= 4−x2x的定义域为______．
12.(x+ax)5(x∈R)的展开式中x3的系数为10，则实数a= ______．
13.已知直线y=2x与双曲线C：x2a2−y2b2=1没有公共点，那么双曲线C的离心率的一个值是______．
14.在平面直角坐标系xOy中，点B为圆(x−2)2+y2=1上的动点，点A的坐标为(csθ,sinθ)，其中θ为常数且0≤θ≤π.如果OA⋅OB的最大值为0，那么θ= ______，此时OA⋅OB的最小值为______．
15.已知函数f(x)=|ax−1|,x≤1,(a−2)(x−1),x>1.其中a>0且a≠1.给出下列四个结论：
①若a≠2，则函数f(x)的零点是0;
②若函数f(x)无最小值，则a的取值范围为(0,1)；
③若a>2，则f(x)在区间(−∞,0)上单调递减，在区间(0,+∞)上单调递增;
④若关于x的方程f(x)=a−2恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3，则a的取值范围为(2,3)，且x1+x2+x3的取值范围为(−∞,2)．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知在△ABC中，acsB+bcsA=2ccsA．
(1)求A的大小；
(2)若c=4，在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一，求△ABC的周长．
①△ABC的面积为5 3；
②a= 13；
③AB边上的高线CD长为 32．
17.(本小题14分)
如图，矩形ACFE，AE=1，AE⊥平面ABCD，AB//CD，∠BAD=90°，AB=1，AD=CD=2，平面ADF与棱BE交于点G．
(1)求证：AG//DF；
(2)求直线CF与平面ADF夹角的正弦值；
(3)求BGBE的值．
18.(本小题13分)
在2021年12月9日发布的《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》中，义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容．
某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立．
(Ⅰ)从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；
(Ⅱ)从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，设X为这3人中选考1分钟跳绳的人数，求随机变量X的数学期望EX；
(Ⅲ)已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为μ1，其中男生的乒乓球平均分的估计值为μ2，试比较μ1与μ2的大小.(结论不需要证明)
19.(本小题15分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，且椭圆E的左顶点A，上顶点B，下顶点C围成的三角形的面积为2．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)已知点D(0,2)，直线AD交椭圆E于点G，过点D的直线交椭圆于M，N两点，若直线CM与x轴交于P点，过G且平行于x轴的直线与BN交于Q点，求|DQ||PQ|的值．
20.(本小题15分)
已知f(x)=ex−ax+12x2，其中a>−1．
(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)当a=1时，求函数f(x)的极值；
(3)若f(x)≥12x2+x+b对于x∈R恒成立，求(a+1)⋅b的最大值．
21.(本小题15分)
已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项(i10，
即函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以函数f(x)的极小值为f(0)=1，无极大值；
(3)若f(x)≥12x2+x+b对于x∈R恒成立，
即ex−(a+1)x−b≥0在x∈R恒成立．
设ℎ(x)=ex−(a+1)x−b，函数定义域为R，
可得ℎ′(x)=ex−(a+1)，
因为a>−1，
当x0，ℎ(x)单调递增，
所以当x=ln(a+1)时，ℎ(x)取得极小值，
极小值ℎ(ln(a+1))=eln(a+1)−(a+1)ln(a+1)−b=(a+1)−(a+1)ln(a+1)−b，
易知(a+1)−(a+1)ln(a+1)−b≥0，
所以b≤(a+1)−(a+1)ln(a+1)，
可得(a+1)b≤(a+1)2−(a+1)2ln(a+1)，
设F(x)=x2−x2lnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得F′(x)=2x−(2xlnx+x)=x(1−2lnx)，
当00，F(x)单调递增；
当x> e时，F′(x)