2024-2025学年浙江省浙东北名校高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省浙东北名校高二（上）期中数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线 3x−y−2=0的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.双曲线x2−y24=1的焦距为( )
A. 5B. 2 5C. 17D. 2 17
3.已知点P为圆C：(x−1)2+(y−2)2=1外一动点，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，且PA⊥PB，则动点P的轨迹方程为( )
A. (x−1)2+(y−2)2=2B. (x−2)2+(y−1)2=2
C. (x−1)2+(y−2)2=4D. (x−2)2+(y−1)2=4
4.古希腊的几何学家用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，M为PB中点，某同学用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高PO=2，底面半径OA=2，则该抛物线焦点到准线的距离为( )
A. 2B. 3C. 3D. 2
5.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，点P在A1C上，且A1P=3PC，则AP=( )
A. 34a+34b+14c
B. 34a+14b+14c
C. 14a+34b+34c
D. 14a+14b−14c
6.我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当f(x)= x2−2x+10+ x2−10x+29取得最小值时，实数x的值为( )
A. 135B. 3C. 175D. 4
7.已知曲线E：x|x|−y|y|=1，则下列结论中错误的是( )
A. 曲线E关于直线y=−x对称
B. 曲线E与直线y=x无公共点
C. 曲线E上的点到直线y=x的最大距离是 2
D. 曲线E与圆(x+ 2)2+(y− 2)2=9有三个公共点
8.已知F1，F2是椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点，直线l与椭圆C相切于点P(1,32)，过左焦点F1作直线l的垂线，垂足为Q，则点Q与原点O之间的距离为( )
A. 3B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a=(1,−1,−1)，b=(−2,2,0)，c=(2,1,−3)，则( )
A. |a+b|= 3B. (a+b)⋅(a+c)=−6
C. (a+2b)⊥cD. a//(2c−b)
10.已知直线l1：mx−y−3=0，直线l2：4x−my+6=0，则下列命题正确的有( )
A. 直线l1恒过点(0,−3)B. 直线l2的斜率一定存在
C. 若l1//l2，则m=2或m=−2D. 存在实数m使得l1⊥l2
11.已知抛物线C：y2=4x，点M(−2,0)，P(2,0)，过点P的直线l交抛物线C与A，B两点，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，下列说法正确的有( )
A. y1y2=−8B. |AB|的最小值为4 2
C. 以AB为直径的圆过原点D. ∠AMP=∠BMP
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知与圆C1：x2+y2=1和圆C2：(x−2)2+(y−a)2=4都相切的直线有且仅有两条，则实数a的取值范围是______．
13.已知空间向量a=(1,0,−1)，b=(−1,1,0)，则向量a在向量b上的投影向量是______．
14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，斜率为18的直线与曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P的坐标为(1,2)，直线AP，BP分别与渐近线交于C，D，若直线CD的斜率也为18，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知点P(1,3)，圆C：x2+y2−4y=0；
(1)若直线l1过点P且在坐标轴上的截距之和为0，求直线l1的方程；
(2)过点P的直线l2与圆C交于A，B两点，且∠ACB=120°，求直线l2的方程．
16.(本小题15分)
如图，在棱长都为2的平行六面体中，∠DAB=60°，点A′在底面上的投影恰为AC与BD的交点O；
(1)求点C到平面A′AB的距离；
(2)求直线AC′与平面B′BD所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3，PE=ED，点F在线段PC上，且PC=3PF．
(1)求二面角F−AE−P的余弦值；
(2)在线段PB上是否存在一点G，使得A，E，F，G四点共面.若存在，求PGPB的值；若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2，且C的一个焦点到其一条渐近线的距离为1．
(1)求C的方程；
(2)设点A为C的左顶点，若过点(3,0)的直线l与C的右支交于P，Q两点，且直线AP，AQ与圆O：x2+y2=a2分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为S1，△AMN的面积为S2，求S1S2的取值范围．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，有点P(x1,y1)，Q(x2,y2).若以x轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面(如图所示)，则称此时点P，Q在空间中的距离为“点P，Q关于x轴的折叠空间距离”，记为d(PQ)．

(1)若点A，B，C在平面直角坐标系xOy中的坐标分别为A(1,2)，B(−2,3)，C(3,−4)，求d(AB)，d(BC)的值．
(2)若点D，P在平面直角坐标系xOy中的坐标分别为D(0,−1)，P(x,y)，试用文字描述满足d(DP)= 2的点P在平面直角坐标系xOy中的轨迹是什么？并求该轨迹与x轴围成的图形的面积．
(3)若在平面直角坐标系xOy中，点E(−1,3)是椭圆y212+x24=1上一点，过点E的两条直线EM，EN分别交椭圆于M，N两点，且其斜率满足kEM+kEN=0，求d(MN)的最大值．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.D
5.A
6.C
7.C
8.B
9.AC
10.AD
11.ABD
12.(− 5, 5)
13.(12,−12,0)
14. 52
15.解：(1)由直线l1过点P且在坐标轴上的截距之和为0，
分两种情况：
①当l1的截距均为0，即直线l1过原点时，设直线l1的方程为：y=kx
代入点P(1,3)，解得k=3，
∴直线l1的方程为y=3x；
②当l1截距不为0时，设直线l1的方程为：xa+y−a=1(a≠0)，
点入点P(1,3)，解得a=−2，
∴直线l1的方程为x−y+2=0；
综上所述，直线l1的方程为y=3x或x−y+2=0；
(2)由过点P的直线l2与圆C交于A，B两点，且∠ACB=120°，圆C(0,2)的半径为2，
∴圆心到直线l2的距离为1．
①当直线l2的斜率不存在时，直线l2的方程为：x=1，符合题意；
②当直线l2的斜率存在时，设直线l2方程为：y=m(x−1)+3即mx−y−m+3=0，
又∵圆心到直线l2的距离为d=|1−m| m2+1=1解得m=0，
直线l2的方程为：y=3；
综上所述，直线l2的方程为x=1或y=3．
16.解：(1)∵ABCD−A1B1C1D1为平行六面体，∴底面ABCD为菱形，可得AO⊥BO，
又点A′在底面上的投影恰为AC与BD的交点O，
∴OA，OB，OA′两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OA、OB、OA′所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则O(0,0,0),A( 3,0,0),B(0,1,0),C(− 3,0,0),D(0,−1,0),A′(0,0,1)
AC=(−2 3,0,0),AB=(− 3,1,0),AA′=(− 3,0,1)．
设平面A′AB的法向量为n=(x,y,z)，
由n⋅AB=− 3x+y=0n⋅AA′=− 3x+z=0，取x=1，得n=(1, 3, 3)，
又AC=(−2 3,0,0)，
∴点C到平面A′AB的距离d=|n⋅AC||n|=2 217；
(2)设直线AC′与平面B′BD所成角为θ，平面B′BD的法向量为m=(i,j,k)，
又DB=(0,2,0),BB′=AA′=(− 3,0,1)
则m⋅DB=2j=0m⋅BB′=− 3i+k=0，取i=1，得m=(1,0, 3)，
又AC′=AC+AA′=(−3 3,0,1)，
∴sinθ=|cs〈m⋅AC′〉|=|m⋅AC′−||m|⋅|AC′|= 2114．
故直线AC′与平面B′BD所成角的正弦值为 2114．
17.解：(1)因为PA⊥平面ABCD，
以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD，AP方向为y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系A−xyz，如图所示，

易知：A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，
由PC=3PF可得点F的坐标为F(23,23,43)，
由PE=ED可得E(0,1,1)，
设平面AEF的法向量为：m=(x,y,z)，
则m⊥AFm⊥AE，则m⋅AF=23x+23y+43z=0m⋅AE=y+z=0，
令x=1，则y=1，z=−1，
所以平面AEF的一个法向量为m=(1,1,−1)，
易知平面AEP的一个法向量为n=(1,0,0)，
cs〈m,n〉=m⋅n|m|×|n|=1 3×1= 33，
二面角F−AE−P的平面角为锐角，
故二面角F−AE−P的余弦值为 33．
(2)已知P(0,0,2)，B(2,−1,0)，设PG=λPB,(0≤λ≤1)，
可得G(2λ,−λ,2−2λ)，则AG=(2λ,−λ,2−2λ)，
由(1)得平面AEF的一个法向量为m=(1,1,−1)，
令m⋅AG=0，
即2λ−λ−2+2λ=0，
解得λ=23，
故线段PB上存在一点G，当PGPB=23时，可使A，E，F，G四点共面．
18.解：(1)考虑右焦点到一条渐近线的距离，
由题可知C的一条渐近线方程为bx−ay=0，右焦点为(c,0)，
∴右焦点到渐近线的距离d=|bc| b2+a2=b=1，
由离心率e=ca= 2，有 a2+b2a= 2，解得a=1，
∴双曲线C的方程为x2−y2=1．
(2)设直线l的方程：x=ty+3，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

由x2−y2=1x=ty+3⇒(t2−1)y2+6ty+8=0，
因为直线l与双曲线C的右支交于两点，
Δ=(6t)2−4(t2−1)×8=4t2+32>0恒成立，
还需y1y2=8t2−11，∴1