江苏省“高中教育高质量发展联盟”2025届高三上学期12月联合调研考试数学试题（含答案）

这是一份江苏省“高中教育高质量发展联盟”2025届高三上学期12月联合调研考试数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M=x∣x2−2x−3>0,N={−3,−2,1,2,3}，则M∩N=( )
A. {−3,−2}B. {2,3}C. {1,2,3}D. {−3,−2,3}
2.若2−zz=i，则z=( )
A. 1−2iB. 1+2iC. 1−iD. 1+i
3.已知向量a,b是单位向量，若(a+2b)⊥a，则|a−b|=( )
A. 0B. 1C. 3D. 2
4.等差数列an的前n项和为Sn，若a3=2，a1+a2=S9，则S10=( )
A. 103B. 83C. −83D. −103
5.设正三棱锥的一个侧面三角形面积是底面面积的两倍，则其侧面与底面所成的二面角的余弦值为( )
A. 32B. 12C. 13D. 16
6.已知A−2,0、B2,0是x轴上两定点，C0,m、D0,1m是y轴上两动点，则直线AC与BD的交点P的轨迹方程为( )
A. x24−y2=1y≠0B. x24+y2=1y≠0
C. x2−y24=1y≠0D. x2+y24=1y≠0
7.若函数f(x)=sinωx−π6在0,π2内存在两个零点且和为π2，则正数ω的最小值为( )
A. 23B. 1C. 83D. 143
8.在平面直角坐标系xOy中，若Ax1,ex1,Bx2,ex2x10,b>0)的离心率为32，左顶点为A，右焦点为F，且|AF|=5．
(1)求C的方程；
(2)过点F的直线与C交于D，E两点，直线AD,AE与直线x=8分别交于点G，H．
①若▵AGH的面积是▵ADE的面积的6倍，求直线DE的方程；
②证明：直线DE被以GH为直径的圆截得的弦长小于20．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，沿着平行于x轴的方向，按照一定的比例对图形的每个点到x轴的有向距离进行放缩得到的平面图形，即将点x,y映射到点x+ky,y的操作(k为固定的参数)，这种变换在数学上称为水平错切．设fx是定义在R上的函数，记gx=fx+mfxm>0，则称gx是fx的“m−错切函数”．
(1)设函数fx=x+e−x的“m−错切函数”为gx，
①求fx的最小值；
②若fx与gx的值域相同，求正数m的取值范围．
(2)已知fx是R上的增函数，gx是fx的“m−错切函数”，证明：x0是fx的零点当且仅当x0是gx的零点．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.A
5.D
6.B
7.C
8.D
9.BC
10.ABD
11.BCD
12.−21
13.− 210
14.8
15.解：(1)由题知AA1⊥面ABC，又AB⊂面ABC，所以AA1⊥AB，
又AB⊥AC，AA1∩AC=A，AA1,AC⊂面ACC1A1，所以AB⊥面ACC1A1，
又A1C⊂面ACC1A1，所以AB⊥A1C，
又AC=AA1=2，所以四边形ACC1A1是正方形，得到A1C⊥AC1，
又AB∩AC1=A，AB,AC1⊂面ABC1，所以A1C⊥平面ABC1．
(2)如图，
建立空间直角坐标系，因为AB=1,AC=AA1=2，
则A(0,0,2)，A1(0,0,0),B(1,0,2),C1(0,2,0)，
得到A1B=(1,0,2)，A1C1=(0,2,0)，AC1=(0,2,−2)，
直线AC1与平面A1BC1所成角为θ，
设平面A1BC1的法向量为n=x,y,z，
则n⋅A1B=x+2z=0n⋅A1C1=2y=0，令x=2，则z=−1,y=0，
所以平面A1BC1的法向量为n=2,0,−1，
则sinθ=csAC1,n=AC1⋅nAC1⋅n=22 2× 5= 1010，
直线AC1与平面A1BC1所成角的正弦值为 1010．

16.解：(1)由acsB+bcs∠AMC=c，得到sinAcsB+sinBcs∠AMC=sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
整理得到sinBcs∠AMC=csAsinB，又sinB≠0，所以cs∠AMC=csA，
又∠AMC,A∈0,π，所以∠AMC=A，得到CM=AC，即CM=b．
(2)因为CM=BM=2AM，所以CM=BM=2AM=b，
在△BMC中，由余弦定理得csB=b2+40−b22×2 10b，
在▵ABC中，由余弦定理得到csB=94b2+40−b22×2 10×32b，所以b2+40−b22×2 10b=94b2+40−b22×2 10×32b，
整理得到60=54b2+40，解得b=4，所以AB=6，csB= 104，sinB= 1−cs2B= 64，
故▵ABC的面积为S=12BA⋅BCsinB=12×6×2 10× 64=3 15．

17.解：(1)第一轮答题后甲的总分X可取2,1,0，
PX=2=23×12=13，
PX=1=23×12+13×12=12，
PX=0=13×12=16，
X的分布列为
EX=2×13+1×12+0×16=23+12=76．
(2)记甲在这次竞赛中获胜为事件D，因为甲获胜发生至少经过一轮答题，由(1)知，
一轮回答后有X=0,X=1,X=2三种情形，由全概率公式得：
PD=PX=0PD|X=0+PX=1PD|X=1+PX=2PD|X=2，
PD|X=0是指一轮答题后甲得0分的条件下甲获胜的概率，为0(乙获胜，比赛结束)；
PD|X=1是指一轮答题后甲得1分的条件下甲获胜的概率为PD；
PD|X=2是指一轮答题后甲得2分的条件下甲获胜的概率为1；
所以PD=PX=0×0+PX=1PD+PX=2=12PD+13
解得PD=23，
求甲在这次竞赛中获胜的概率PD=23．

18.解：(1)由双曲线的离心率为32，则ca=32①，
又AF=a+c=5②，联立①②解得，a=2c=3,
则b2=c2−a2=5，
故所求C的方程为x24−y25=1．
(2)由题意，DE不与y轴垂直，右焦点F(3,0)，
设直线DE方程为x=my+3，
联立x=my+3x24−y25=1消x得，(5m2−4)y2+30my+25=0，
由直线与双曲线有两个交点，
则5m2−4≠0Δ=30m2−4×255m2−4=400m2+1>0，即m2≠45．
设D(x1,y1),E(x2,y2)，
则y1+y2=−30m5m2−4y1y2=255m2−4，所以有y1+y2=−65my1y2；
且y1−y2= y1+y22−4y1y2= −30m5m2−42−4255m2−4=20 m2+15m2−4；
设G(x3,y3),H(x4,y4)，
由点A(−2,0),D(x1,y1)，得直线AD方程为y=y1x1+2(x+2)，
令x=8，得y3=10y1x1+2，又由x1=my1+3，得G8,10y1my1+5，
同理H8,10y2my2+5．
则y3+y4=10y1my1+5+10y2my2+5=20my1y2+50(y1+y2)m2y1y2+5m(y1+y2)+25
=20my1y2+50×−65my1y2m2y1y2+5m⋅−65my1y2+25=−40my1y2−5m2y1y2+25
=−8m⋅255m2−4−m2⋅255m2−4+5=−8×5m−4=10m；
y3y4=10y1my1+5⋅10y2my2+5=100y1y2m2y1y2+5my1+y2+25
=100y1y2−5m2y1y2+25=20y1y2−m2y1y2+5=20×255m2−4−m2⋅255m2−4+5=−25；
故y3−y4= (y3+y4)2−4y1y2= 100m2+100=10 m2+1；
①S▵ADE=12AFy1−y2=52y1−y2；且S▵AGH=12(2+8)GH=5y3−y4．
若▵AGH的面积是▵ADE的面积的6倍，则5×10 m2+1=6×52⋅20 m2+15m2−4，
则5m2−4=6，解得m2=2，即m=± 2，满足条件m2≠45．
故所求直线DE的方程为x− 2y−3=0或x+ 2y−3=0；
②设GH中点M，则M8,y3+y42，即M(8,5m)，即以GH为直径的圆的圆心，
半径r=y3−y42=5 m2+1；
点M到直线x=my+3即x−my−3=0的距离d=8−5m2−3 1+m2=51−m2 1+m2；
由r2−d2=25(m2+1)−25(1−m2)21+m2=100m21+m2．
当m=0时，以GH为直径的圆与直线DE相切，可看作所截弦长为0；
当m≠0时，以GH为直径的圆与直线DE相交，
故直线DE被截得的弦长l=2 r2−d2=2 100m21+m2=20 m21+m2，
由m≠0，则l=20 11m2+1，因为1m2+1>1，
则l=20 11m2+10，且gx=fx+mfxm>0，
令u=x+mfx=x+mx+e−x=m+1x+me−x，
u′=m+1−me−x=m+1ex−mex，令u′=0，可得ex=mm+1，解得x=lnmm+1，
当x0，此时函数u=m+1x+me−x单调递增，
所以，umin=m+1lnmm+1+me−lnmm+1=m+1lnmm+1+m+1=m+11+lnmm+1，
所以，函数u=m+1x+me−x的值域为m+11+lnmm+1,+∞,
要使得函数gx=fx+mfxm>0的值域为1,+∞,
则0,+∞⊆m+11+lnmm+1,+∞,
所以，m+11+lnmm+1≤0，即1+lnmm+1≤0，可得m>0mm+1≤1e，解得00，函数y=mfx在R上为增函数，
又因为函数y=x在R上为增函数，则内层函数u=x+mfx在R上为增函数，
由复合函数法可知，函数gx=fx+mfx在R上为增函数，
且gt=ft+mft=ft=0，又因为gx0=0，所以，t=x0，即fx0=0，
所以，x0为函数fx的零点．
因此，x0是fx的零点当且仅当x0是gx的零点．
X
2
1
0
P
13
12
16