2024-2025学年湖南省岳阳市汨罗一中高三（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省岳阳市汨罗一中高三（上）期中数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|1lnx0，则“a+b>2”是“a2+b2>2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知离心率为2的双曲线x2−y2m2=1与椭圆x2n2+y212=1有相同的焦点，则m2+n2=( )
A. 21B. 19C. 13D. 11
6.设函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点，两个零点，则ω的取值范围是( )
A. [53,136)B. (136,83]C. [53,196)D. (136,196]
7.函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x+4)=f(x)，当x∈[0,2)时，f(x)=x，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=( )
A. 0B. 1C. 112D. 113
8.已知函数f(x)=ax+ex−(1+lna)x(a>0,a≠1)，对任意(x1,x2)∈[0，1]，不等式|f(x1)−f(x2)|≤alna+e−4恒成立，则a的取值范围为( )
A. [12,e]B. [e,2]C. [e,+∞)D. [ex+x)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式恒成立的是( )
A. cs(π+x)=−csxB. sin(x+π2)=−csx
C. cs2x=1+cs2x2D. sin(x+π6)+sin(x−π6)=sinx
10.已知函数f(x)=ax和g(x)=lgax(a>0且a≠1)，若两函数图像相交，则其交点的个数可能是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
11.定义：μ=cs2(θ1−θ0)+cs2(θ2−θ0)+…+cs2(θn−θ0)n为集合A={θ1,θ2,…,θn}相对常数θ0的“余弦方差”，若θ∈[0,π2]，则集合A=[π3,0]相对θ的“余弦方差”的取值可能为( )
A. 14B. 12C. 34D. 45
12.设f(x)是定义在R上的可导函数，其导数为g(x)，若f(3x+1)是奇函数，且对于任意的x∈R，f(4−x)=f(x)，则对于任意的k∈Z，下列说法正确的是( )
A. 4k都是g(x)的周期B. 曲线y=g(x)关于点(2k,0)对称
C. 曲线y=g(x)关于直线x=2k+1对称D. g(x+4k)都是偶函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=x2+1x的图象在x=1处的切线方程为______．
14.已知函数f(x)=3x+4,xan成立的n的最小值．
18.(本小题12分)
已知向量a=( 3sinx,csx)，b=(csx,−csx)，函数f(x)=a⋅b+32．
(1)求函数y=f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若f(C)恰好为函数f(x)的最大值，且此时CD=f(C)，求3a+4b的最小值．
19.(本小题12分)
如图，在多面体ABCDEF中，正方形ABCD与梯形ADEF所在平面互相垂直，已知AF//DE，AD⊥AF，AF=AD=12DE=1．
(1)求证：EF⊥平面CDF；
(2)求平面CDF与平面BCE的夹角的余弦值．
20.(本小题12分)
一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度ℎ(单位：米)表示为时间t(单位：秒)的函数；
(2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？
21.(本小题12分)
对于函数y=f(x)的导函数y′=f′(x)，若在其定义域内存在实数x0，t，使得f(x0+t)=(t+1)f′(x0)成立，则称y=f(x)是“跃点”函数，并称x0是函数y=f(x)的“t跃点”．
(1)若m为实数，函数y=sinx−m，x∈R是“π2跃点”函数，求m的取值范围；
(2)若a为非零实数，函数y=x3−2x2+ax−12，x∈R是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2跃点”，求a的值；
(3)若b为实数，函数y=ex+bx，x∈R是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求b的取值范围．
22.(本小题12分)
已知f(x)=ex−x−1，g(x)=ax2(a∈R)．
(Ⅰ)求f(x)的最小值．
(Ⅱ)设F(x)=f(x)−g(x)+2，若当a∈(t,+∞)时，F(x)有三个不同的零点，求t的最小值．
(Ⅲ)当x∈(0,+∞)时，[f(x)+x]ln(x+1)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.A
5.B
6.B
7.B
8.C
9.AC
10.ABC
11.BC
12.BC
13.y=x+1
14.[−43,7)
15.[−e−4,e−4]
16.12
17.解：(Ⅰ)Sn是公差d不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3=S5，a2a4=S4．
根据等差数列的性质，a3=S5=5a3，故a3=0，
根据a2a4=S4可得(a3−d)(a3+d)=(a3−2d)+(a3−d)+a3+(a3+d)，
整理得−d2=−2d，可得d=2(d=0不合题意)，
故an=a3+(n−3)d=2n−6．
(Ⅱ)an=2n−6，a1=−4，
Sn=−4n+n(n−1)2×2=n2−5n，
Sn>an，即n2−5n>2n−6，
整理可得n2−7n+6>0，
当n>6或nan成立，
因为n为正整数，
故n的最小正值为7．
18.解：(1)向量a=( 3sinx,csx)，b=(csx,−csx)，
所以f(x)=a⋅b+32= 3sinxcsx−cs2x+32= 32sin2x−1+cs2x2+32=( 32sin2x−12cs2x)+1=sin(2x−π6)+1，
所以函数y=f(x)的最小正周期T=2π2=π．
(2)由(1)可知f(x)=sin(2x−π6)+1，
当2x−π6=π2，即x=π3时，f(x)取得最大值为2，
则∠ACB=π3，CD=2，
因为CD平分∠ACB，所以∠ACD=∠BCD=π6，
则点D分别到AC，BC的距离ℎ=CD⋅sinπ6=1，
由S△ABC=S△ACD+S△BCD，则12⋅AC⋅BC⋅sin∠ACB=12⋅AC⋅ℎ+12⋅BC⋅ℎ，
即 32ab=a+b，整理可得1a+1b= 32，3a+4b=(3a+4b)(1a+1b)⋅2 33=(7+3ab+4ba)⋅2 33≥2 33(7+4 3)=14 3+243，当且仅当3ab=4ba，即 3a=2b时，等号成立，
故3a+4b最小值为14 3+243．
19.(1)证明：因为AF/​/DE，AD⊥AF，
所以DE⊥AD，
又平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，DE⊂平面ADEF，
所以DE⊥平面ABCD，
因为AD，CD⊂平面ABCD，
所以DE⊥AD，DE⊥CD，
由正方形ABCD知，AD⊥CD，
故以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，C(0,1,0)，E(0,0,2)，F(1,0,1)，B(1,1,0)，
所以EF=(1,0,−1)，DC=(0,1,0)，DF=(1,0,1)，
设平面CDF的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅DC=y=0n⋅DF=x+z=0，
取x=1，则y=0，z=−1，所以n=(1,0,−1)，
所以EF=n，
所以EF⊥平面CDF．
(2)解：由(1)得CB=(1,0,0)，CE=(0,−1,2)，
设平面BCE的法向量为m=(a,b,c)，则m⋅CB=a=0m⋅CE=−b+2c=0
取c=1，则a=0，b=2，所以m=(0,2,1)，
由(1)知平面CDF的法向量为n=(1,0,−1)，
设平面CDF与平面BCE的夹角为θ，
则csθ=|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|=1 5× 2= 1010，
故平面CDF与平面BCE的夹角的余弦值为 1010．
20.解：(1)设ℎ=Asin(ωt+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|