专题01 高二上期末真题精选（选必一期末常考）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点串讲（人教A版2019）

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用基底表示向量
空间向量共面
空集中两个向量乘锐角（钝角）
借助向量证明平行（垂直）关系
借助向量求点到直线距离
向量法求异面直线所成角
向量法解决线面角问题
向量法解决二面角问题
向量法解决点到平面的距离问题
直线的倾斜角和斜率
求直线方程
两条直线平行于垂直的判断
直线中的距离问题
二元二次方程表示圆的条件
求圆的方程
直线与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
圆锥曲线中的定义问题
圆锥曲线中上的点到定点的和差问题
焦点三角形问题
离心率问题
弦长问题（含焦点弦）
中点弦问题
一、用基底表示向量（共3小题）
1．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在三棱锥中，为的中点，设，则用表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】用空间基底表示向量
【分析】直接利用向量的线性运算和中线向量的应用求出结果．
【详解】在三棱锥中，点N为棱的中点，点M在棱PC上，且满足
故，
所以，
点N为棱的中点，
所以，
故.
故选：B．
2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在三棱柱中，分别是的中点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】用空间基底表示向量、空间向量数乘运算的几何表示、空间向量加减运算的几何表示
【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果.
【详解】如图，因为分别是的中点，，又，
所以，
得到，
故选：A.
3．（23-24高二上·浙江金华·期末）如图，在四面体中，分别是上的点，且是和的交点，以为基底表示，则 ．
【答案】
【知识点】用空间基底表示向量、空间向量的加减运算
【分析】由题意首先得四边形为平行四边形，进一步结合线段比例分解向量成基底向量的线性组合即可求解.
【详解】因为，所以，同理，
所以四边形为平行四边形，
所以
.
故答案为： .
二、空间向量共面（共3小题）
1．（22-23高二上·辽宁丹东·期末）已知空间向量，，，若，，共面，则实数的值为（ ）
A．B．6C．D．12
【答案】A
【知识点】空间向量共面求参数
【分析】根据向量共面，建立方程组，解得答案.
【详解】由，，共面，可设，则，
由，解得，代入第三个方程可得：，解得.
故选：A.
2．（22-23高二上·浙江宁波·期末）对空间中任意一点和不共线的三点，能得到在平面内的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】空间向量的加减运算、空间共面向量定理的推论及应用
【分析】用向量来判定点在平面内，只需要满足：（）
【详解】因为A、B、C三点不共线，则不共线，
若四点共面，则存在唯一的一组实数使得，
即，变形得，
对于，，整理得，则，所以在平面内，故选项正确；
对于，，可得：
则，故不在平面内，故选项错误；
对于C，，可得：，
则，故不在平面内，故选项C错误；
对于，，可得：
则，故不在平面内，故选项错误；
故选：
3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【知识点】空间共面向量定理的推论及应用
【分析】根据空间向量四点共面列式即可得解.
【详解】因为，
所以点与，，共面等价于，即.
故选：A.
三、空集中两个向量乘锐角（钝角）（共4小题）
1．（23-24高一下·山西长治·期末）已知平面向量，满足，，，夹角为，若与夹角为锐角，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】已知向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、数量积的运算律
【分析】根据且与不共线，可求出结果.
【详解】根据题意可得且与不共线，
则，
所以，解得，
当与共线时，即存在，使得，
解得，
因为与不共线，所以，
所以且，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
2．（20-21高三上·安徽安庆·期末）已知向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】用向量解决夹角问题
【解析】由题意可得，且、不共线，由此求得实数的取值范围．
【详解】向量，若与的夹角为钝角，
则，且、不共线，即，
求得，且，
则实数的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查根据向量的夹角求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意考虑向量共线是不成立的.
3．（23-24高一下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】数量积的坐标表示、由向量共线（平行）求参数
【分析】由题意可得且与不反向共线，根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】若与共线，则，得，此时，与方向相反，
因为与的夹角为钝角，所以且与不反向共线，
即且，解得 且，
则的取值范围是.
故答案为：.
4．（23-24高一下·四川自贡·期末）已知向量．
(1)证明：；
(2)与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)且
【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数
【分析】（1）求出的坐标，根据平面向量垂直的坐标运算证明；
（2）转化为，且不平行.
【详解】（1）根据题意，，
则，所以；
（2）与的夹角为钝角，，
则，
解得，
若向量，则，得，经验证满足同向共线，
所以且.
四、借助向量证明平行垂直关系（共5小题）
1．（23-24高二上·江西景德镇·期末）在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点．
(1)求的值；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】求空间中两点间的距离、空间位置关系的向量证明
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得.
（2）利用向量法来证得.
【详解】（1）依题意可知两两相互垂直，
以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
.
（2）因为，
，
.
2．（23-24高二上·山东青岛·期末）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.

(1)求点到直线的距离；
(2)求证：面.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】空间位置关系的向量证明、点到直线距离的向量求法
【分析】（1）依题建系，求得相关点和向量的坐标，利用点到直线的距离的空间向量计算公式即可求得；
（2）由（1）中所建的系求出的坐标，分别计算得到和，由线线垂直推出线面垂直.
【详解】（1）

如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，
正四棱柱,为中点,
则点到直线的距离为：.
（2）由（1）可得，
则，
由可得，
又由可得，
又，
故面.
3．（23-24高三上·广东深圳·期末）正方体中分别是的中点.
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法
【详解】（1）设正方体的棱长是2，
以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为n=x,y,z，则，
令，则，
所以，则，
又平面，故平面.
4．（23-24高二上·广东深圳·期末）如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4.

(1)证明：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、证明面面垂直
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，，再利用面面垂直的判定定理证明即可；
【详解】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
因为，，所以，，即，，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
5．（23-24高二上·北京东城·期末）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点.
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【知识点】面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的关系即可求证，
【详解】（1）因为是直三棱柱，
所以底面.
因为底面，底面，
所以，.
因为，如图建立空间直角坐标系.
设，则A2,0,0，，，，.
因为D，E分别为，的中点，
所以，.
所以，.
因为底面，所以是平面的一个法向量.
因为，所以.
因为平面，所以平面.
五、借助向量求点到直线距离（共4小题）
1．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，，则B点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】点到直线距离的向量求法
【分析】利用点到直线的空间向量距离公式求出答案.
【详解】，，故在上的投影向量的模为，
故B点到直线的距离为.
故选：A
2．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知，，三点，则到直线的距离为 .
【答案】/
【知识点】点到直线距离的向量求法
【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】因为，，所以，
得到，
所以到直线的距离为，
故答案为：.
3．（23-24高二上·河南驻马店·期末）在空间直角坐标系中，，则点B到直线的距离为 ．
【答案】
【知识点】点到直线距离的向量求法
【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，
可得在方向上的投影为，
又，
由勾股定理可得点到直线的距离为.
故答案为：
4．（23-24高二上·陕西渭南·期末）直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为 ．
【答案】
【知识点】点到直线距离的向量求法
【分析】根据给定条件，利用点到直线距离的向量求法计算即得.
【详解】依题意，，
所以点到的距离.
故答案为：
六、向量法求异面直线所成角（共5小题）
1．（23-24高三上·江西·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，，分别为上、下底面圆的直径，四面体的体积为，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】异面直线夹角的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系，假定的坐标，结合已知解出的坐标，利用线线角的向量求法求解即可.
【详解】
如图，找底面圆心，作与底面垂直，//，，
故以为原点，建立空间直角坐标系，规定，，设，，
易知底面圆方程为，则，，
故，，
故，
设到面的距离为，设面的法向量，故有，，解得，，，
故，由点到平面的距离公式得，已知四面体的体积为，
故得，解得(负根舍去)，易得，故，，
，，设直线与所成角为，故有.
故选：D
2．（23-24高二上·江西上饶·期末）在正四棱柱中，，点是的中点，则与所成角的余弦值 ．
【答案】/
【知识点】异面直线夹角的向量求法
【分析】设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与所成角的余弦值.
【详解】不妨设，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则B1,0,0、C1,1,0、、，
则，，
所以，.
因此，与所成角的余弦值为.
故答案为：.
3．（23-24高二上·天津·期末）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是 .
【答案】/
【知识点】异面直线夹角的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角.
【详解】直三棱柱，且，
以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则A2,0,0，，，，
，，
设直线与成的角为，
则，
直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
4．（22-23高二上·湖南岳阳·期末）如图，在三棱锥中，底面，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，.
(1)求证：平面.
(2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)或2
【知识点】空间位置关系的向量证明、已知线线角求其他量
【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面；
（2）设，且，则,0,，由直线与直线所成角的余弦值，利用向量法能求出线段的长．
【详解】（1）如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则,0,，,0,，,4,，,2,，,0,，,2,，
,2,，,0,，,2,，
设平面的法向量,,，
则，取，得,0,，
，平面，平面．
（2）设，且，则,0,，,,，,2,，
则，整理得
解得或，所以线段AH的长为或2．
5．（21-22高二上·内蒙古包头·期末）在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面ABCD.
(1)求二面角的余弦值；
(2)线段PB上是否存在一点M（不含端点），使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，点M位置为
【知识点】已知线线角求其他量、面面角的向量求法、面面垂直证线面垂直、求平面的法向量
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值；
（2）设，利用向量法求异面直线的夹角，得到，解方程即得解.
【详解】（1）设是中点，为正三角形，则.
因为平面平面ABCD，平面平面，
又平面PAD，所以面ABCD.
又因为，，
所以为正三角形，所以，
以为原点，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
于是，，.
设平面PEC的法向量为，
由即可取.
平面EBC的一个法向量为，
设二面角的平面角为，则
由图知为为钝角，所以二面角的余弦值为.
（2）设，则，
，，
所以，
解得或0（舍），所以存在点M使得.
七、向量法解决线面角问题（共7小题）
1．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知四棱锥的底面为正方形，底面，点是线段上的动点，则直线与平面所成角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】线面角的向量求法
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果.
【详解】
由题意，因为为正方形，且底面，
以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，
所以，设，，
则，所以，即，
设平面的法向量为，
则，解得，取，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
因为单调递增，所以当时，最大，
此时，即直线与平面所成角的最大值为.
故选:C
2．（22-23高二上·辽宁鞍山·期中）长方体中，，为线段上的动点，则与平面所成角的余弦值的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】线面角的向量求法
【分析】
以为坐标原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设出点的坐标，然后利用空间向量求解即可.
【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，
则，
因为平面，
所以平面的一个法向量为，
设的横坐标为，则，
所以（），
设与平面所成角的为，则
，
令（），对称轴为，
所以的最小值为，
所以的最大值为，
因为，
所以的最大值为，
故选：D
3．（23-24高二上·云南迪庆·期末）如图形中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法
【分析】（1）连接，得到为的中位线，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）以所在的直线分别为轴，以过点作的垂线所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
因为底面是菱形，且与交于点，则点为的中点，
因为为的中点，所以为的中位线，可得，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：以所在的直线分别为轴，以过点作的垂线所在的直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，则，
设平面的一个法向量为，则，
令，可得，所以，
又由，
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成的角的正弦值为.
【点睛】
4．（23-24高二下·北京海淀·期末）在五面体中，平面，平面.
(1)求证：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【知识点】线面角的向量求法、线面平行的性质、证明线面平行、线面垂直证明线线平行
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、线面平行的判定性质推理即得.
（2）结合已知可得直线两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面法向量，再利用线面角的向量求求解即得.
【详解】（1）由平面，平面，得，而平面，平面，
则平面，又平面，平面平面，
所以.
（2）令，则，有，
于是，由已知得直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，则，令，得，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
5．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）如图，在三棱柱中，底面，点到平面的距离为2.

(1)证明：.
(2)若直线与之间的距离为4，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法、证明线面垂直
【分析】（1）结合已知线面垂直的判定定理证明平面，利用面面垂直的判定定理得平面平面，然后利用面面垂直的性质定理得平面，从而得出均为直角三角形，利用勾股定理求解即可.
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式求解即可.
【详解】（1）底面平面，
，又平面，
平面，又平面，
平面平面.
过作交于，又平面平面，
平面，平面．
点到平面的距离为.
在中，，
设，则.
均为直角三角形，且，
，解得，
，即.
（2），
，过作交于，则为的中点.
由直线与之间的距离为4，得，
在中，.
以为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，
显然n=0,1,0为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则
则直线与平面所成角的正弦值为.
6．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.
(1)求证：平面平面；
(2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【知识点】证明面面垂直、已知线面角求其他量、线面角的向量求法
【分析】（1）连接、，由平面几何的知识得到，即，，即可得到，从而得到平面，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法得到方程，求出，即可得解.
【详解】（1）因为，，
所以，，所以，则，
则，
又P为的中点，连接，则且，，所以为菱形，
同理可得为菱形，所以，
所以，连接，则，
又，所以，即，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
（2）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为.
因为平面，所以，，两两互相垂直，
如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，，
，
设，因为，，
所以，
设与平面所成角为，则，
即，，解得或（舍去），
所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为.
7．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，侧面平面，，，为的中点.

(1)证明：平面；
(2)点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】证明线面垂直、已知线面角求其他量、面面垂直证线面垂直
【分析】（1）根据条件得到平面，从而得出，再利用条件得到四边形是菱形，从而有，利用线面垂直的判定定理即可得出结果；
（2）根据条件建立空间直角坐标系，设，求出及平面的一个法向量，利用线面角的向量法及条件，即可求出结果.
【详解】（1）因为，O为AD的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
又因为，，所以四边形是菱形，得到，
又，平面，平面，
所以平面.
（2）取中点，连接，因为是等腰梯形，所以，
以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，，易得，
则，
所以，，
令，所以，得到，
由（1）知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
整理得到，解得或（舍），所以.
八、向量法解决二面角问题（共7小题）
1．（23-24高二下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面，平面，.

(1)证明：平面.
(2)若，，且直线与直线所成角的正切值为，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法、证明线面垂直、线面平行的性质
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理、判定定理以及线面平行的性质定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，即可求解二面角的余弦值.
【详解】（1）因为底面，底面，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，又平面，平面平面，
所以，所以平面.
（2）因为，所以直线与直线所成的角为，
因为底面，底面，所以，
所以，即，
设为2个单位长度，
以为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，

设平面的法向量为，则
取，则，，得，
易得平面的一个法向量为，
由图可知二面角为锐角，
则二面角的余弦值为.
2．（23-24高二下·内蒙古·期末）如图，在正四棱柱中，，，分别为的中点，为四边形的中心．
(1)证明：∥平面．
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法
【分析】（1）由题意易得四边形为平行四边形，进而可证平面．
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求得平面与平面的一个法向量，利用向量法可求二面角的余弦值.
【详解】（1）连接．因为为四边形的中心，所以为的中点．
又为的中点，所以，
因为为的中点，所以，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，则．
又平面，平面，所以平面．
（2）在正四棱柱中，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以，
则．
设平面的法向量为，
则令，得，即．
连接．易知是平面的一个法向量，
则．
因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
3．（23-24高二下·上海金山·期末）如图，在中，.将绕旋转得到，分别为线段的中点．
(1)求点到平面的距离；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)；
(2)
【知识点】面面角的向量求法、求点面距离
【分析】（1）取的中点，连接，作，垂足为.证明平面，即点到平面的距离为的长度．求出即可.
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出关键点和法向量坐标，用向量法可解.
【详解】（1）取的中点，连接，作，垂足为
因为为的中点，所以.
又，所以平面.
因为平面，所以．又，
所以平面，即点到平面的距离为的长度.
易知平面，所以．
因为是边长为2的等边三角形，所以，又，
所以，所以．
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
所以，
设平面的法向量为，
可得，令，则，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
可得，令，则，
所以平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，则，
则二面角的正弦值为.
4．（23-24高二下·浙江温州·期末）在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【知识点】面面角的向量求法、证明线面垂直
【分析】（1）结合中点，利用面面垂直的性质定理证明平面，从而利用线面垂直的性质定理得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）过作交于点，设，建立空间直角坐标系，然后利用向量法求解二面角的正弦值即可.
【详解】（1），为中点，
.
又平面平面，平面平面，平面，
平面，而平面，
.
又为的中点，
，又，
.
又平面，
平面.
（2）过作交于点，设，
以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
故，，，.
设为平面的法向量，则，即，
，取，则，
是平面的一个法向量.
设为平面的法向量，则，即，
，取，则，
是平面的一个法向量.
设二面角的大小为，则，
，
二面角的正弦值为.
5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知四边形为正方形，为，的交点，现将三角形沿折起到位置，使得，得到三棱锥.
(1)求证：平面平面；
(2)棱上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在满足题意的点，且.
【知识点】已知面面角求其他量、证明面面垂直
【分析】（1）线线垂直得到线面垂直，然后得到面面垂直；
（2）由三直线两两垂直建立空间直角坐标系，设点坐标求得面的法向量，由法向量与面面角的余弦值建立等式，解出点的位置，得到比值.
【详解】（1）在正方形中，，
又∵，∴，∴
即，，且，平面，平面，
∴平面，
由∵平面，
∴平面平面
（2）由（1）可知，，，
∴以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，
则向量是平面的一个法向量，
设，则A1,0,0，，
∵在线段上，∴，∴，
∴，，
设是平面的一个法向量，则，
∴，∴，
设为平面与平面夹角，
则，
则，则，为中点，
∴.
6．（23-24高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若二面角的余弦值为，求线段的长度．
【答案】(1)证明见解析；
(2)6.
【知识点】证明线面垂直、已知面面角求其他量、面面角的向量求法
【分析】（1）应用线面垂直判定定理证明即可；
（2）设边长，应用空间向量法求出二面角余弦值即可求出边长.
【详解】（1）由题意知平面，又平面，
所以，
因为四边形是平行四边形，且，
所以四边形为正方形，所以，
因为平面，
所以平面．
又平面，所以，
因为，所以，
又因为平面，
所以平面．
（2）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，
所以，
所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，则，所以，
设二面角的大小为，
则，解得，
所以线段的长为6．
7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）在长方体中，点，分别在，上，且，．
(1)求证：平面；
(2)当，，且平面与平面的夹角的余弦值为时，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】证明线面垂直、已知面面角求其他量
【分析】
（1）由长方体的性质得到平面，即可得到，结合，得到平面，从而得到，同理可证，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）因为，平面，平面，
所以，又，平面，所以平面，
又平面，
所以，
因为，平面，平面，
所以，又，平面，所以平面，
又平面，
所以，
因为，平面，
所以平面.
（2）依题意，建立以为原点，以，，分别为，，轴的空直角坐标系，设，
则，，，
则，，，
由（1）平面，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得（负值舍去），
所以平面与平面的夹角的余弦值为时.
九、向量法解决点到平面的距离问题（共5小题）
1．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，E为中点，与交点为O．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若，求点C到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【知识点】证明线面垂直、证明线面平行、点到平面距离的向量求法、证明面面垂直
【分析】（1）只需证明，结合线面平行的判定定理即可得解；
（2）只需证明平面，在结合面面垂直的判定定理即可得解；
（3）首先证明面，由等体积法即可列方程求解.
【详解】（1）设，连结，
∵E为中点，O为中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面；
（2）连结，∵，O为中点，∴，
又∵底面为菱形，∴，∵且两直线在平面内，∴平面，
又∵平面，∴平面平面；
（3）由（2）得：，由，同理可得：，
而平面，
∴面可求：，，，
∴，
而中，，可求：，，
可求：，
而，则，
则即为所求点C到平面的距离．
2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点．

(1)证明：平面平面；
(2)求到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法
【分析】（1）以为原点，以AD，DC所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面一个的法向量，根据平面法向量平行可得证
（2）根据到平面的距离的空间向量公式即得
【详解】（1）以为原点，以AD，DC所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
，，．
设平面的一个法向量，
则，即，令，则，所以
设可得平面的一个法向量，
则，即，令，则，所以，
因为，两平面又不重合，
所以平面平面．
（2）因为，所以，
由（1）知平面的一个法向量，
则．
3．（23-24高二上·安徽宣城·期末）如图，在直三棱柱中，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】点到平面距离的向量求法、证明线面平行
【分析】（1）连接交于，连接，由三角形中位线性质得，再由线面平行的判定定理即可证明结果；
（2）根据条件，建立空间直角坐标系，由条件求得平面的法向量和，再利用空间距离的向量法，即可求出结果.
【详解】（1）连接交于，连接，
在三角形中，是三角形的中位线，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）由是直三棱柱，且，
故，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，又，
则，
则，
设平面的法向量为n=x,y,z，
由，得到，令，得，所以，
又，设点到平面的距离为，
则.
4．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）如图所示，在直三棱柱中，，，，分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法、证明线面平行
【分析】（1）利用空间向量方法证明即可；
（2）利用空间法向量求解点面距离即可.
【详解】（1）证明：如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则
因为，分别是，的中点，所以，，
所以，
平面的一个法向量为，
因为，
又因为平面， 所以平面；
（2）由（1）知，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以平面的一个法向量为.
所以点到平面的距离为，
故点到平面的距离为
5．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图所示，正方体的棱长是2，E、F分别是线段AB、的中点．
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】证明线面平行、点到平面距离的向量求法
【分析】（1）取中点M，连AM，MF，由四边形AEFM是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系．求得平面的法向量n=x,y,z，由点到平面的距离求解.
【详解】（1）证明：如图，
取中点M，连AM，MF，则易证，且，
所以四边形AEFM是平行四边形，从而，
又面，面，
所以平面．
（2）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立如图的空间直角坐标系．
则，，，，
则，，
设平面的一个法向量n=x,y,z，
由，即，
令，得，则，
所以点到平面的距离
十、直线的倾斜角和斜率（共4小题）
1．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知直线方程为，则其倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角、直线的一般式方程及辨析
【分析】由直线方程可得斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小.
【详解】由题知直线斜率为，若直线的倾斜角为，则，
∵，∴，
故选：D．
2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）经过两点的直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】D
【知识点】已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系
【分析】利用斜率公式和倾斜角与斜率的关系求解.
【详解】解：因为直线经过，
所以经过该两点的直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，
故选：D
3．（23-24高二上·安徽亳州·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率
【分析】求出直线恒过的定点，根据斜率公式即可求解.
【详解】由直线，
变形可得，
由，解得，
可得直线恒过定点，则，
结合图象可得：
若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为，
由斜率定义，可得直线倾斜角的取值范围为.
故选：D.
4．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，是直线上不同的两点，直线上的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量．已知直线的一个方向向量坐标为，则直线的倾斜角为 ．
【答案】
【知识点】直线的倾斜角、根据直线的方向向量求直线方程、斜率与倾斜角的变化关系
【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可求出直线的倾斜角.
【详解】因为直线的一个方向向量为，
所以直线的斜率，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，
即直线的倾斜角为.
故答案为：
十一、求直线方程（共5小题）
1．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知顶点，边AC上的高BH所在直线方程为，边AB上的中线CM所在的直线方程为.
(1)求直线AC的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)；
(2)24.
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标
【分析】（1）利用点斜式求得直线的方程.
（2）先求得两点的坐标，结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形的面积.
【详解】（1）由边上的高所在直线方程为，得直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
（2）边上的中线所在的直线方程为，
由，解得，即，
设，则，
所以，解得，即，
，到的距离为，
所以的面积为.
2．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程.
(1)过点；
(2)平行于直线.
【答案】(1)
(2)
【知识点】由两条直线平行求方程、求直线交点坐标、直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析
【分析】（1）求出两条直线与的交点，利用两点式方程整理计算即可;
（2）求出平行于的直线斜率，利用点斜式方程整理计算即可.
【详解】（1）由解得,
即两直线的交点坐标为.
直线经过点和，由两点式方程得，，
化简得所求直线方程为.
（2）由可得直线的斜率为，
故平行于直线的直线的斜率为，
结合（1）问可得：两条直线与的交点为，
由点斜式方程得，，
化简得所求直线方程为.
3．（23-24高二上·四川南充·期末）已知直线．
(1)若直线与直线垂直，且经过，求直线的斜截式方程；
(2)若直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线的一般式方程．
【答案】(1)
(2)
【知识点】直线的斜截式方程及辨析、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程、直线围成图形的面积问题
【分析】（1）根据垂直设，代入得到直线方程，再化成斜截式即可；
（2）设，得到面积表达式求出值即可.
【详解】（1）由题意设直线的方程为:，
由直线经过得:，解得:，
直线的方程为:，即.
（2）由题意设直线的方程为:，
令，则;令，则，
所以直线两坐标轴围成的三角形的面积三角形的面积，
解得:，
所以直线的一般式方程为.
4．（23-24高二上·北京石景山·期末）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点.
(1)求边所在直线的方程；
(2)求对角线所在直线的方程.
【答案】(1)BC所在直线方程为，AD所在直线方程为
(2)
【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、由两条直线垂直求方程
【分析】（1）求出，由点斜式求出直线方程；
（2）求出的中点坐标，再根据垂直关系得到，利用点斜式写出直线方程，得到答案.
【详解】（1）由菱形的性质可知，则.
所以边所在直线的方程为，即；
边所在直线的方程为，即.
（2）线段的中点为，
由菱形的几何性质可知，且为的中点，则，
所以对角线所在直线的方程为，即.
5．（23-24高二上·北京房山·期末）已知的三个顶点分别为．
(1)设线段的中点为，求中线所在直线的方程；
(2)求边上的高线的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离
【分析】（1）由中点坐标公式可得线段的中点为的坐标，再根据点斜式即得中线所在直线的方程；
（2）由题意可得直线的斜率，由直线的点斜式可得方程，然后由点到直线的距离公式代入可求得边上的高线的长.
【详解】（1）设的坐标为，则，，
即，所以 ，
则中线所在直线方程为，即 ．
（2）由题意得 ．
则直线的方程为，即
中，边上的高线的长就是点到直线的距离 ．
十二、两条直线平行与垂直问题（共5小题）
1．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（ ）
A．B．C．1D．或1
【答案】B
【知识点】已知直线平行求参数
【分析】
根据平行可解得实数，验证可得正确的选项.
【详解】因为，故，故或，
当时，的方程均为，它们重合，故舍去；
当时，，，它们平行，
故选：B.
2．（23-24高二上·江苏连云港·期末）若两条直线和平行，则实数的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【知识点】已知直线平行求参数
【分析】由直线平行求出，注意检验重合情形即可.
【详解】因为两直线平行，
所以，
解得或，
当时，两直线重合，舍去，
故选：D
3．（23-24高一下·重庆·期末）已知直线和直线垂直，则实数 .
【答案】
【知识点】已知直线垂直求参数
【分析】根据两直线垂直列方程，从而求得的值.
【详解】由于，所以，
解得，所以的值为.
故答案为：
4．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知直线：与直线：.若，则 .
【答案】2
【知识点】已知直线垂直求参数
【分析】根据两直线垂直列方程，由此求得的值.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：2.
5．（22-23高二上·辽宁·期中）已知直线：，直线：
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)；
(2)或.
【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数
【分析】（1）（2）利用直线平行、垂直的判定列方程求参数值，对于平行情况需要验证所得参数是否符合要求.
【详解】（1）由，则，即，
所以或，
当，，，两线重合，不合题设；
当，，，符合题设；
综上，
（2）由，则，即，
所以，即或.
十三、直线中的距离问题（共3小题）
1．（23-24高二下·贵州毕节·期末）点到直线l：的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】求点到直线的距离
【分析】由点到直线的距离公式求解即可.
【详解】点到直线l：的距离为.
故选：A
2．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期末）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【知识点】由两条直线平行求方程、求点到直线的距离、求平行线间的距离
【分析】根据直线平行可得在直线上运动，即可根据点到直线的距离公式即可求解.
【详解】解：动点分别在直线与上移动，
又线段的中点为，，
在直线上运动，
到直线的距离．
到坐标原点的距离大于等于．
故选：CD．
3．（23-24高二下·广东江门·期末）已知直线与圆交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、三角形面积公式及其应用、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】利用圆的弦长求法，结合面积可得方程求解即可.
【详解】由圆可知，圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，
由垂径定理可知，
由面积为知：，解得或，
则由点到直线的距离公式得：，
当时，有，解得：，
当时，有，解得：，
故答案为：（取这三个中的任何一个都算对，答案不唯一）.
十四、二元二次方程表示圆的条件（共4小题）
1．（23-24高二上·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系
【分析】由计算即可得.
【详解】，即.
故选：D.
2．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知点在圆外，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】点与圆的位置关系求参数、圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系
【分析】由点和圆的位置关系，圆的一般方程可表示圆的条件，列出两个不等式进行求解即可.
【详解】由表示圆，
标准方程是,
所以，解得，
由点在圆外，
即，
所以或，
综上.
故答案为：.
3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系
【分析】根据圆的一般方程条件计算即可得到答案.
【详解】方程表示一个圆，
则，得.
故答案为：
4．（23-24高二上·广东·期末）若方程表示一个圆，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、圆的一般方程与标准方程之间的互化
【分析】将圆的一般方程写成标准方程，在根据等号右边的式子大于0求解.
【详解】原方程可化为，方程表示圆，则有，即.
故答案为：
十五、求圆的方程（共3小题）
1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】由题意可得圆心，半径，即可得圆的标准方程.
【详解】由在圆上，故圆心在直线上，
由在圆上，故圆心在直线上，
即圆心，半径，
故方程为.
故选：A.
2．（23-24高三上·江苏·期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ．
【答案】
【知识点】求圆的一般方程
【分析】设圆的一般方程为，分别将三个点坐标代入圆的方程，解方程组求出，即可得结论.
【详解】设所求圆的一般方程为，
因为点，，在圆上，
所以，
解得，
则所求圆的一般方程为：，
.故答案为：.
3．（23-24高二上·河北沧州·期末）在△OAB中，O是坐标原点，，．
(1)求AB边上的高所在直线的方程；
(2)求△OAB的外接圆方程
【答案】(1)
(2)
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求圆的一般方程、由两条直线垂直求方程
【分析】（1）先求出边上的高线的斜率，再利用点斜式求出边上的高所在直线的方程；
（2）设的外接圆的方程为（），则把的坐标代入求得的值，可得圆的方程．
【详解】（1）∵直线AB的斜率，
∴AB边上的高所在直线的斜率，
又AB边上的高所在直线过原点O，
∴AB边上的高所在直线的方程为．
（2）设的外接圆的方程为（），
则，解得，
∴的外接圆方程为．
十六、直线与圆的位置关系（共4小题）
1．（23-24高三上·安徽亳州·期末）已知直线和曲线，当时，直线与曲线的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【答案】B
【知识点】判断直线与圆的位置关系、直线过定点问题
【分析】根据直线所过定点，结合图象即可判定.
【详解】直线的方程可化为，
所以直线恒过点，
曲线即，
表示圆心为坐标原点，半径为3的圆的上半部分（如图），
由图可知，当时，直线与曲线的交点个数为1.
故选：B.
2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（ ）
A．相切B．相离
C．相交D．相交且过圆心
【答案】A
【知识点】判断直线与圆的位置关系、求点到直线的距离
【分析】计算圆心到直线的距离，将这个距离和半径比较即可.
【详解】由圆，可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，即，
所以直线与圆相切.
故选：A.
3．（23-24高三上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，若对任意，圆与直线恒相切，则直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数
【分析】由题意可得，结合的任意性以及恒成立问题分析求解即可．
【详解】设直线，则到直线的距离，
若要对任意恒成立，则，且，
解得，由，有．
故选：A
4．（多选）（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知直线与圆交于A，B两点，则的值可以为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】AB
【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】直线与圆相交得到圆心到直线的距离小于半径求解即可得到答案．
【详解】解：因为直线与圆相交于不同的两点、，
所以圆心到直线的距离，解得，
选项中只有3,4满足，
故选：AB．
十七、圆与圆的位置关系（共5小题）
1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（ ）
A．内切B．相交C．外切D．外离
【答案】B
【知识点】判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径
【分析】将圆的方程化为标准方程，得各自的半径，圆心，结合圆心距满足的条件即可判断.
【详解】由题意圆：即圆：的圆心，半径分别为，
圆：即圆：的圆心，半径分别为，
所以两圆的圆心距满足，
所以两圆的位置关系为相交.
故选：B.
2．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．外离D．与m的取值有关
【答案】C
【知识点】判断圆与圆的位置关系
【分析】求出两圆心距离，判断其与两圆半径和的大小即可得答案.
【详解】圆：，
即，圆心，半径，
圆：，
即，圆心，半径，
所以当时，
所以圆与圆的位置关系是外离.
故选：C.
3．（23-24高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】根据两圆心距离与半径和与差的关系列不等式求解.
【详解】圆，圆心为，半径为，
圆，圆心为，半径为，
若圆与圆有公共点，
则，又，所以.
故选：D
4．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】由题意可得两圆相交，再根据两圆的位置关系求参即可.
【详解】圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
因为与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，
所以两圆相交，则，
即，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
5．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知圆与圆外离，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】由题意表示出两圆的圆心半径，进一步结合两圆外离列出不等式即可求解.
【详解】由题意圆与圆的圆心、半径依次分别为，
因为两圆外离，
所以圆心距满足，解得，
即实数a的取值范围为.
故答案为：.
十八、圆锥曲线中的定义问题（共4小题）
1．（23-24高二上·天津宁河·期末）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其中一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆上的任意一点到两个焦点的距离的和等于10，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】利用椭圆定义求方程、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】根据抛物线方程有准线为，由题意可得、，进而写出椭圆方程.
【详解】由抛物线的准线为，故椭圆的一个焦点为，则，
由椭圆定义知，故，
所以椭圆方程为.
故选：C
2．（多选）（23-24高二上·山东聊城·期末）若平面内的动点Px,y满足，则（ ）
A．时，点的轨迹为圆
B．时，点的轨迹为圆
C．时，点的轨迹为椭圆
D．时，点的轨迹为双曲线
【答案】ABD
【知识点】求平面轨迹方程、椭圆定义及辨析、轨迹问题——圆、利用双曲线定义求方程
【分析】根据条件，结合选项，利用圆、椭圆、双曲线的定义，逐一分析判断，即可得出结果.
【详解】对于选项A，当时，由，得到，
其表示动点到定点的距离为，由圆的定义知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以选项A正确，
对于选项B，当时，由，得到，
整理得到，即，所以选项B正确，
对于选项C，当时，由，
得到，其表示动点到定点和的距离之和为，
又两定点，间的距离为，所以点的轨迹为线段上的点，故选项C错误，
对于选项D，当时，由，
得到，其表示动点到定点和的距离之差的绝对值为，
又，由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线，
故选：ABD.
3．（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，圆，圆，圆，直线，则（ ）
A．与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支
B．与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆
C．过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线
D．与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线
【答案】ABC
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、轨迹问题——椭圆、求双曲线的轨迹方程
【分析】根据几何关系确定，A正确，，B正确，根据抛物线定义知C正确，确定，得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：设圆心为，半径为，则，，故，
圆心轨迹是双曲线的一支，正确；
对选项B：设圆心为，半径为，则，，故，
圆心轨迹是椭圆，正确；
对选项C：设圆心为，半径为，故到定点和定直线的距离相等为，
圆心轨迹是抛物线，正确；
对选项D：设圆心为，半径为，则，，故，
在两圆外，圆心轨迹是两条射线，错误；
故选：ABC.
4．（23-24高二下·上海宝山·期末）我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程的解为 .
【答案】
【知识点】由距离求点的坐标、利用双曲线定义求方程
【分析】将原方程配方，方程的解转化为直线与双曲线的交点的纵坐标。
【详解】原方程可化为，
其几何意义为点到0,4，距离之差的绝对值等于，
则该点的轨迹满足双曲线的定义，根据双曲线的定义得：，，，所以，
又因为双曲线焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为：，
令得，所以原方程的解为。
故答案为：
十九、圆锥曲线中上的点到定点的和差问题（共6小题）
1．（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值
【分析】根据椭圆的定义转化，结合三点共线来求得的取值范围.
【详解】依题意，，，，
，，
所以，当位于线段与椭圆交点处时等号成立.
根据椭圆的定义可知，
如图所示，设的延长线与椭圆相交于，
则当位于时，取得最大值为，
综上所述，的取值范围为.
故选：B
【点睛】在椭圆中，求解椭圆上的点到焦点、定点的距离的和或差的最值，可以考虑通过椭圆的定义进行转化，然后结合三点共线来确定最值.在解题过程中，要画出对应的图象，结合图象来进行求解.
2．（23-24高二上·山东青岛·期末）设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．5
【答案】B
【知识点】求点到直线的距离、抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义及点到直线的距离公式求解即得.
【详解】抛物线的焦点，准线，
过点作于，垂直于直线于点，显然，
点到直线的距离，
则，
当且仅当点是点到直线的垂线段与抛物线的交点时取等号，
所以的最小值为2.
故选：B

3．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、抛物线定义的理解
【分析】根据抛物线定义确定，分析出圆的圆心和半径，点是圆上的一点，则有,即，由此将求的最小值问题转化为求最小值问题，得出当且仅当、、三点共线时，取得最小值即可.
【详解】

由题意知是抛物线的焦点，抛物线准线方程为：，过点
作垂直于准线，垂足为,即点到抛物线线的准线的距离为：；
圆是圆心为，半径的圆，根据抛物线定义有：
，因为点是圆上的一点,所以,
即,由此有：，
当且仅当、、三点共线时，取得最小值，
所以，
所以的最小值为6.
故选：B.
4．（多选）（21-22高二上·河北沧州·期末）已知点为双曲线右支上一点，、分别为圆：、：上的动点，则的值可能为（ ）
A．2B．6C．9D．12
【答案】BC
【知识点】双曲线定义的理解、利用定义求双曲线中线段和、差的最值、由标准方程确定圆心和半径
【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离，结合双曲线的定义可求出的范围，从而可得答案
【详解】由双曲线的方程可得，焦点为，
圆：的圆心为，半径为2，
圆：的圆心为，半径为1，
所以，，
所以,
，
所以，
故选：BC
5．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知是椭圆的左焦点，点为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为 ；的最小值为 ．
【答案】 8
【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】设右焦点为，根据椭圆的定义得到，则，求出椭圆的左准线方程，根据圆锥曲线的第二定义，设到左准线的距离为，则，所以，则，即可得解.
【详解】椭圆中，，，则，
设右焦点为，则，离心率，
则，所以，
所以，当且仅当在的延长线与椭圆的交点时取等号；

又椭圆左准线方程为，
设到左准线的距离为，则，所以，
所以，
当且仅当在过点作左准线的垂线与椭圆的交点时取等号..

故答案为：；
6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ．
【答案】7
【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、求双曲线的焦点坐标、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【分析】由题意结合双曲线定义将转换为，进一步由三角形三边关系即可求解.
【详解】如图所示：

由题意，设为双曲线右焦点，线段与双曲线右支交于点，
所以，等号成立当且仅当重合，
所以的最小值为7.
故答案为：7.
二十、焦点三角形问题（共6小题）
1．（多选）（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，P是椭圆C上的动点，点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．面积的最大值是
C．椭圆C的离心率为D．最小值为
【答案】ACD
【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值
【分析】A选项，根据椭圆定义求出答案；B选项，数形结合得到当在上顶点或下顶点时，面积最大，求出最大值；C选项，由直接求解即可；D选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到，当三点共线且在之间时,取得最小值，得到答案.
【详解】A选项，由题意得，
由椭圆定义可得，A正确；
B选项，当在上顶点或下顶点时，面积最大，
最大值为，B错误；
C选项，离心率，C正确；
D选项，因为，所以点在椭圆内，连接，
由椭圆定义可知，故，
故，
当三点共线且在之间时，取得最小值，
最小值为，
所以最小值为，D正确.
故选：ACD
2．（多选）（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上项点为B，直线与椭圆C相交于M、N两点，点，则下列选项正确的是（ ）
A．四边形的周长为12
B．当时，的面积为
C．直线，的斜率之积为
D．若点P为椭圆C上的一个动点，则的最小值为
【答案】AD
【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中的定值问题
【分析】根据椭圆定义结合椭圆对称性可判断A；利用焦点三角形的面积公式可判断B；设Mx1,y1，，表示出，的斜率之积，结合点在椭圆上即可化简求值，判断C；将转化为，利用图形的几何意义求解，判断D.
【详解】对于A，由题意知对于椭圆，，
与椭圆交于，两点，
则，关于原点对称，且，,
故四边形的周长为，A正确；
对于B，因为，所以，的面积为，
故B错误；
对于C，设Mx1,y1，则，而，
故，
而Mx1,y1在椭圆上，即，
即，故，C错误；
对于D，由于点为椭圆上的一个动点，故,
则，故，
当且仅当共线时，且P在之间时等号成立，
而，，
故的最小值为，D正确，
故选：AD.
3．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】AD
【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、求椭圆上点的坐标
【分析】根据给定条件，按直角顶点为点和焦点分类求出点坐标.
【详解】椭圆的焦点，设，
由为直角三角形，则直角可能为
若为直角，则，由，得；
若为直角，则，由，得；
若为直角，则在圆上，
由，解得，
所以点坐标可能是AD.
故选：AD
4．（多选）（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆C：，，分别为椭圆的左、右焦点，A，B分别为椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论正确的有（ ）
A．存在点P使得
B．的最小值为
C．若，则的面积为1
D．直线PA与直线PB的斜率乘积为定值
【答案】AC
【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的其他问题、椭圆中的定值问题
【分析】设椭圆短轴顶点为根据的符号即可判断A；记，则，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得，进而计算面积判断C；设，直接求解即可判断D.
【详解】设椭圆短轴顶点为，
由题知椭圆：中，，
则，，，，
对于A选项，由于，，
所以的最大角为钝角，故存在P使得，故A正确；
对于B选项，记，则，
由余弦定理得
，当且仅当时取“”，故B错误；
对于C选项，由于，
故 ，
所以，故C正确；
对于D选项，设，
则，，
于是，故D错误.
故选：AC.
5．（多选）（23-24高二下·贵州六盘水·期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．过点且垂直于的直线平分
C．若，则
D．若，则
【答案】ABD
【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、等轴双曲线、余弦定理解三角形
【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解.
【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，
所以，解得，得到双曲线的方程为，正确，
对于B，如图，由题知，，所以，
若，所以， 正确，
对于C，记，所以，
又，得到，又，
所以，又，
由，得，错误，
对于D，因为，，
由，得，
又，得到，得到，
从而有，得到，
由，得到，
从而有，解得，正确，
故选：ABD.
6．（多选）（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．若，则的面积为2
C．过P点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条
D．存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点
【答案】AB
【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【分析】对A，根据双曲线的定义判断即可；对B，根据双曲线定义结合勾股定理求解即可；对C，数形结合分析判断即可；对D，根据点差法结合双曲线性质求解即可.
【详解】对A，根据双曲线的定义可得，故A正确；
对B，因为，，则，
又，故，即，
故，故B正确；
对C，由双曲线的渐近线可得，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有
与两条渐近线分别平行的两条直线、与双曲线右支相切的两条直线，共4条，故C错误；
对D，设存在两点，为中点，则，
即，又，故，
，故，即.
由渐近线的性质可得过点且斜率为2的直线与双曲线无交点，
故不存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点，故D错误.

故选：AB
二十一、离心率问题（共11小题）
1．（23-24高二下·广东广州·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（ ）

A．B． C．D．
【答案】B
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】结合椭圆的知识以及正弦定理求得，进而可得椭圆的离心率.
【详解】如图，为伞沿所在圆的直径，为椭圆形的左右顶点，
由题意可得，则，
阳光照射方向与地面的夹角为60°，即，
则，
，
在中，，即，
即，解得，而，故,
.
故选：B.
2．（23-24高二下·海南海口·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题
【分析】根据已知向量关系得出直角，再根据定义得出长轴长及焦距关系计算出离心率即可.
【详解】
因为所以,
在中,
所以,
所以,
所以.
故选：A.
3．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】画出图形，用双曲线定义和勾股定理构造方程求解即可.
【详解】如图所示，为等腰直角三角形，且，
运用勾股定理，知道根据．由双曲线定义，知道，
即，解得，故离心率为：.
故选：C.
4．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为，，过点的直线交的左支于两点，若，，成等差数列，且，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由题意可得，再结合双曲线的定义可得，设，在中，利用余弦定理求出，再利用双余弦定理得出的关系式，即可得解.
【详解】因为，，成等差数列，
所以，即，
又因为，
所以，所以，
设，则，
故，
在中，由余弦定理得，
，
解得（舍去），
所以，
因为，所以，
即，
即，
整理得，所以，
即的离心率是.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
5．（23-24高二下·江苏盐城·期末）若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．
【详解】双曲线渐近线为，且与圆没有公共点，
圆心到渐近线的距离大于半径，即，，，．
故选：B．
6．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为 .
【答案】/
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解.
【详解】不妨设为第一象限的点，为左焦点，
设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义可得，
，所以，，
，在△中，，
由余弦定理得，
化简得，即．
所以，从而，
当且仅当，且，即，时等号成立．
故答案为：
7．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为 .
【答案】/
【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】由条件可知为直角三角形，结合椭圆定义确定关系，由此可求离心率.
【详解】取椭圆的左焦点，连结，

由为等边三角形，则，
可知为直角三角形，且，
设，则，，
可得，则，
所以椭圆的离心率是.
故答案为：.
8．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知椭圆的左､右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】设，则，，表示出，在中求出PF1，再结合椭圆的定义可得，然后在中利用勾股定理列方程可求出离心率.
【详解】设，则由题意可得，，，
所以，
在中，，
因为，所以，解得，
所以，，
因为，所以，
所以，解得，
所以离心率.
故答案为：
9．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于等于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的不等关系，即双曲线的离心率范围可求．
【详解】圆，双曲线的渐近线为，
圆与双曲线的渐近线有公共点，
圆心到渐近线的距离，
，，即，
．
故答案为：．
10．（23-24高二下·贵州遵义·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于一条渐近线的直线l，分别交两渐近线于A，B两点，且A，B分别在第一、四象限，若，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】##
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】先根据点到直线距离公式求得，再由，用表示出，根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得与的等量关系式，进而求得双曲线的离心率.
【详解】由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为，
即，
由点到直线距离公式可知：，
又，
，
∵，即，
设，则，
而，，
由正切二倍角公式可知：，
即，化简可得：，
即，
由双曲线离心率公式可知.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
11．（23-24高二下·安徽·期末）在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是的右支上一点，直线与相切于点.由点出发的入射光线碰到点后反射光线为，法线（在光线投射点与分界面垂直的直线）交轴于点，此时直线起到了反射镜的作用.若，则的离心率为 .

【答案】43/113
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据光学性质可得，进而根据可得，故，结合双曲线的定义，以及相似即可求解.
【详解】

过点作于点，延长交的延长线于点，设上有一点，
由题意可得，，
又，所以，所以，故，
由双曲线定义可得，故，
因为，，所以，故，
故离心率为，
故答案为：.
二十二、弦长问题（含焦点弦）（共10小题）
1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求椭圆中的弦长、求直线与椭圆的交点坐标
【分析】设Ax1,y1，Bx2,y2，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可表示出AB，再由二次函数的性质计算可得.
【详解】设Ax1,y1，Bx2,y2，由，
消去整理得，解得或，则，，
则，，
所以
，
所以当，即时AB取最大值.
故选：C
2．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（ ）
A．B．5C．D．
【答案】B
【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】证明直线过焦点，再利用焦半径公式和韦达定理即可得到答案.
【详解】将与抛物线联立得，
设，
显然抛物线焦点坐标为，令，即，则，则直线过焦点，
则.
故选：B.
3．（23-24高二上·宁夏固原·期末）直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点､，若，则弦的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【知识点】抛物线的焦半径公式、求直线与抛物线相交所得弦的弦长
【分析】利用抛物线的焦点弦公式可求得弦的长.
【详解】抛物线的准线方程为，
因为直线过抛物线的焦点，
且与该抛物线交于不同的两点Ax1,y1、Bx2,y2，
则.
故选：D.
4．（23-24高三上·河南·期末）已知抛物线，过点且斜率为的直线l交C于M，N两点，且，则C的准线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】由弦长求参数、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】设Mx1,y1，Nx2,y2，求出直线的方程与抛物线方程联立，利用计算即可.
【详解】设Mx1,y1，Nx2,y2，直线，
联立得，
则，，又l经过C的焦点，
则，解得，故的准线方程为．
故选：D．
5．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知椭圆的上顶点为A，过点A的直线与C交于另一点B，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】求椭圆中的弦长、求椭圆中的最值问题
【分析】设出点，根据两点间距离公式列式运算得解.
【详解】设，则，，又，
所以，
当且仅当时，取得最大值.
所以的最大值为.
故答案为：.
6．（23-24高三上·北京东城·期末）已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是 ；直线与双曲线相交于，两点，则 .
【答案】
【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线中的弦长、求直线与双曲线的交点坐标
【分析】由已知可判断双曲线为焦点在轴上的双曲线，可知，，表示渐近线方程即可；由可求的值，从而得到交点坐标，即可得到距离.
【详解】由双曲线：知双曲线的焦点在轴，且，，
即，，所以双曲线的渐近线方程为；
当时，，
设，则，所以.
故答案为：；.
7．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）过点作直线与交于A，B两点，若，则直线的倾斜角为 .
【答案】
【知识点】由弦长求参数、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题
【分析】联立直线与抛物线方程可求得，再利用抛物线的焦点弦公式得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】因为抛物线的焦点坐标，准线为，
则直线过抛物线的焦点，且由题意可知直线的斜率不为0，
不妨设直线为，，，
联立，消去，得，
易知，则，故，
因为，所以，即，故，
所以直线的方程为，则直线的倾斜角为.
故答案为：.
8．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，且，过点且与x轴不重合的直线与椭圆C交于P，Q两点，已知的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作直线与直线垂直，且与椭圆C交于A，B两点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】求椭圆中的弦长、根据a、b、c求椭圆标准方程
【分析】（1）根据椭圆的定义即可求的值，从而得解；
（2）分的斜率不存在和存在两种情况讨论，利用弦长公式求出两个弦长，然后用二次函数知识求出范围即可得解.
【详解】（1）已知，故，
的周长为，
故，，
故椭圆C的方程为；
（2）

①当的斜率不存在时，则的斜率为0，
设P的坐标为，Q的坐标为，代入方程，
解得，同理可得，所以，AB为长轴，
∴；
②当的斜率存在时且不为0，则的斜率存在且不为0，设Ax1,y1，Bx2,y2，
设直线的方程为y=kx−1，则直线的方程为，
将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得：
3+4k2x2−8k2x+4k2−12=0，，
∴，，
∴，
同理，，
∴，
令，则，
∴，
∵，∴，∴，
∴，
∴，即.
综上①②可知，的取值范围为.
9．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆的短轴顶点到长轴顶点的距离为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆左顶点的直线与椭圆相交于另一点，设点为线段的中点，点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的参数及范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的弦长
【分析】（1）由题意根据已知条件以及平方关系求出即可.
（2）通过三角代换设点的坐标，从而得点的坐标，结合两点间距离公式以及三角函数值域即可求解.
【详解】（1）由题意椭圆的一个焦点为，
不妨设它的标准方程为，
所以，
又椭圆的短轴顶点到长轴顶点的距离为，
所以，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）
由题意设，所以点，
又因为，
所以，
所以.
10．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据弦长求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程
【分析】（1）由长轴长和短轴长可得椭圆方程；
（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式即可求得m的值，则直线的方程可求.
【详解】（1）由已知长轴为，短轴长为4，
可得，，
则椭圆C的标准方程为：；
（2）依题意，
解得，
因为，可得，
且，
因为，
解得，
所以直线的方程为l：．
二十三、中点弦问题（共10小题）
1．（多选）（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（ ）
A．B．或
C．弦长的最大值为D．点一定在直线上
【答案】AD
【知识点】由韦达定理或斜率求弦中点、求椭圆中的弦长、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
【分析】先联立椭圆与直线的方程，得一元二次方程，用判别式求的取值范围，进而判断选项A、B；得出韦达定理形式，求弦长的表达式，判断选项C；得到中点的坐标形式，判断选项D.
【详解】设两点的坐标为：，
联立椭圆与直线的方程，
得：，
由判别式，得，即，选项A正确，选项B不正确；
韦达定理：，
弦长，
当时，弦长取最大值，，选项C不正确；
由直线，线段中点的坐标为，
即，所以点的坐标满足直线方程，选项D正确.
故选：AD.
2．（多选）（23-24高二上·广东佛山·期末）设是双曲线上的两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、由韦达定理或斜率求弦中点、由弦中点求弦方程或斜率
【分析】根据点差法，整理直线斜率与中点的等量关系，分别检验四个选项，利用一元二次方程根的存在性求解.
【详解】当直线的斜率不存在时，由双曲线的对称性，则中点的纵坐标为，不合题意；
斜率存在时，设且中点坐枟为，将A,B代入，
可得: ，两式相减可得：，
设直线的斜率存在，整理可得.
对于A，，直线，
化简可得，代入可得，
整理可得，显然方程无解，故A错误；
对于B，，直线，
化简可得，代入可得，
，，
.由，
，故B正确；
对于C，，直线，
化简可得，代入可得，
，，
，，
，故C正确；
对于，直线，
化简可得，代入可得，
，，
，，
，故D正确.
故选：BCD.
3．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的离心率为，直线与交于两点，直线与的交点恰好为线段的中点，则的斜率为 .
【答案】/0.25
【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、由椭圆的离心率求参数的取值范围、由弦中点求弦方程或斜率、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
【分析】根据椭圆的离心率可得，设，利用点差法，结合直线与的交点恰好为线段AB的中点，即可求得答案.
【详解】由题意知椭圆的离心率为，
故，，
设，由题意知l的斜率存在，则，
设线段AB的中点为，
则直线l的斜率为，直线的斜率，
由，两式相减得，
即得，即，
故，
故答案为：
4．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 .
【答案】
【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】因为为线段的中点，所以由点差法可以得到直线的斜率，进而可以得到直线方程.
【详解】设Ax1,y1,Bx2,y2，则两式相减得，
即，所以
因为为线段的中点，
所以，
所以，即
由点斜式方程可得直线的方程为：，
即，经检验适合题意.
故答案为：
5．（23-24高二上·江西·期中）设椭圆：（）的上顶点为，左焦点为.且，在直线上.
(1)求的标准方程；
(2)若直线与交于，两点，且点为中点，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、根据a、b、c求椭圆标准方程
【分析】
（1）由题意，可直接求出点，，从而确定基本量的值，进而求出椭圆的方程；
（2）分直线斜率存在和不存在两种情况分析，当斜率不存在时，直曲联立，解方程即可进行取舍；当斜率存在时，直曲联立，结合韦达定理和中点坐标公式列方程即可求.
【详解】（1）
由题意，直线与轴的交点为，与轴的交点为，
所以，，，
因此的标准方程为.
（2）
当直线的斜率不存在时，：，
联立，解得或，
故，，不满足，即不是的中点，不符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线：，，.
联立可得，
即.
所以.
由于为的中点，所以，即，解得.
综上，直线的方程为，即.
6．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）定义：若椭圆上的两个点Ax1,y1,Bx2,y2满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”．
如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点．

(1)求直线的方程；
(2)已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且．
（i）求证：线段被直线平分；
（ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）．
【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、由韦达定理或斜率求弦中点、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定直线
【分析】（1）根据“共轭点对”的定义可得；
（2）（i）方法一：利用点差法可证；方法二：设联立椭圆方程，利用韦达定理可证；
（ii）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出，利用韦达定理化简，然后利用导数求最值可得.
【详解】（1）由已知，点在直线上，
又因为直线过原点，
所以所求直线的方程为：．

（2）（i）方法1：因为，所以
设，则，
两式相减得，
整理得，
即，所以线段的中点在直线上．
所以线段被直线平分．
方法2：因为，，
所以设，
由，
由韦达定理得，于是，
从而，所以线段的中点在直线上．
（ii）由（i）可知为的中点，而为的中点，
所以．
由解得，设，
由，
由，
由韦达定理得．
点到直线的距离，
令，则，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以，所以的最大值为．
【点睛】关键点睛：第二问第二小问解答关键在于对所求面积的转化，以及韦达定理的运用，将所求问题转化为关于的函数，利用导数求解可得.
7．（23-24高二上·福建福州·期末）已知标准双曲线的焦点在轴上，且虚轴长，过双曲线的右焦点且垂直轴的直线交双曲线于两点， 的面积为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、根据a、b、c求双曲线的标准方程
【分析】（1）根据题意，表示出AB，再由的面积，并结合双曲线中的关系求解；
（2）法一：设出直线的点斜式方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理和中点坐标公式求解；法二：利用点差法求解.
【详解】（1）由题设双曲线，直线的方程为
联立方程解得
，又，
，则
而
所以双曲线的标准方程为.
（2）法一：因为过点的直线与双曲线相交于两点，
可知，直线的方程不是，
设直线的方程为即
联立方程
得①
解得
将代入①，得
故直线的方程为.
法二：因为过点的直线与双曲线相交于两点，
可知，直线的方程不是，
设
得，
,
直线的方程为，即，
联立方程
得，
故直线的方程为.
8．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、抛物线的中点弦
【分析】（1）根据椭圆经过的点以及焦点，即可求解，
（2）联立直线与椭圆的方程，即可根据中点关系求解.
【详解】（1）抛物线的焦点为，
由题意得，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）直线的斜率存在，设斜率为，
直线的方程为，即，
联立，
消去得：，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
因为，即，
所以，解得，
此时满足题意
所以所求直线的方程为.
9．（23-24高二上·山东威海·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与圆相切于点，且.
(1)求；
(2)若点在抛物线上，且线段的中点为，求.
【答案】(1)2
(2)
【知识点】抛物线的中点弦、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
【分析】（1）由题意得，设圆心，由已知有，求解即可得出答案；
（2）直线的斜率存在，设，，方法一：利用直线与抛物线方程联立，利用中点坐标公式、韦达定理，及弦长公式计算即可得出答案；方法二：利用点差法计算，即可得出答案.
【详解】（1）由题意知，抛物线的焦点，
圆的圆心设为，半径，
则，
又，可得.
（2）法一：由题意知，直线存在斜率，设的方程为，
，，
由，可得，
所以，，
因为线段的中点为，
所以，
即，所以，
所以，
所以.
法二：设，，
由，可得，
即，
因为线段的中点为，
所以，，
所以，
由，由，可得：，所以，所以，
所以.
10．（22-23高二上·广西贵港·期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率.
【答案】(1)
(2)2
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线的中点弦
【分析】（1）根据点在抛物线上及焦半径公式，列方程组求解即可；
（2）设出坐标，代入抛物线方程，结合弦中点，利用点差法即可求得直线的斜率.
【详解】（1）由题可知，，解得，故抛物线的方程为.
（2）设，则，两式相减得，
即.因为线段的中点坐标为，所以，则，
故直线的斜率为2.