专题07 圆锥曲线中与弦有关的问题（中点弦+弦长+面积）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点串讲（人教A版2019）

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一、单选题
1．已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定有的有（ ）
A．B．
C．D．
2．直线：在椭圆上截得的弦长是（ ）
A．B．C．D．
3．已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，当的面积为2时，等于（ ）
A．0B．1C．2D．
5．已知直线与椭圆相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是，，线段AB的中点为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知椭圆，为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为.则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ）
A．2B．4C．D．
10．双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为是面积为3的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
11．抛物线的焦点为F，点P在双曲线C：的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（ ）
A．1B．C．或D．或
12．已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且，则的面积为（ ）
A．2B．4C．D．
13．设，是双曲线C：的两个焦点，O为坐标原点，点P在C的渐近线上，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
14．已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
15．直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（ ）
A．4B．3C．2D．1
16．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A．B．C．D．
17．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（ ）
A．B．C．D．
18．已知抛物线E：的焦点为F，以F为圆心的圆与E交于A，B两点，与E的准线交于C、D两点，若，则（ ）
A．3B．4C．6D．8
19．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
20．已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则的面积为（ ）
A．B．C．12D．
21．已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点.若线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
22．已知直线与抛物线相交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（ ）
A．B．2C．D．6
二、填空题
23．过点作直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，线段的长度是 .
三、解答题
24．在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线PM与直线PN的斜率之积是.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程；
(3)在（2）的条件下，求弦长.
25．已知椭圆上的左焦点为，点为椭圆上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.
26．已知椭圆E：的短轴长为2，且离心率为，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)过点且不与y轴重合的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，求面积的最大值及此时直线l的方程.
27．已知椭圆的一个焦点为，且离心率为，
(1)求椭圆的方程；
(2)不过原点O的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程．
28．设椭圆的右焦点为，左右顶点分别为，.已知椭圆的离心率为，.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知为椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，且，若三角形与三角形的面积比为1:2，求直线的方程.
29．已知双曲线：（，）的一个焦点到一条渐近线的距离为1，离心率为.设直线交双曲线的右支于、两点，交轴于点，且线段的中点为，为原点.
(1)求双曲线的方程；
(2)求直线的方程；
(3)求的面积.
30．已知双曲线与椭圆有相同的焦点.
(1)求双曲线的方程；
(2)求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程；
(3)若直线与双曲线交于、两点，且、的中点坐标为，求直线的方程.
31．已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程.
32．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为右支上一点，且直线与轴垂直.
(1)证明：；
(2)若的角平分线恰好过点，求的面积.
33．已知双曲线C：（，）与双曲线有相同的渐近线，与椭圆有相同的焦点，双曲线C的左右焦点分别为，，直线l过且与双曲线C相交于A，B两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l的斜率为1，求线段AB的长；
(3)若的面积是12，求直线AB的方程.
34．已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程；
(2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围.
35．已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程．
36．已知抛物线的焦点为.
(1)求的值；
(2)过点的直线与抛物线交于，两个不同点，若的中点为，求的面积.
37．已知点的坐标为，过点的直线与抛物线：交于两点，且， 连接，直线斜率与直线的斜率之积为-2.

(1)求的值；
(2)若线段AB的垂直平分线与抛物线交于，两点，求的面积.
38．已知抛物线：经过点，直线：与的交点为A，B，且直线与倾斜角互补.
(1)求抛物线在点处的切线方程；
(2)求的值；
(3)若，求面积的最大值.
39．已知是抛物线的焦点，是上一点，且在的准线上的射影为.
(1)求的方程；
(2)过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为3，求的方程.
40．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为.
(1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程;
(2)若斜率为2且纵截距为1的直线与抛物线交于M，N两点，为抛物线的焦点，求的面积.