专题10 利用导数研究函数切线+单调性+极值+最值问题（期末压轴专项训练30题）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点串讲（人教A版2019）

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一、单选题
1．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、由奇偶性求参数
【分析】由奇函数的性质求出，再由导数的意义求出切线的斜率，最后由点斜式求出直线方程即可；
【详解】因为为奇函数，且定义域为，所以，
即，所以，经检验符合题意，
则，
曲线y=fx在点处的切线斜率为，
又
所以曲线y=fx在点处的切线方程为
，即.
故选：D
2．已知函数与偶函数在交点处的切线相同，则函数在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的乘除法
【分析】求得，得到且，根据题意，得到与相切于，且，再由为偶函数，求得，且，进而求得切线方程.
【详解】由函数，可得，所以且，
因为函数与偶函数在交点处的切线相同，
所以函数与相切于，且，
又因为为偶函数，所以，且，
所以函数在处的切线方程为，即．
故选：D.
3．若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究函数的零点
【分析】设出切点坐标，求导并利用导数的几何意义求出切线方程，用表示出，再构造函数，利用导数探讨函数图象性质，进而求出的范围.
【详解】依题意，设切点坐标为，由，求导得，
则函数的图象在点处的切线方程为，
由切线过点，得，
令，依题意，直线与函数的图象有3个公共点，
，当或时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，而当时，恒有，
又，因此当时，直线与函数的图象有3个公共点，
所以实数的取值范围是.
故选：B
【点睛】关键点点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键.
4．若过点可作3条直线与曲线相切，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根、根据零点所在的区间求参数范围
【分析】设过点P的直线与曲线相切点，斜率相等列等式可得方程有3个不同的实数根，最后结合零点存在定理列式计算即可.
【详解】设过点P的直线与曲线相切于点，则=，
其中表示直线的斜率，即，整理，得.
过点P可作3条直线与曲线相切等价于方程有3个不同的实数根.
设，则.由，得或，易知和是的两个极值点.
方程有3个不同的实数根，即有3个不同的零点，
所以，即，解得.
故选:B．
5．已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（ ）
A．斜率为2B．斜率为C．恒过点D．恒过点
【答案】D
【知识点】基本初等函数的导数公式、求过一点的切线方程、抛物线中的直线过定点问题、求抛物线的切线方程
【分析】设，求导，根据导函数几何意义得到切线方程，设，将其代入两切线方程，得到直线的方程为，得到过定点.
【详解】设，则，，
由于，故过点的切线方程为，
即，即，
同理可得过点的切线方程为，
设，过点的两切线交于点，
故，整理得，
同理，整理得，
故直线的方程为，
斜率不为定值，AB错误，当时，，恒过点，C错误，D正确.
故选：D
6．已知 ，，直线 与曲线 相切，则 的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、已知切线（斜率）求参数
【分析】利用已知条件求出切点的横坐标，从而得到，利用基本不等式即可求解.
【详解】由于直线 与曲线 相切，
设切点为，且，所以，
则切点的横坐标 ，则，即 .
又，所以，即，
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为1.
故选：D
7．抛物线与的两条公切线（同时与两条曲线相切的直线叫做两曲线的公切线）的交点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再联立求解作答.
【详解】设直线与抛物线相切的切点为，
与抛物线相切的切点为，
由求导得：，由求导得：，
则抛物线在点处切线为，即，
抛物线在点处切线为，即，
依题意，，解得，
因此两条公切线方程分别为，，
由，解得，
所以两条公切线的交点坐标为.
故选：C
8．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】导数的加减法、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得.将切点代入两条曲线，联立方程可分别求得,代入其中一条曲线即可求得的值，由此可求.
【详解】直线是曲线的切线,也是曲线的切线,
则两个切点都在直线上,设两个切点分别为
则两个曲线的导数分别为,
由导数的几何意义可知,则
且切点在各自曲线上,所以
则将代入可得
可得
由可得
代入中可知
所以，
所以.
故选：D.
二、填空题
9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由函数的单调区间求参数
【分析】根据函数在区间上单调递增，得到函数在上成立，再由题意即可得出的取值范围.
【详解】因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上函数，所以
设，，
函数在区间上单调递增，
所以只需即可.
故答案为：.
10．已知函数，．若函数在上单调递减，则a的取值范围是 ．
【答案】．
【知识点】根据函数的单调性求参数值、由函数的单调区间求参数
【分析】将函数在上单调递减转化为在上恒成立,然后分离参数转化为最值问题来解决.
【详解】由题意得，
函数在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立，
∴在上恒成立，
令，二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线，
∴，
∴，
故实数a的取值范围是，
故答案为：．
11．已知函数，若在定义域上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由函数的单调区间求参数
【分析】对函数求导，根据函数在上单调递增列不等式，分离常数后，构造函数，利用导数求得的最小值，进而求得的取值范围.
【详解】解：依题意，当时，恒成立，即恒成立，
所以，在上恒成立，
构造函数，则，由得x>1，由得
所以函数在区间上递减，在区间上递增，
所以，函数在处取得极小值也即是最小值，故，
所以，，即实数的取值范围是
故答案为：.
12．函数在内存在单调递增区间，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用在内有解即可.
【详解】函数，求导得，
由函数在内存在单调递增区间，得不等式在内有解，
不等式，而函数在上单调递增，
当时，，因此，
所以的取值范围是.
故答案为：
13．已知函数在上存在递减区间，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、由函数在区间上的单调性求参数
【分析】求导得，由题意可得在区间上能成立，根据二次函数的单调性即可求解.
【详解】由题意得的定义域为，
所以，
因为函数在区间上存在递减区间，
即在区间上能成立.
设，，开口向上，对称轴为，
所以当时，单调递增，所以，
所以，则，即实数a的取值范围为.
故答案为:.
14．设.若是函数的极大值点，则 .
【答案】
【知识点】根据极值点求参数
【分析】先对函数求导，再结合函数极大值点导数值为0建立关于a的关系式，最后结合极大值的定义，讨论最终a的取值.
【详解】由题意得，，
因为是函数的极大值点，
所以有，
解得或.
又当时，，
或，
，
故函数在和递增，在递减，
此时是函数的极小值点，不符题意；
而当时，，
或，
，
故函数在和递增，在递减，
此时是函数的极大值点.
故答案为：.
15．已知函数，当时，是唯一的极值点，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据极值点求参数
【分析】由的导函数形式，结合极值点的概念可得在时无变号零点，根据的单调性求的取值范围即可.
【详解】由题意可得，
因为当时，是唯一的极值点，
所以是的唯一变号零点，
所以在时恒大于等于0或恒小于等于0，
又由指数函数的单调性可知在上单调递增，
所以，
所以，解得，
故答案为：
16．已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、导数的运算法则、根据极值点求参数、已知函数最值求参数
【分析】利用函数的导数判断函数单调性，确定函数的极小值点，结合题意列出不等式组，即可求得答案.
【详解】由函数，可得，
当或时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
即为函数的极小值点；
要使得函数在区间上有最小值，
则满足，即，
因为，可得，即，解得，
所以，即实数的取值为.
故答案为：
17．已知为自然对数的底数，若函数的最大值与函数的最小值相等，则实数的值是 .
【答案】/
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数
【分析】利用导数求的最小值，根据题设知先增后减，得到，应用导数及其最大值，列方程求参数值.
【详解】对于，有，
时，即在上单调递减，
时，即在上单调递增，
所以，故的最大值为1，
对于且，有，
显然先增后减，故，
时，即在上单调递增，
时，即在上单调递减，
所以，则.
故答案为：
三、解答题
18．已知函数，其中.
(1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【知识点】已知切线（斜率）求参数、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合垂直关系求出值.
（2）分类讨论判断值的正负情况，求出函数的单调区间.
【详解】（1）函数，求导得，
由曲线在点处的切线垂直于直线，得，
所以.
（2）函数的定义域为，，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，方程中，，
若，则，，函数在上单调递增；
若，则，关于x的方程有两个正根，，，
当或时，；当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数的递增区间是；
当时，函数的递增区间是，递减区间是.
19．已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)极大值为，极小值为
(2)答案见解析
【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）利用导数求得的极值.
（2）先求得f'x，对进行分类讨论，从而求得的单调区间.
【详解】（1）当时，，
所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
所以的极大值是，
极小值为.
（2），，
当时，单调递增；
当时，在区间上单调递增，
在区间上单调递减.
当时，在区间上单调递增，
在区间上单调递减.
综上：当时，fx在上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
20．设函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，判断的单调性．
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)答案见解析
【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）对求导，将代入，结合导数正负求解原函数的极值即可；
（2）结合，和二次函数性质判断导数正负，再判断单调性即可.
【详解】（1）由已知，的定义域为，，
当时，令，得，
又，所以．
当时，；当时，．
因此，当时，有极小值，极小值为，无极大值．
（2）由已知，的定义域为，，
令，
则在上递减，在上递增，
因此，有最小值．
①当时，，则，此时，函数在上单调递增；
②当时，令，可解得，或
此时，函数在和上单调递增；上单调递减．
综上：时，在上单调递增；
时，在和上单调递增；上单调递减.
21．设函数在处取得极值.
(1)求的解析式；
(2)当时，求函数的最值.
【答案】(1)；
(2)最大值为3，最小值为.
【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数
【分析】（1）根据函数极值有，列方程求参数，注意验证；
（2）利用导数确定的区间单调性，进而求最值.
【详解】（1）由题设，且，，
所以，故，
此时，故在上，在上，
所以fx在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极值，满足题设，
综上，.
（2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减，
所以，在区间中，在上递增，在上递减，
由，，，，
综上，函数的最大值为3，最小值为.
22．已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若函数有极小值，且的极小值小于，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】根据极值求参数、利用导数证明不等式
【分析】（1）当时，证明出即可；
（2）对实数的取值范围进行分类讨论，利用导数分析函数在其定义域上的单调性，可得出，根据题意可得出，可得出，利用导数分析函数在上的单调性，再利用函数的单调性可解不等式即可.
【详解】（1）证明：要证，只需证.
当时，则，其中，
可得，令得，，列表如下：
所以，函数在处取得即小值，亦即最小值，即，
所以，.
（2）解：因为，其中，则，
当时，，，此时，函数在上单调递增，
当时，令，可得，列表如下：
所以，，
由题意可得，即.
令，其中，且.
不等式即为，.
，
当且仅当时，即时，.
所以，函数在单调递增，又，则.
因此，实数的取值范围是.
23．已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线;
(2)当时，若的极小值小于0，求的取值范围
【答案】(1)
(2).
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】（1）求出切线斜率与切点坐标，应用直线的点斜式求解即可；
（2）利用导数求出的极小值，再构造，利用导数研究函数，解即可.
【详解】（1）当时，，
所以，所以，
所以函数在处的切线为，即；
（2）的定义域为，且，
当时，令，则，所以单调递增；
令，则，所以单调递减.
故当时，取极小值，
所以.
设，
则，所以是增函数.
因为，所以时，.
综上所述，的取值范围是.
24．已知函数．
(1)当时，关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
(2)求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用导数研究方程的根、由导数求函数的最值（含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】（1）先利用导数分析函数的单调性，进而结合题意求解即可；
（2）先对函数求导，然后分，，三种情况讨论函数的单调性，进而求解最小值.
【详解】（1）当时，，
则，
令f'x>0，得；令f'x0可得或x>2，
所以在上单调递减，在，上单调递增
所以在处取得极大值，符合题意，
所以.
又，所以
（2），所以
列表如下：
由于，故时，.
27．已知函数．
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为36，最小值为
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】（1）求导，再利用导数的几何意义求解；
（2）令得到或1，分别求得极值和区间的端点值求解.
【详解】（1）解：函数，定义域为R，
则，
所以，又因为，
所以函数的图象在点处的切线方程为，
即；
（2）函数，，
则，
令得，或1，
所以当时，，单调递增；
当时，f'x