专题11 利用导数研究函数不等式+零点+双变量问题（期末压轴）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点串讲（人教A版2019）

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一、单选题
1．若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】由题设易得，整理题设为，设，，结合导数分析函数的单调性，进而转化问题为在上恒成立，设，，进而结合导数分析的单调性，进而求解即可.
【详解】由题设，显然，由，
即，即，
设，，则，
而，则函数在上单调递减，所以，
即在上恒成立，即在上恒成立，
设，，则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即，
又，所以a的取值范围是.
故选：B.
2．已知函数，，若对任意两个不相等正数，，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】根据已知不等式的形式构造新函数，利用新函数的单调性，结合导数的性质进行求解即可.
【详解】不妨设，由，得，
令，所以在区间上单调递减，
所以在上恒成立，
即，所以，
即的取值范围是.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键由变形为，然后通过构造新，利用导数的性质进行求解.
3．若对任意的 且 ，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】根据题意易知，变形可得，故构造函数，根据函数单调性的定义可得函数在上单调递减，由即可得解.
【详解】对任意的，，且，，易知，
则，所以，
即．
令，则函数在上单调递减．
因为，由，可得，
所以函数的单调递减区间为，
所以，故，
即实数的取值范围为．
故选：C．
4．函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究能成立问题、函数最值与极值的关系辨析
【分析】因为任意，都有，所以是函数的最小值，也是极小值，又当时，，故只需即可.
【详解】由，又，
因为任意，都有，
所以是函数的最小值，也是极小值，
故有两实根，即有两实根，则，
记二次函数的零点为，
且，则在，上单调递增，在上单调递减，
当时，，因为是最小值，
所以，即，
解得，故，
故选：B．
5．已知为函数的零点，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的零点
【分析】由题意确定为方程的根，构造函数，由其单调性即可求解.
【详解】由得，即，即，
因为，所以，所以为方程的根，
令，则，所以在上单调递增，
又，所以，
即，即，
故选：B．
6．函数存在3个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点
【分析】利用导数求出函数的极值，再借助三次函数的性质列出不等式组求解即得.
【详解】函数，求导得，
当时，，函数在R上单调递增，该函数最多一个零点；
当时，由，得或，由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值，
函数存在3个零点，当且仅当，解得，
所以的取值范围为.
故选：C
7．已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究方程的根
【分析】作出的大致图象，方程有3个不同的实数根等价于曲线与直线一共三个交点，由数形结合判断即可.
【详解】当时，，，
则当，当，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且当，又，；
当时，，，
则当时，，当时，，
所以在上为增函数，在上为减函数，则.
所以的大致图象如图所示.
由，解得或.
由图象可知，没有根，
所以关于的方程有3个不同的实数根，
等价于有3个不同的实数根，
由图象可知，有3个不同的实数根，只需.
故选：B.
8．已知关于x的方程有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．|
【答案】B
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、利用导数研究方程的根
【分析】根据题意将问题转化为函数的图象与直线有3个不同的交点，然后对求导，求出单调区间和极值，画出图象可得答案.
【详解】因为关于x的方程有三个不同的实数解，
所以函数的图象与直线有3个不同的交点，
由，得，
当或时，，当时，，
所以在和上递增，在上递减，
所以当时，取得极小值，
函数图象如图所示

由图象可知当时，两图象有3个不同的交点，
所以实数m的取值范围是，
故选：B
9．已知若对于任意两个不等的正实数、，都有恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究双变量问题
【分析】设，构造函数，分析可知函数在上为增函数，可知对任意的恒成立，利用参变量分离法可求得实数的取值范围.
【详解】不妨设，可得，可得，
令，则，
所以，函数在上为增函数，
对任意的恒成立，所以，，
当时，，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故选：B.
10．已知函数的定义域为，且对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究双变量问题
【分析】设，由题意，原问题等价于，令 ，则，进而可得在上为减函数，则在上恒成立，即从而即可求解.
【详解】解：设，因为对，当时都有恒成立，
等价于，即，
令，则，所以在上为减函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
又，，且，
所以，
所以，解得，
故选：A.
11．已知函数．若对任意的，都存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究双变量问题
【分析】先利用导数可求得的单调性及在，上的取值情况，再根据题意可得或，由此建立关于的不等式组，解出即可．
【详解】，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
且，
又对任意的，，都存在唯一的，，使得成立，
或，
又，，故，
，解得．
故选：C
二、填空题
12．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】就、分类讨论，前者再就分类后结合导数的符号讨论单调性后可得相应范围，后者结合常见的函数不等式可得恒成立，故可得参数的取值范围.
【详解】当时，
，
设，则
因为，故均为上的增函数，
故在上为增函数，
若即，则在上恒成立，
故在上为增函数，故恒成立，
故为上为增函数，故恒成立，
故符合，
若即，此时，而，
故存在，使得，
且，即在上为减函数，
故，即在上为减函数，
故，与题设矛盾，
当时，设，则，
故在上为增函数，故即，
设，则，
在上为增函数，故即，
而，故，
即即，故也成立，
综上，，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，注意验证区间的端点处的函数值，如果函数值为零，则往往需要讨论导数（或二阶导数）在端点处的函数值的符号，从而得到分类讨论的标准.
13．已知若存在，使得成立，则的最大值为 .
【答案】/
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题
【分析】根据两函数的同构特征，不难发现，考查利用函数的单调性推得，从而将转化为，最后通过的最大值求得的最大值.
【详解】因则，
由知时，，即函数在上单调递增.
由可得：且,故得：，
则，不妨设，则，
故当时，，递增，当时，，递减，
即，故的最大值为.
故答案为：.
14．已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】根据题意转化为在区间上恒成立，得到在区间上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.
【详解】因为函数在区间上没有零点，且趋向正无穷时，趋向正无穷，
所以在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
设，可得，
因为，，可得，所以，
所以在区间上单调递减，所以，所以，
所以，实数的取值范围为.
故答案为：.
15．已知函数，若函数仅有一个零点，则实数a的取值范围是 .（结果用区间表示）
【答案】
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点
【分析】分类求导数确定函数的单调性，极值，函数的变化趋势，作出大致图形，再作出直线，观察直线与函数图象有1个交点得的范围．
【详解】时，，求导得，
当时，，当时，，
函数在上递增，在上递减，且此时，
时，，求导得，
当时，，当时，，
函数在上递增，在上递减，且此时，
因此函数在处取得极小值，在处取得极大值，
又，，当时，，
而函数在上的取值集合为，因此在上的取值集合为，
函数的图象如图，观察图象得当或时，直线与的图象有1个交点，
所以实数a的取值范围是．
故答案为：
16．已知，关于x的方程有三个不同实数根，则m的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、利用导数研究方程的根、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，作出函数的图象，令，则所求等价于有两个不同实根，则.当时，不满足，舍去．则或，根据二次方程根的分布即可求解.
【详解】，
当时，f'x>0，函数单调递增；当时，f'x0，
所以，函数hx的减区间为，增区间为，
所以，，则，
所以，实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
4），.
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
x
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

–


↘
↗
0,1
1,+∞
f'x
单调递增
极大值
单调递减