高二数学上学期期末考前终极刷题02（高频解答专练）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点串讲（人教A版2019）

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(1)求证：平面平面；
(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.
2．如图，在三棱锥 中， 分别是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若四面体的体积为 ，求；
(3)若 ，求直线 AD 与平面 所成角的正弦值的最大值.
3．如图，四棱锥的底面是边长为2菱形，，，分别是，的中点.
(1)求证；平面；
(2)若，，，求平面与平面所成角的余弦值.
4．如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，．

(1)证明：平面；
(2)若圆锥的侧面积为，求二面角的正弦值．
5．如图，在四棱锥中，， ，，平面平面．
(1)求证：平面；
(2)点Q在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
6．解答下列问题.
(1)已知直线与直线相交，交点坐标为，求的值；
(2)已知直线过点，且点到直线的距离为，求直线的方程.
7．已知圆．
(1)证明：圆C过定点；
(2)当时，点P为直线上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边形面积最小值，并写出此时直线AB的方程．
8．已知圆，点，.
(1)若圆上存在点满足，求半径的取值范围；
(2)对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求的取值范围.
9．已知圆的方程：
(1)若直线与圆C没有公共点，求m的取值范围；
(2)当圆被直线截得的弦长为时，求m的值．
10．已知双曲线的虚轴长为，离心率为，分别为的左、右顶点，直线交的左、右两支分别于，两点．
(1)求的方程；
(2)记斜率分别为，若，求的值．
11．设椭圆的离心率为，短轴长为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点.
①若直线与轴相交于点，且，求的值；
②已知椭圆的上､下顶点分别为，是否存在实数，使直线平行于直线？
12．已知直线与关于抛物线的准线对称.
(1)求的方程；
(2)若过的焦点的直线与交于两点，且，求的斜率.
13．设为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线与交于两点，的面积为，求的方程.

14．已知抛物线：，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．
(1)若到抛物线准线的距离为，求的值；
(2)当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；
(3)直线：，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围．
15．已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到左焦点的距离的最小值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线与椭圆交于、两点，且，求△OMN面积的取值范围.
16．已知动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)设点，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且，，求直线FM的斜率.
17．已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为，且点到点的最短距离是2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作斜率为的直线，交椭圆于，两点，交抛物线：于，两点，且，求直线的方程.
18．对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆（），它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍．
(1)求椭圆伴随双曲线的方程；
(2)点为的上焦点，过的直线与上支交于，两点，设的面积为，（其中为坐标原点）．若，求．
19．已知和为椭圆：上两点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）.
（i）若的面积为，求直线的方程；
（ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值.
20．已知椭圆过点，其长轴长为4，下顶点为，若作与轴不重合且不平行的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)当点横坐标的乘积为时，试探究直线是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
21．已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1.
(1)求抛物线的方程；
(2)试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上.
22．在平面直角坐标系中，为直线上一动点，椭圆：的左右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．若直线交于另一点，直线交于另一点．
(1)求证：直线过定点，并求出定点坐标；
(2)求四边形面积的最大值．
23．已知数列的首项，且满足，设.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最小正整数．
24．已知等差数列的前项和为，若，.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)若，求数列的前项和.
25．已知数列满足，点在直线上.
(1)设，证明为等比数列：
(2)求数列的前项和；
(3)设的前项和为，证明：.
26．等差数列的前项和为，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
27．已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等差数列，，，成等比数列，.
(1)求m的值及的通项公式；
(2)令，，求证：.
28．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线为，求实数的值；
(2)已知函数，且对于任意，，求实数的取值范围.
29．已知函数，其中.
(1)已知,若在定义域内单调递增,求的最小值；
(2)求证：存在常数使得,并求出的值；
(3)在（2）的条件下,若方程存在三个根,,,且,求的取值范围.
30．函数的导函数为，函数的导函数是，已知函数.
(1)若，求的值和函数的单调区间；
(2)若，讨论的零点个数.
31．已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)讨论的单调区间；
(2)当时，不等式在区间上恒成立时，求的取值范围.
32．已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)设方程的所有根之和为T，且，求整数n的值；
(3)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
33．已知函数．
(1)证明：为奇函数；
(2)求的导函数的最小值；
(3)若恰有三个零点，求的取值范围．
34．若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点.
(1)证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一.
(2)对任意x，，函数，都满足.
①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点.
②若，证明：当时，.
参考数据：，.
35．设是定义域为的函数，当时，.
(1)已知在区间上严格减，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格减函数；
(2)已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值；
(3)已知，且对任意，当时，有，证明：.
36．若函数在区间上有定义，在区间上的值域为，且，则称是的一个“值域封闭区间”.
(1)已知函数，区间且是的一个“值域封闭区间”，求的取值范围；
(2)已知函数，设集合.
（i）求集合中元素的个数；
（ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素.证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“值域封闭区间”.
37．对于，若数列满足，则称这个数列为“优美数列”．
(1)已知数列是“优美数列”，求实数的取值范围；
(2)若首项为1的等差数列为“优美数列”，且其前项和满足恒成立，求的公差的取值范围；
(3)已知各项均为正整数的等比数列是“优美数列”，数列不是“优美数列”，若，试判断数列是否为“优美数列”，并说明理由．
38．已知正边形的每个顶点上有一个数.定义一个变换，其将正边形每个顶点上的数变换成相邻两个顶点上的数的平均数，比如：
记个顶点上的个数顺时针排列依次为，则，为整数，，，.设（共个，表示次变换）
(1)若，，，求，，，；
(2)对于正边形，若，，证明：；
(3)设，，，证明：存在，使得不全为整数.
39．设数列的前n项和为，若对任意的，都有（k为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中k为和公比.
(1)若，判断是否为“和等比数列”.
(2)已知是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，，数列的前n项和为.
①求的和公比；
②求；
③若不等式对任意的n∈N+恒成立，求m的取值范围.
40．设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列．
(1)若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由；
(2)证明：若的通项公式为，则不是数列；
(3)设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值．