高二数学上学期期末考前必刷押题卷02（范围：选必一+选必二）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点串讲（人教A版2019）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，且与互相垂直，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示
【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得.
【详解】向量，则，由与互相垂直，
得，
所以.
故选：D
2．已知等差数列的前项和为．若，则的值是（ ）
A．5B．7C．8D．9
【答案】B
【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征、求等差数列前n项和
【分析】根据的表达式为关于的二次函数，且则易得的对称轴方程，再利用对称轴方程，结合易得.
【详解】设等差数列的公差为．
等差数列的前项和可看作是关于的二次函数，
又故对称轴方程为．
又，解得．
故选：B.
3．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数
【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组，从而可得出答案.
【详解】因为点在圆的外部，
所以，解得.
故选：C．
4．已知，分别为双曲线C：的左，右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于A，B两点．若，则C的离心率为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据题意可知四边形为菱形，从而求得，，再进行计算即可.
【详解】如图，连接交轴于.
根据题意易知点，关于轴对称，所以四边形为菱形，且，
故，且.
双曲线的渐近线方程为，令，得.
在中，，解得，
所以.
故选：.
5．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】求空间向量的数量积、余弦定理解三角形
【分析】利用基底表示出向量，然后求出的模，余弦定理求出的长，在中，利用余弦定理的变形即可求出
【详解】如图连接,
则
由题可知，
∴
，
，
，
∴，
在中,,
,
在中,
故选：D.
6．已知为圆上的任意一点，若点到两条直线的距离之和为定值，则当都在变化时，的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】求点到直线的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值
【分析】
易知与平行，由点到、的距离之和为定值，且距离相等，故圆在这两条直线之间（含相切）且，画出对应图形，数形结合即可得.
【详解】易知与平行，所以当且仅当圆在这两条直线之间（含相切）时，
点到这两条直线的距离之和为定值，
因为圆的圆心为1,0，到的距离，到的距离，故到这两条直线的距离均为，
所以，设坐标原点为，则，
当圆经过点时，，
当圆与这两条直线同时相切时，，
故的取值范围是.
故选：D.
7．已知数列的首项，且满足，则存在正整数n，使得成立的实数组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、累加法求数列通项、求等比数列前n项和、数列不等式能成立（有解）问题
【分析】运用累加法求得，讨论n为奇数和偶数，结合数列的单调性求得最值，可得所求范围．
【详解】∵数列的首项，且满足，
可得
，
又存在正整数n，使得成立，
当n为偶数时，，单调递增，可得的最小值为；
，单调递减，可得的最大值为，
可得，即有；
当n为奇数时，，单调递减，可得的最大值为；
，单调递增，可得的最小值为，
可得，即有；
∴的取值范围是.
故选：C．
8．定理：如果函数及满足：①图象在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，那么在内至少有一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、导数新定义
【分析】令，由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足，令，对Fx求导，求出Fx的值域，即可得出答案.
【详解】由可得：，
令，所以
由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足成立，
因为，，所以，，
所以令，
，，
令可得：或，
令可得：，
所以Fx在上单调递增，在1,4上单调递减，
又，，
当趋于正无穷时，Fx趋近，
所以，所以实数的取值范围为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线，则（ ）
A．直线l始终过第二象限
B．时，直线l的倾斜角为
C．时，直线l关于原点对称的直线方程为
D．点到直线l的最大距离为
【答案】AD
【知识点】直线的倾斜角、直线过定点问题、求平面两点间的距离、求直线关于点的对称直线
【分析】A选项，直线变形后求出直线l过定点；B选项，求出直线的斜率，得到倾斜角；C选项，求出直线，取直线上一点，得到其关于原点的对称点，设出对称直线方程，待定系数法求出答案；D选项，数形结合得到直线l与点和的连线垂直时，距离最大，由两点间距离公式求出答案.
【详解】A选项，直线，可变形为，
令，解得，所以直线l恒过定点，故A正确；
B选项，当时，直线，斜率为1，所以倾斜角为，故B错误；
C选项，当时，直线，取直线上一点，
则点关于原点的对称点为，
设关于原点的对称直线为，将代入，，解得，
故直线l关于原点对称的直线方程为，即，故C错误；
D选项，当直线l与点和的连线垂直时，点到直线l的距离最大，
最大值为，故D正确.
故选：AD．
10．设函数，若不等式对任意的恒成立，则的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、求含sinx(型)函数的值域和最值
【分析】求得，得到函数的单调性，把转化为在上恒成立，结合二次函数的性质和不等式的解法，即可求解.
【详解】由函数，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因为，且，则且，
所以不等式，
即为在上恒成立，
即在上恒成立，
设，当时，可得，
所以，解得，即，
结合选项，可得选项C、D符合题意.
故选：CD.
11．棱长为2的菱形中，，将沿折起，使顶点至点，连接，构成三棱锥.设二面角的大小为，直线和直线所成角为.在折起的过程中，下列说法正确的是（ ）.
A．任取三棱锥中的三条棱，它们共面的概率为0.2
B．存在一个位置，使
C．当时，三棱锥的外接球的表面积为
D．当时，的最大值为
【答案】ABD
【知识点】多面体与球体内切外接问题、线面垂直证明线线垂直
【分析】对于A，利用古典概型的概率公式直接求解判断；当时，能证出平面，即能证出.首先找出即为二面角的平面角，，在三棱锥中通过提外心的方法求出外接球的半径；建系求解D选项即可.
【详解】任取三棱锥中的三条棱，有种，
其中共面一共有种，故概率为，故A对；
如图：若，则为等边三角形，取的中点，
，同理，，平面，
所以平面，
平面，所以.故B对.
设，连接，因为与都是等边三角形，
则有，即为二面角的平面角，，
与的中心依次为，设平面，平面
，则为外接球的球心，
，，则四边形外接圆的直径为，
，在直角中，利用勾股定理得到，
在中，利用勾股定理得，
外接球的表面积为.所以C错；
在点处建系，为轴，为轴，则，,B1,0,0，，
，，
则，
，，则 ，
的最大值为，故D对.
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．过点且横截距是纵截距2倍的直线方程为 ．（写成一般式方程）
【答案】或
【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化
【分析】分类讨论，当直线过原点时直接求斜率即可得，当直线不过原点时设出截距式方程计算.
【详解】当直线过原点时，直线的斜率为，此时直线的方程为，即；
当直线不过原点时，设所求直线的方程为（），即，
将点的坐标代入直线方程可得，解得，
此时直线的方程为，
因此，所求直线方程为或．
故答案为：或.
13．斜率为k的直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点，则 .
【答案】
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线与抛物线交点相关问题
【分析】设出坐标，根据在抛物线上，坐标满足方程，两式相减可得，继而利用,两直线斜率相乘等于1建立方程解出即可.
【详解】设，
则又
两式相减得，
则.
设圆心为，则，
因为直线l与圆相切，所以，
解得，代入得
,
故答案为：.
14．若数列满足对任意都有，则称数列为上的“凹数列”.已知，若数列为上的“凹数列”，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】数列新定义、数列不等式恒成立问题
【分析】根据题意整理可得，换元，分析可知原题意等价于对任意恒成立，根据函数单调性求最值结合恒成立问题分析求解即可.
【详解】若数列为上的“凹数列”，则，即，
可得，
整理可得，即，
因为，令，可得，
当时，，可得，
原题意等价于对任意恒成立，
因为在上单调递增，
则在上单调递减，且当时，，
可知的最大值为，
可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】易错点点睛：解决数列与函数综合问题的注意点
（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．
（2）转化以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．
（3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知的三个顶点分别为．
(1)求边的中线和高所在直线的方程；
(2)若直线l过顶点A，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或．
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求点到直线的距离
【分析】（1）中点坐标公式得到中点坐标，由两点求斜率用点斜式写出中线方程；由斜率得到高的斜率，点斜式写出直线方程；
（2）谈论斜率是否存在，当斜率不存在时，符合题意；当斜率不存在时，设出直线方程，由点到直线距离求出斜率，写出直线方程.
【详解】（1）①边的中点为，又直线的斜率为，
边上的中线所在直线的方程为，即．
②直线的斜率为，边上的高所在直线的斜率为，
边上的高所在直线的方程为，即．
（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
②当直线的斜率存在时，直线的方程可设为，即，
由题意，原点到直线的距离为2，即，解得，
所求直线的方程为．
综上，所求直线的方程为x=2或．
16．（15分）
已知数列满足，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设求的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】错位相减法求和、求等比数列前n项和、由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式
【分析】（1）根据已知条件及等比数列的定义即可求解；
（2）根据（1）的结论及等比数列的通项公式，利用数列求和中的错位相减法即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，即，
又因为，
所以，
所以，
故数列是以首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可知，，即，
所以.
所以
由，得
，
所以.
故的前项和为.
17．（15分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是正三角形，四边形ABCD为等腰梯形，且有，E，F分别是AD，BC的中点，动点Q在PF上．

(1)证明：平面平面；
(2)当时，求平面QAB与平面QCD所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】证明面面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理可证平面，即可证明平面平面；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及二面角的夹角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为四边形为等腰梯形，E，F分别是AD，BC的中点，所以，
又因为，所以，
又因为，平面，所以平面，
而平面，所以平面平面.
（2）

假设，所以，
得到，所以，
如图建立空间直角坐标系，得，
，则，
设，
则，
所以，
由可得，解得，
所以，
设平面的一个法向量，
，
则，取得，
设平面的一个法向量，
，
则，取得，
设平面QAB与平面QCD所成角为，
则，
所以平面QAB与平面QCD所成角的余弦值为.
18．（17分）
已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)当时，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再把代入原函数求出，最后由点斜式写出直线方程即可；
（2）分，和三种情况，求导后令导数为零，解出两个根，再由导数的正负确定单调区间即可；
（3）含参数的函数不等式恒成立问题，先由单调性得到，，，解不等式得到参数的范围，再比较参数大小，确定范围即可.
【详解】（1）因为，所以，得到，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）因为，定义域为，
所以．
当时，令，即，
解得，，所以，
当x变化时，，的变化情况如下表所示，
此时的单调递减区间为和，单调递增区间为，
当时，，易知时，，，，
此时的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，令，即，
解得，，
若，即时，当x变化时，，的变化情况如下表所示，
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为，
若，即时，恒成立，当且仅当时取等号，
此时在上单调递增，
若，即时，当x变化时，，的变化情况如下表所示，
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（3）当，且时，由（2）知，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因为对于任意，不等式成立，
所以，，．
所以，得，，得；
，得．
因为，所以，
所以a的取值范围是．
19．（17分）
“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的.如图是抽象的城市路网，其中线段AB是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，称“曼哈顿距离”，也叫“折线距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若Ax1,y1，Bx2,y2，则.
(1)①点，，求的值；
②写出到定点的“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程，
(2)已知点，直线：，求点到直线的“曼哈顿距离”最小值；
(3)我们把到两定点F1−c,0，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”.
（i）求“曼哈顿椭圆”的方程；
（ii）根据“曼哈顿椭圆”的方程，研究“曼哈顿椭圆”性质中的范围、对称性，并说明理由.
【答案】(1)①；②；
(2)2；
(3)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析.
【知识点】求点到直线的距离、求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆、距离新定义
【分析】（1）①②根据“曼哈顿距离”的定义求解即可；
（2）设直线上任意一点坐标为，然后表示，分类讨论的最小值即可；
（3）（i）根据“曼哈顿椭圆”的定义，求得其方程即可;
（ii）画出（i）的“曼哈顿椭圆”的图象，结合图象即可判断.
【详解】（1）①根据“曼哈顿距离”的定义得；
②到定点的“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程为.
（2）设直线上任意一点坐标为，
则，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时，
综上所述，的最小值为2.
（3）（ⅰ）设“曼哈顿椭圆”上任意一点为Px,y，则，
即，
即，
所以“曼哈顿椭圆”的方程为；
（ⅱ）由方程，得，
因为，
所以，即，
所以或或，
解得，
由方程，得，
即，
所以，所以，
所以“曼哈顿椭圆”的范围为，，
将点代入得，，
即，方程不变，
所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称，
将点代入得，，
即，方程不变，
所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称，
将点代入得，，
即，方程不变，
所以“曼哈顿椭圆”关于原点对称，
所以“曼哈顿椭圆”关于轴，轴，原点对称.
【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：
（1）理解“新定义”,明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论 ；
（2）重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法，归纳“举例”提供的分类情况；
（3）类“新定义”中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
x
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增