数学人教A版 (2019)第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直教学ppt课件

这是一份数学人教A版 (2019)第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直教学ppt课件，共17页。PPT课件主要包含了教材分析，学习目标，一新知导入，二直线与平面垂直，l⊥α，a⊥b，三典型例题，课堂小结，知识总结，学生反思等内容，欢迎下载使用。
本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第八章《立体几何初步》的第六节《空间直线、平面的垂直》。以下是本节的课时安排：
1．理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题，培养逻辑推理的核心素养；2．理解直线与平面所成角的概念，并会求一些简单的直线与平面所成角，培养数学运算的核心素养。
1.重点：直线和平面垂直的判定定理及其应用； 求直线与平面所成角。2.难点：直线与平面垂直的判定定理的应用。
在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如旗杆与地面的位置关系，给我们以直线与平面垂直的形象，那什么叫做直线与平面垂直呢？ 怎样用数学语言刻画直线与平面垂直呢？
【问题1】如图,在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着时间的变化,影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直?
【提示】旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直
【问题2】对于地面上不过点B的任意一条直线B'C'，旗杆AB会与之垂直吗？
【提示】旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直。
知识点一 直线与平面垂直的定义
（1）定义：如果直线l与平面α内的 一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 ．它们唯一的公共点P叫做 。（2）记法： 。（3）图示：（4）性质：若a⊥α，b⊂α，则 .　
【思考】直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”或“无数条直线”？
【提示】　定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直.
【做一做】直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　)A．平行　　　　B．相交 C．异面 D．垂直
知识点二 直线与平面垂直的判定
【探究3】如图,一块三角形纸片ABC,过△ABC的顶点A翻折纸片.得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)(1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直?
【提示】容易发现，AD所在直线与桌面所在平面α垂直(如下图)的充要条件是折痕AD是BC边上的高。这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD、DC都垂直。
（1）文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条 直线垂直，那么该直线与此平面垂直。（2）符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α。（3）图形语言：
【思考1】若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定垂直吗？【提示】当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交，不一定垂直.【思考2】如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？【提示】垂直.【辩一辩】 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)(2)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)
【做一做】若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( 　　)A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC
答案：(1)×　(2)√
知识点三 直线与平面所成的角
【做一做】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于__________；AB1与平面ADD1A1所成的角等于__________；AB1与平面DCC1D1所成的角等于__________．
【解析】∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.答案：45°　45°　0°
1.直线与平面垂直的证明
例1.如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.(1)求证：PC⊥平面AEF；(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.
【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD.
【类题通法】1.证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．2.线线垂直和线面垂直的相互转化
【巩固练习1】如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
【证明】(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB.
2.直线与平面所成的角
例2.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
【类题通法】　求斜线与平面所成角的步骤：(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
【巩固练习2】在正方体中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值．
（四）操作演练 素养提升
1.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是(　　)A．垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定2.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　) A．60° B．45° C．30° D．120°3.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m4.下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．
答案：1.A 2.A 3.B 4.③④
（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？