天一名校高二数学期末考试模拟卷（范围：人教A版2019选择性必修第一册全部+数列）（原卷及解析版）

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范围：人教A版2019选择性必修第一册全部+选二数列
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．在等差数列中，，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．经过两点，的直线的倾斜角为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．空间直角坐标系中，平行四边形的三点坐标分别为，，，则D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．已知等比数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆上一点，，点到直线的距离为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线与相交于点P，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为的中点．则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．离心率D．若，则
10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，……．，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．已知数列，，，（），记为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11. 在正方体中，，点满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．当平面时，可能垂直
B．当时，的最小值为
C．若与平面所成的角为，则点的轨迹的长度为
D．当时，正方体经过点的截面面积的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，且共面，则 ．
13. 已知数列满足，，为数列的前n项和，则满足不等式的n的最大值为 .
14．在平面直角坐标系中，当Px,y不是原点时，定义Px,y的“伴随点”为P'yx2+y2,-xx2+y2；当Px,y是原点时，定义Px,y的“伴随点”为它自身；平面曲线C上所有点的“伴随点”构成的曲线C'定义为曲线C的“伴随曲线”，则下列命题：
①若点A的“伴随点”是点A'，则点A'的“伴随点”是点A；
②圆心在原点的单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C'关于y轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
真命题的序号是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知等差数列中，，前n项和为，为各项均为正数的等比数列，，且，．
(1)求与；
(2)定义新数列满足，，求前20项的和．
16．（15分）已知抛物线C的顶点是坐标原点O，焦点是双曲线4x2-y2=1的右顶点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l: x+y=2与抛物线相交于A、B两点，解决下列问题：
（i）求弦长AB；
（ii）求证：OA⊥OB.
17．（15分）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面的中心，平面.

(1)求证：平面；
(2)求平面和平面的夹角的正切值.
18．（17分）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率，且上的点到点的距离的最大值为.
(1)求的方程；
(2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为.
①试证直线恒过定点；
②若在直线上的投影分别为，记的面积分别为，求的取值范围.
19．（17分）设有穷数列的项数为，若（为常数，且），则称该数列为等积数列，叫做该数列的公共积.
(1)若是公共积为的等积数列，求该数列的公共积及；
(2)若是公共积为的等积数列，且（且为常数），证明：当时，对任意给定的，数列中一定存在相等的两项；
(3)若是公共积为1的等积数列，且是奇数，对任意的都存在正整数，使得，求证：是等比数列.