2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟培优卷（苏科版+含答案解析）

这是一份2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟培优卷（苏科版+含答案解析），共32页。试卷主要包含了考试时间，测试范围，关于的一元二次方程的根的情况是，已知，则=等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．考试时间：120分钟，试卷满分：120分。本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：九年级数学上册全册（苏科版）。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线y=（x-2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（-2,-1）B．（-2,1）C．（2,-1）D．（2,1）
2．下表是我旗去年某日最高气温（℃）的统计结果：
则该日最高气温（℃）的众数和中位数分别是（ ）
A．25，25B．25，26C．25，23D．24，25
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，点O为AB的中点，以点C为圆心，5为半径作⊙C，则下列判断错误的是（ ）
A．点O在⊙C上B．点在⊙C上C．点A在⊙C外D．OB的中点在⊙C外
4．投掷一枚质地均匀的正方体骰子，点数大于3的概率是（ ）
A．B．C．D．23
5．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
6．如图，在矩形中，，，点、分别是、边上一点，连接、，交于点，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．1
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7．已知，则=．
8．将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为．
9．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为．
10．已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是．
11．小明本学期数学综合实践活动、期中考试及期末考试的成绩分别是88分、90分和90分，各项占学期成绩的百分比分别为，则小明的数学学期成绩是分．
12．已知一个圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是．
13．如图，四边形是的内接四边形，为上一点，、关于对称，，则°．
14．小明经探究发现：不论字母系数m取何值，函数的图像恒过一定点P，则P点坐标为．
15．如图C、D在直径的半圆上，D为半圆弧的中点，，则阴影部分的面积是．
16．如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作，为上一动点，连接．以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（8分）解方程：
（1）；（2）．
18．（8分）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．
（1）已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）；
（2）已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x=1．
19．（8分）2024年4月23日是第29个世界读书日．某校开展丰富多彩的阅读活动，每位学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类、B：文学类、C：政史类、D：艺术类、E：其他类），甲同学从A、B、C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B、C、D、E四类书籍中随机选择一种．
（1）乙同学恰好选中B的概率是______；
（2）求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．（用树状图或列表法）
20．（8分）某学校八年级班和班进行了一次数学测试，各班前名的成绩（满分：分）分别是：八班：，，，，； 八班：，，，，．
两班前5名成绩的有关统计数据见表：
请解决下面问题：
（1）填空：__________，__________，__________；
（2）计算八年级班前名成绩的方差；
（3）已知八年级班前名成绩的方差为，根据以上信息，说明哪个班前5名的整体成绩比较好．
21．（8分）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
22．（8分）“十四五”时期，国家政策提出要坚持“以文塑旅、以旅彰文”，打造独具魅力的中华文化旅游体验，文旅融合发展进入高水平阶段．著名旅游景区“只有河南·戏剧幻城”以黄河文明为创作根基，对于树立河南文化自信，加速中原崛起具有重要意义.该景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售杯．年春节假期，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶实现平均每天元的利润？
23．（6分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，分别在边上画点，连接，使，且．
（2）在图②中，分别在边上画点，连接，使，且．
（3）在图③中，分别在边上画点，连接，使，且．
24．（8分）已知二次函数，其中．
（1）若该二次函数的图象与轴仅有一个公共点，求实数的值．
（2）在（1）的条件下，若直线的图象与二次函数的图象交于两点，，且．请直接写出当的值为多少时，为直角三角形．
25．（8分）如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结．
（1）求证：平分．
（2）如图2，延长相交于点E，
①求证：．
②若，，求的半径．
26．（8分）如果一条直线把矩形分割成两个矩形，其中一个为黄金矩形（宽与长的比为的矩形），则称这条直线为该矩形的黄金线．例如图所示的矩形中，直线，分别交、于点、，且，显然直线是矩形的黄金线．
（1）如图，在矩形中，，．请在图中画出矩形的其中一条黄金线，其中在边上，在边上，并标注出线段的长度；
（2）将正方形纸片按图所示的方式折叠．
如图所示，按上述方法折叠所得到的折痕是否为正方形的黄金线？请说明理由．
（3）在矩形中，，，已知矩形的黄金线恰好将矩形分割成两个黄金矩形，则_____________（只要求直接写出其中三个答案）．
27．（10分）【项目式学习】
项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界
项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
项目素材：
素材一：凸透镜成像规律：（）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（）表示像到凸透镜的距离，规律如下表
素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．
项目任务：
（1）任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛AB的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①_________，②_________，③ _________；
（2）任务二：某实验小组取焦距为的凸透镜，高度AB是的蜡烛，设置物距时，测量蜡烛的成像的高，
①以为自变量，为因变量，写出与的关系式：；
②当时，随的增大而（选填“增大”或“减小”）
（提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）．
旗（镇）
科尔沁镇
俄体镇
归流河镇
居力很镇
大石寨镇
索伦镇
阿力德尔镇
气温（℃）
26
26
25
25
25
23
22
平均分
中位数
众数
八
八
物体到凸透镜距离u
像到凸透镜距离v
像的大小
像的正倒
缩小
倒立
等大
倒立
放大
倒立
与物同侧
放大
正立
参考答案
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵y=（x-2）2+1是抛物线的顶点式，∴根据顶点式的性质可知，顶点坐标是（2,1），
故选：D．
2．下表是我旗去年某日最高气温的统计结果：
则该日最高气温的众数和中位数分别是（ ）
A．25，25B．25，26C．25，23D．24，25
【答案】A
【详解】解：∵25出现了3次，出现的次数最多，∴该日最高气温的众数是25℃；
把这些数从小到大排列，22，23，25，25，25，26，26，中位数是25℃，故选：A．
3．如图，在中，，点为的中点，以点为圆心，5为半径作，则下列判断错误的是（ ）
A．点在上B．点在上
C．点在外D．的中点在外
【答案】D
【详解】解：如图，连接，取中点，连接，
，点为的中点，
，，
，
以点为圆心，5为半径作，
，
点和点在上，A、B选项判断正确，不符合题意；
，
点在外，C选项判断正确，不符合题意；
，
是等边三角形，
是的中点，
，
在中，，即，
的中点在内，D选项判断错误，符合题意；
故选：D．
4．投掷一枚质地均匀的正方体骰子，点数大于3的概率是（ ）
A．B．C．D．23
【答案】C
【详解】解：∵一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数大于3的有4，5，6共3个，
∴这个骰子向上的一面点数大于3的概率为．
故选：C．
5．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】B
【详解】解：一元二次方程中，
、、，
，
有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．如图，在矩形中，，，点、分别是、边上一点，连接、，交于点，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【详解】解：在矩形中，，，点、分别是、边上一点，连接，交于点；
，，
在直角三角形中，，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
即，
解得：，
，
，
，
，
解得：，
故选：A．
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7．已知，则=．
【答案】
【详解】∵，
∴
∴=.
故答案为.
8．将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为．
【答案】
【详解】解：由题意知，抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为，
故答案为：．
9．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为．
【答案】
【详解】解：根据题意得，，
．
故答案为：．
10．已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是．
【答案】
【详解】解：由抛物线可知对称轴为直线，开口向上，
，，
∴．
故答案为：．
11．小明本学期数学综合实践活动、期中考试及期末考试的成绩分别是88分、90分和90分，各项占学期成绩的百分比分别为，则小明的数学学期成绩是分．
【答案】
【详解】解：小明的数学成绩是（分），
故答案为：．
12．已知一个圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是．
【答案】
【详解】解：设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是，
依题意得，，
解得，，
故答案为：．
13．如图，四边形是的内接四边形，为上一点，、关于对称，，则°．

【答案】130
【详解】解：连接，如图：

设，则，
，
，
、关于对称，
，，
，，
，
∴，
解得：，
，
，
又四边形是的内接四边形，
，
故答案为：130．
14．小明经探究发现：不论字母系数m取何值，函数的图像恒过一定点P，则P点坐标为．
【答案】
【详解】解：
当，即时，，
所以无论字母系数m取何值时，图像恒过一定点P．
15．如图C、D在直径的半圆上，D为半圆弧的中点，，则阴影部分的面积是．

【答案】
【详解】解：设的中点为，连接，

∵C、D在直径的半圆上，D为半圆弧的中点，，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
过点作，则：，
∴，
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
16．如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作，为上一动点，连接．以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为．
【答案】
【详解】解：如图，取的中点，连接，，，
∴，∵四边形是矩形
∴，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
【详解】（1）解：，
，
∴，；分
（2）解：，
，
，
∴，．分
18．（8分）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．
（1）已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）；
（2）已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x=1．
【详解】（1）解：∵图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6），
∴设二次函数的解析式为：，
把（0,﹣6）代入得：
，
解得：a=2，
故二次函数的解析式为：；分
（2）解：设二次函数的解析式为，把A（﹣1,0）、B（0,3），对称轴为直线x=1代入得：
，
解得：，
故二次函数解析式为：．分
19．（8分）2024年4月23日是第29个世界读书日．某校开展丰富多彩的阅读活动，每位学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类、B：文学类、C：政史类、D：艺术类、E：其他类），甲同学从A、B、C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B、C、D、E四类书籍中随机选择一种．
（1）乙同学恰好选中B的概率是______；
（2）求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．（用树状图或列表法）
【详解】（1）解：乙同学从B、C、D、E四类书籍中随机选择一种，则乙同学恰好选中B的概率是，
故答案为：．分
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，即，
∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．分
20．（8分）某学校八年级班和班进行了一次数学测试，各班前名的成绩（满分：分）分别是：八班：，，，，； 八班：，，，，．
两班前5名成绩的有关统计数据见表：
请解决下面问题：
（1）填空：__________，__________，__________；
（2）计算八年级班前名成绩的方差；
（3）已知八年级班前名成绩的方差为，根据以上信息，说明哪个班前5名的整体成绩比较好．
【详解】（1）解：八班的成绩从高到低依次是：，，，，；
五个数中处在中间的是，，
出现次数最多的是，，
八班的成绩是：，，，，，
，
；分
（2）八班的方差是:
；分
（3）∵八年级班和八年级班的前五名同学的成绩的中位数与众数相同；八年级班的平均分比八年级的平均分高；八年级班的方差比八年级的方差小，说明八年级班前五名的成绩比较移稳定，所以八年级班前五名的整体成绩较好．分
21．（8分）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴；分
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．分
22．（8分）“十四五”时期，国家政策提出要坚持“以文塑旅、以旅彰文”，打造独具魅力的中华文化旅游体验，文旅融合发展进入高水平阶段．著名旅游景区“只有河南·戏剧幻城”以黄河文明为创作根基，对于树立河南文化自信，加速中原崛起具有重要意义.该景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售杯．年春节假期，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶实现平均每天元的利润？
【详解】解：设当每杯售价定为x元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶实现平均每天元的利润，
根据题意，得，
整理，得，
解得，，
∵要让顾客获得最大优惠，
∴，
∴当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶实现平均每天6300元的利润．分
23．（6分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，分别在边上画点，连接，使，且．
（2）在图②中，分别在边上画点，连接，使，且．
（3）在图③中，分别在边上画点，连接，使，且．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
分
（2）如图，即为所求；
分
（3）如图，即为所求；
分
24．（8分）已知二次函数，其中．
（1）若该二次函数的图象与轴仅有一个公共点，求实数的值．
（2）在（1）的条件下，若直线的图象与二次函数的图象交于两点，，且．请直接写出当的值为多少时，为直角三角形．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴仅有一个公共点
∴，
解分
（2）当时，，
当时，解得，
∴点A的坐标是1,0，
∵直线的图象与二次函数的图象交于两点，，且过都过定点，且．则根据二次函数图象可知，点B为，
∵，，
∴
∵为直角三角形，
∴或，分
①当时，过点作轴于点D，则，
∴,
∴，
设点的坐标为，则，,
∴，
解得或（不合题意，舍去）
∴点的坐标为，即，
把点代入得，，解得，，
分
②当时，过点作轴于点E，则，
∴,
∴，
设点的坐标为，则，,
∴，
解得或（不合题意，舍去）
∴点的坐标为，即3,-4，
把点3,-4代入得，，解得，，
综上可知，当或时，为直角三角形．
分
25．（8分）如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结．
（1）求证：平分．
（2）如图2，延长相交于点E，
①求证：．
②若，，求的半径．
【详解】（1）证明：点C为的中点，
，
，
平分；分
（2）①证明：是的直径，
，
，
，
；
②如图2，连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设的半径为r，则，
，
，
，
，
整理得，
解得（不符合题意，舍去），
的半径为5．分
26．（8分）如果一条直线把矩形分割成两个矩形，其中一个为黄金矩形（宽与长的比为的矩形），则称这条直线为该矩形的黄金线．例如图所示的矩形中，直线，分别交、于点、，且，显然直线是矩形的黄金线．
（1）如图，在矩形中，，．请在图中画出矩形的其中一条黄金线，其中在边上，在边上，并标注出线段的长度；
（2）将正方形纸片按图所示的方式折叠．
如图所示，按上述方法折叠所得到的折痕是否为正方形的黄金线？请说明理由．
（3）在矩形中，，，已知矩形的黄金线恰好将矩形分割成两个黄金矩形，则_____________（只要求直接写出其中三个答案）．
【详解】（1）∵
∴,
如图所示，
此时，分
（2）折痕是正方形的黄金线．理由如下：
如图，连结，设，，由折叠得，
在中，，
，
又，∴．解得：．
即．∴．
∴是正方形的黄金线．分
（3）①当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
∵AB=1，AD=a
∴，
∴
∴；
②当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
∵AB=1，AD=a
∴，
∴
∴；
③当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
∵AB=1，AD=a
∴，
∴
∴；
④当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
，
，，
解得；
⑤，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
，解得；
⑥当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
，
，解得；
⑦当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
，，
，解得；
⑧当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
，
，解得，
故答案为：，，，，，．分
27．（10分）【项目式学习】
项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界
项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
项目素材：
素材一：凸透镜成像规律：（）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（）表示像到凸透镜的距离，规律如下表
素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．
项目任务：
（1）任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛AB的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①_________，②_________，③ _________；
（2）任务二：某实验小组取焦距为的凸透镜，高度AB是的蜡烛，设置物距时，测量蜡烛的成像的高，
①以为自变量，为因变量，写出与的关系式：；
②当时，随的增大而（选填“增大”或“减小”）
（提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）．
【详解】（1）解：任务一：①根据题意得：矩形，
∴，
根据题意得：与平行，
则，
∴，即：，
设，则，，
由题意得，
∴，
∴，即：，解得：，
∴，
，
，
故答案为：，，；．分
（2）任务二：①依题意得：四边形为矩形，，
，
由任务一可知：，
，
即，
解得：；分
②用描点法可得该函数的图象，如下图所示：
当当时，随的增大而减小，
故答案为：减小．分
旗（镇）
科尔沁镇
俄体镇
归流河镇
居力很镇
大石寨镇
索伦镇
阿力德尔镇
气温
26
26
25
25
25
23
22
平均分
中位数
众数
八
八
物体到凸透镜距离u
像到凸透镜距离v
像的大小
像的正倒
缩小
倒立
等大
倒立
放大
倒立
与物同侧
放大
正立