广东省东莞市2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份广东省东莞市2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在“珍爱生命，远离毒品”的禁毒标语中，下列文字是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．三角形的稳定性
C．长方形的四个角都是直角
D．四边形的稳定性
3．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x≠1C．x＜1D．x≠﹣1
4．（3分）如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，不能证明△AOB≌△DOC的是（ ）
A．AB＝DCB．OB＝OCC．∠A＝∠DD．∠B＝∠C
5．（3分）下列长度的3根小木棒，能够搭成三角形的是（ ）
A．3cm、4cm、8cmB．5cm、6cm、7cm
C．4cm、5cm、10cmD．5cm、7cm、12cm
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5
C．2a2+3a2＝5a6D．（﹣3）﹣2＝
7．（3分）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D，若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
8．（3分）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）
A．三角形的中线B．三角形的角平分线
C．三角形的高D．以上答案均正确
9．（3分）设p＝，q＝，则p，q的关系是（ ）
A．p＝qB．p＞qC．p+q＝0D．p＜q
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE＝DF；②BD＝CD；③AD上任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（ ）
A．仅①②B．仅③④C．仅①②③D．①②③④
二.填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）某种细菌的直径是0.00000077m，用科学记数法表示为： m．
12．（4分）因式分解：x2﹣4y2＝ ．
13．（4分）六边形的内角和是 °．
14．（4分）如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE＝1，CD＝2，则AE的长是 ．
15．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝2，则AB＝ ．
16．（4分）已知am＝5，an＝3，则a2m﹣n＝ ．
17．（4分）如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，连接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN＝2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是8，则OM+ON的长是 ．
三.解答题（共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：（a+1）2+（a﹣1）（a﹣2）．
19．（6分）解方程：
20．（6分）如图，F，C是AD上的两点，且AB＝DE，AB∥DE，AF＝CD．求证：BC∥EF．
四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）在△ABC中，AB＝AC．
（1）尺规作图：求作AC的垂直平分线DE，分别交BC，AC于点D，E；
（2）在（1）的条件下，连接AD，若AB＝BD，求∠B的度数．
22．（8分）先化简：（a﹣），然后在﹣2，﹣1，2三个数中给a选择一个你喜欢的数代入求值．
23．（8分）某公司计划从商店购买同一品牌的毛巾和同一品牌的香皂，已知购买一条毛巾比购买一块香皂多用20元，若用400元购买毛巾，用160元购买香皂，则购买毛巾的条数是购买香皂块数的一半．
（1）购买一条该品牌毛巾、一块该品牌香皂各需要多少元？
（2）经商谈，商店给予该公司购买一条该品牌毛巾赠送一块该品牌香皂的优惠，如果该公司需要香皂的块数是毛巾条数的2倍还多8个，且该公司购买毛巾和香皂的总费用不超过670元，那么该公司最多可购买多少条该品牌毛巾？
五、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；
（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：
①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
②计算：．
25．（10分）△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD沿BD对折，得到△A′BD．
（1）如图1，若α＝15°，则∠CBA′＝ °．
（2）如图2，点P在BD延长线上，且∠DAP＝∠DBC＝α．
①连接CP，试探究AP，BP，CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②连接CA′，若A′，C，P三点共线，BP＝10，CP＝1，求CA′的长．
2022-2023学年广东省东莞市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在“珍爱生命，远离毒品”的禁毒标语中，下列文字是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
2．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．三角形的稳定性
C．长方形的四个角都是直角
D．四边形的稳定性
【分析】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断．
【解答】解：在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性．
故选：B．
3．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x≠1C．x＜1D．x≠﹣1
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零，可得出x的取值范围．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故选：B．
4．（3分）如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，不能证明△AOB≌△DOC的是（ ）
A．AB＝DCB．OB＝OCC．∠A＝∠DD．∠B＝∠C
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．AB＝DC，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△AOB≌△DOC，故本选项符合题意；
B．OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△AOB≌△DOC，故本选项不符合题意；
C．∠AOB＝∠DOC，∠A＝∠D，OA＝OD，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△AOB≌△DOC，故本选项不符合题意；
D．∠B＝∠C，∠AOB＝∠DOC，OA＝OD，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△AOB≌△DOC，故本选项不符合题意；
故选：A．
5．（3分）下列长度的3根小木棒，能够搭成三角形的是（ ）
A．3cm、4cm、8cmB．5cm、6cm、7cm
C．4cm、5cm、10cmD．5cm、7cm、12cm
【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵3+4＜8，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、∵7﹣5＜6＜7+5，∴能构成三角形，故本选项符合题意；
C、∵4+5＜10，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；
D、∵5+7＝12，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5
C．2a2+3a2＝5a6D．（﹣3）﹣2＝
【分析】先根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项法则和负整数指数幂的定义进行计算，再得出答案即可．
【解答】解：A．a2•a3＝a5，故本选项不符合题意；
B．（a2）3＝a6，故本选项不符合题意；
C．2a2+3a2＝5a2，故本选项不符合题意；
D．（﹣3）﹣2＝＝，故本选项符合题意；
故选：D．
7．（3分）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D，若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
【分析】根据等边三角形的性质得出∠B＝∠BCD＝60°，根据三角形内角和定理求出∠ACB，求出∠ACD，再根据平行线的性质求出即可．
【解答】解：∵△BCD是等边三角形，
∴∠B＝∠BCD＝60°，
∵∠A＝20°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣20°﹣60°＝100°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝100°﹣60°＝40°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠ACD＝40°，
故选：C．
8．（3分）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）
A．三角形的中线B．三角形的角平分线
C．三角形的高D．以上答案均正确
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个等底等高的三角形，即可得出结论．
【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，
∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．
故选：A．
9．（3分）设p＝，q＝，则p，q的关系是（ ）
A．p＝qB．p＞qC．p+q＝0D．p＜q
【分析】把两个式子进行相加运算，从而可得结果．
【解答】解：∵p＝，q＝，
∴p+q
＝+
＝
＝1﹣1
＝0，
即p+q＝0．
故选：C．
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE＝DF；②BD＝CD；③AD上任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（ ）
A．仅①②B．仅③④C．仅①②③D．①②③④
【分析】利用角平分线的性质计算．
【解答】解：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，
∴DE＝DF，且AD上任一点到AB、AC的距离相等；
又AB＝AC，根据三线合一的性质，
可得AD垂直平分BC
∴BD＝CD，
AD上任一点到B、C的距离相等．
故选：D．
二.填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）某种细菌的直径是0.00000077m，用科学记数法表示为： 7.7×10﹣7 m．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00000077m＝7.7×10﹣7m．
故答案为：7.7×10﹣7．
12．（4分）因式分解：x2﹣4y2＝ （x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】直接运用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．
13．（4分）六边形的内角和是 720 °．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式计算即可得解．
【解答】解：（6﹣2）•180°＝720°．
故答案为：720．
14．（4分）如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE＝1，CD＝2，则AE的长是 1 ．
【分析】根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，CE＝1，CD＝2，
∴BC＝CE＝1，AC＝CD＝2，
∴CE＝CA﹣CE＝2﹣1＝1，
故答案为：1．
15．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝2，则AB＝ 8 ．
【分析】由30°角所对的直角边等于斜边的一半，则有AB＝2BC，由CD是高，可求得∠BCD＝30°，则BC＝2BD，从而可求AB．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠B＝60°，
∵CD是高，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
∴BC＝2BD，
∵BD＝2，
∴BC＝4，
∴AB＝8．
故答案为：8．
16．（4分）已知am＝5，an＝3，则a2m﹣n＝ ．
【分析】根据同底数幂的乘除法的计算方法进行计算即可．
【解答】解：∵am＝5，an＝3，
∴a2m﹣n＝＝＝．
故答案为：．
17．（4分）如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，连接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN＝2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是8，则OM+ON的长是 10 ．
【分析】过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，利用角平分线的性质可得PF＝PG＝PE，然后根据三角形的面积求出PF＝PE＝PG＝2，再利用△OMP的面积+△ONP的面积﹣△PMN的面积＝8，进行计算即可解答．
【解答】解：过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，
∵P是△MON外角平分线的交点，
∴PF＝PG＝PE，
∵MN＝2，△PMN的面积是2，
∴MN•PF＝2，
∴PF＝2，
∴PG＝PE＝2，
∵△OMN的面积是8，
∴△OMP的面积+△ONP的面积﹣△PMN的面积＝8，
∴OM•PG+ON•PE﹣2＝8，
∴OM+ON＝10，
故答案为：10．
三.解答题（共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：（a+1）2+（a﹣1）（a﹣2）．
【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式去括号然后合并同类项即可．
【解答】解：原式＝a2+2a+1+（a2﹣2a﹣a+2）
＝a2+2a+1+a2﹣3a+2
＝2a2﹣a+3．
19．（6分）解方程：
【分析】本题的最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果需检验．
【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得
2（x+1）＝3（x﹣1）
解得x＝5．
检验：当x＝5时，（x+1）（x﹣1）≠0．
∴x＝5是原方程的解．
20．（6分）如图，F，C是AD上的两点，且AB＝DE，AB∥DE，AF＝CD．求证：BC∥EF．
【分析】证△ABC≌△DEF（SAS），即可得出结论．
【解答】证明：∵AF＝CD，
∴AF+CF＝CD+CF，
即AC＝DF，
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）在△ABC中，AB＝AC．
（1）尺规作图：求作AC的垂直平分线DE，分别交BC，AC于点D，E；
（2）在（1）的条件下，连接AD，若AB＝BD，求∠B的度数．
【分析】（1）作AC的垂直平分线DE即可；
（2）根据垂直平分线的性质可得DA＝DC，由AB＝BD，得∠BAD＝∠BDA＝2∠B，再根据三角形内角和定理即可求∠B的度数．
【解答】解：（1）如图，DE即为所作；
（2）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
又∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵∠BDA＝∠C+∠CAD＝2∠C＝2∠B，
∴∠BAD＝2∠B，
∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，
∴∠B+2∠B+2∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
22．（8分）先化简：（a﹣），然后在﹣2，﹣1，2三个数中给a选择一个你喜欢的数代入求值．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式有意义的条件，先取合适的数进行运算即可．
【解答】解：（a﹣）
＝•
＝•
＝
＝，
∵要使分式有意义，故a+1≠0且a﹣2≠0，
∴a≠﹣1且a≠2，
∴当a＝﹣2时，
原式＝．
23．（8分）某公司计划从商店购买同一品牌的毛巾和同一品牌的香皂，已知购买一条毛巾比购买一块香皂多用20元，若用400元购买毛巾，用160元购买香皂，则购买毛巾的条数是购买香皂块数的一半．
（1）购买一条该品牌毛巾、一块该品牌香皂各需要多少元？
（2）经商谈，商店给予该公司购买一条该品牌毛巾赠送一块该品牌香皂的优惠，如果该公司需要香皂的块数是毛巾条数的2倍还多8个，且该公司购买毛巾和香皂的总费用不超过670元，那么该公司最多可购买多少条该品牌毛巾？
【分析】（1）设购买一块该品牌香皂需要x元，则购买一条该品牌毛巾需要（x+20）元，利用数量＝总价÷单价，结合用400元购买毛巾的数量是用160元购买香皂数量的一半，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出购买一块该品牌香皂所需费用，再将其代入（x+20）中，可求出购买一条该品牌毛巾所需费用；
（2）设该公司可购买m条该品牌毛巾，则购买（2m+8）块该品牌香皂，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过670元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一块该品牌香皂需要x元，则购买一条该品牌毛巾需要（x+20）元，
根据题意得：，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是所列方程的解，其符合题意，
∴x+20＝5+20＝25．
答：购买一条该品牌毛巾需要25元，一块该品牌香皂需要5元．
（2）设该公司可购买m条该品牌毛巾，则购买（2m+8）块该品牌香皂，
根据题意得：25m+5（2m+8﹣m）≤670，
解得：m≤21，
∴m的最大值为21．
答：该公司最多可购买21条该品牌毛巾．
五、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ；
（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：
①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
②计算：．
【分析】（1）分别表示出图1剩余部分的面积和图2的面积，由二者相等可得等式；
（2）①将已知条件代入（1）中所得的等式，计算即可；②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可．
【解答】解：（1）图1剩余部分的面积为a2﹣b2，图2的面积为（a+b）（a﹣b），二者相等，从而能验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①∵a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴21＝（a+b）×3，
∴a+b＝7；
②（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）
＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）×…×（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝××××××…××××
＝×
＝．
25．（10分）△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD沿BD对折，得到△A′BD．
（1）如图1，若α＝15°，则∠CBA′＝ 30 °．
（2）如图2，点P在BD延长线上，且∠DAP＝∠DBC＝α．
①连接CP，试探究AP，BP，CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②连接CA′，若A′，C，P三点共线，BP＝10，CP＝1，求CA′的长．
【分析】（1）由△ABC是等边三角形知，∠ABC＝60°，由∠CBD＝α＝15°，知∠A'BD＝∠ABD＝∠ABC﹣α，∠CBA'＝∠A'BD﹣α＝∠ABC﹣2α＝60°﹣2α，代入α值即可；
（2）①连接CP，在BP上取一点P'，使BP'＝AP，根据SAS证△BP'C≌△APC，得CP＝CP'，再证△CPP'是等边三角形，即可得出BP＝AP+CP；
②先证∠BCP+∠BCA'＝180°，即A'、C、P三点在同一直线上，得出PA'＝PC+CA'，根据SAS证△ADP≌△A'DP，得出A'P＝AP，即可求出CA'的值．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠CBD＝α，
∴∠A'BD＝∠ABD＝∠ABC﹣α，
∴∠CBA'＝∠A'BD﹣α＝∠ABC﹣2α＝60°﹣2α，
∵α＝15°，
∴∠CBA'＝60°﹣2×15°＝30°，
故答案为：30；
（2）①BP＝AP+CP，理由如下：
如图1，连接CP，在BP上取一点P'，使BP'＝AP，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，BC＝AC，
∵∠DAP＝∠DBC＝α，
∴△BP'C≌△APC（SAS），
∴CP'＝CP，∠BCP'＝∠ACP，
∴∠PCP'＝∠ACP+ACP'＝∠BCP'+∠ACP'＝∠ACB＝60°，
∵CP'＝CP，
∴△CPP'是等边三角形，
∴∠CPB＝60°，PP'＝CP，
∴BP＝BP'+PP'＝AP+CP，
即BP＝AP+CP；
②如图2，
∵点A'、C、P在同一直线上，
即PA'＝PC+CA'，
由折叠知，BA＝BA'，∠ADB＝∠A'DB，
∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠A'DB，
∴∠ADP＝∠A'DP，
∵DP＝DP，
∴△ADP≌△A'DP（SAS），
∴A'P＝AP，
由①知，BP＝AP+CP，
∵BP＝10，CP＝1，
∴AP＝BP﹣CP＝10﹣1，
∴A'P＝AP＝10﹣1，
∴CA'＝A'P﹣CP＝10﹣1﹣1＝8．