专题05 三角函数-【寒假提升课】2025年高一数学寒假提升试题（人教A版2019）

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【考点1】任意角的三角函数
【考点2】同角三角函数基本关系
【考点3】三角函数单调性
【考点4】三角函数周期性
【考点5】三角函数奇偶性
【考点6】三角函数对称性
【考点7】三角函数图象变化
【考点8】根据图象求解析式
【考点9】与取值范围有关的问题
【考点10】三角函数综合（解答题）
【考点11】三角函数中的零点问题
【考点12】三角函数中的恒成立问题
知识点 1 ：任意角的三角函数定义
1、单位圆定义法：
如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点
①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即
②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即
③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
2、终边上任意一点定义法：
在角终边上任取一点，设原点到点的距离为
①正弦函数：②余弦函数： ③正切函数：()
知识点2：同角三角函数的基本关系
1、平方关系：
2、商数关系:（，）
知识点3：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
知识点4：正弦、余弦型函数的常用周期
知识点5：根据图象求解析式
形如的解析式求法：
1、求法：
①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置.
②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解.
2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出.
3、求法：
①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解.
（第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近）
②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解.
③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案.
题型归纳
【考点1】任意角的三角函数
1．（2024·福建·三模）在平面直角坐标系中，将角的终边顺时针旋转后经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】根据三角函数定义得到，，利用凑角法求出答案.
【详解】由题意得，，
故
.
故选：B
2．（2024·吉林·模拟预测）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、特殊角的三角函数值
【分析】根据三角函数的定义计算．
【详解】，，
所以，
故选：A．
3．（2024·福建福州·模拟预测）以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正弦公式
【分析】根据条件，利用三角函数的定义，直接求出，再利用倍角公式求出，即可求出结果.
【详解】因为角的终边落在直线上，
当角的终边在第一象限时，终边过点，
此时，，，，
当角的终边在第三象限时，终边过点，
此时，，，，
故选：C.
4．（2024·山东·一模）已知时，当时， ．
【答案】或.
【知识点】已知三角函数值求角
【分析】根据三角函数的性质即可得到答案.
【详解】因为，，则或.
故答案为：或.
【考点2】同角三角函数基本关系
1．（2024·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值
【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，
所以，，
所以，
故选：B.
2．（2024·广东韶关·一模）已知为方程的两个实数根，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的余弦公式化简、求值
【分析】根据韦达定理求出，利用三角函数和与差的正弦和余弦公式将展开，分子分母同时除以，代入即可得出答案.
【详解】因为为方程的两根，
由韦达定理，得，
则.
故选：C.
3．（2024·浙江金华·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值
【分析】根据两角和的正切公式可得的值，再将弦化切，即可求解.
【详解】由得，即，解得，
所以，
故选：B.
4．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知，则
【答案】
【知识点】正、余弦齐次式的计算
【分析】将原式中的分子、分母同除以，再将代入即可.
【详解】.
故答案为：
【考点3】三角函数单调性
1．（2024·河北·模拟预测）已知函数在区间单调递增，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】由正弦函数的单调性结合为正弦函数递增区间的子区间求解即可；
【详解】由正弦函数的单调递增区间为，，
所以，
因为在区间单调递增，
所以，解得，，
因为，所以，
故选：A.
2．（2024·全国·二模）如图，已知函数，点A，B是直线与函数的图象的两个交点，若，则函数的单调递减区间为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】求csx型三角函数的单调性、由图象确定正（余）弦型函数解析式
【分析】根据可知，或，可得的值，进而代入可求解，即可得，由整体法即可求解单调性.
【详解】设，由，不妨设，可得，
由可知，或，由图可知，
，，即故，
，结合图象，得，
即..
若时，由，由，由可知，或，由图可知，
，，即故，
则，
，结合图象，得，
即..
由，得.
故的单调递减区间为.
故选：B
3．（23-24高一下·江西赣州·期中）函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】求正切型三角函数的单调性、由图象确定正切（型）函数解析式
【分析】由条件列方程求，结合正切函数的性质求的单调递增区间.
【详解】依题意，，且，
即且，
因为，所以，
则，
所以，化简得，
因为，所以时，故，
所以．
由，得，
所以的单调递增区间是．
故选：D．
4．（2024·湖南长沙·二模）已知函数的最小正周期为，直线是图象的一条对称轴，则的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】求正切型三角函数的单调性、由正切函数的周期求值、正切函数对称性的应用
【分析】根据的最小正周期确定的值，根据函数的对称轴求出，结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.
【详解】由于的图象是将的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，
且仅有单调递增区间，
故和的最小正周期相同，均为，
则，即，
又直线是图象的一条对称轴，则，
即，结合，得，
故，令，则，
即的单调递减区间为，
故选：B
5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数m的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数
【分析】根据正弦型函数对称轴与周期的关系，结合正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，解得，即，
因为在上是增函数，则，
所以函数的增区间包含，
令，得，
所以，所以故的取值范围为.
故答案为：
6．（2024·全国·二模）已知函数，，则函数的单调递减区间为 .
【答案】
【知识点】求csx型三角函数的单调性
【分析】利用整体代换法求出余弦函数的单调递减区间即可.
【详解】由题意知，，
由，得，
令，得，令，则，
即函数的单调递减区间为.
故答案为：
7．（2024·辽宁本溪·一模）已知函数.
(1)求的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的值；
(2)讨论在上的单调性.
【答案】(1)，最大值为，
(2)单调增区间为，单调减区间为
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得周期与最值；
（2）利用整体代入法可得函数的单调区间.
【详解】（1），
所以的最小正周期，
当时，取最大值为，此时，，即，；
（2）当时，有，
从而时，即时，单调递增，
时，即时，单调递减，
综上所述，单调增区间为，单调减区间为.
【考点4】三角函数周期性
1．（2024·河北·三模）已知函数在区间内没有零点，则周期的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式
【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的零点求出零点的表达式，结合已知条件，求出的最大值，从而可求周期的最小值．
【详解】，
令得，所以，，
因为在区间内没有零点，
所以，只需且，解得，
令得，得，
因为，所以的取值范围，
所以周期的最小值是，
故选：．
2．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知函数的最小正周期为10，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、求余弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题
【分析】利用三角函数的基本关系式与倍角公式化简，从而利用余弦函数的周期公式求得，进而代入即可得解.
【详解】
，
又的最小正周期为10，所以，解得，
则，则.
故选：C.
3．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式
【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .
【详解】对A，，周期，故A正确；
对B，，周期，故B错误；
对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D，，周期，故D错误，
故选：A．
4．（2024·湖北荆州·三模）函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】求正切（型）函数的周期
【分析】根据条件，利用三角函数的周期公式，即可求出结果
【详解】由周期公式得.
故选：B
5．（2024·福建龙岩·模拟预测）函数的最小正周期是 .
【答案】
【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式
【分析】由两角和的余弦公式，二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简，即可由正弦型函数周期得解.
【详解】
，
所以函数周期,
故答案为：
【考点5】三角函数奇偶性
1．（2024·贵州铜仁·模拟预测）将函数的图象向右平移，个单位长度后，所得函数为偶函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求图象变化前（后）的解析式
【分析】先求得平移后的解析式，然后根据函数的奇偶性求得.
【详解】函数的图象向右平移，
得到，
由于偶函数，所以，
由于，所以取，得.
故选：D
2．（2024·四川乐山·三模）已知，若存在常数，使得为奇函数，则的可能值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数、由奇偶性求参数
【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义，结合余弦型函数的奇偶性求解即得.
【详解】函数的定义域为R，由为奇函数，
得是奇函数，
则必有函数是偶函数，函数是奇函数，
此时，
因此，当时，，
不存在整数，使得值为BCD，
当时，是奇函数.
故选：A
3．（2024·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】由正切（型）函数的奇偶性求参数
【分析】分0在定义域内和0不在定义域内两种情况进行讨论即可求得答案.
【详解】若0在定义域内，由时，得，；
若0不在定义域内，由时，无意义，得．
综上，．
故选：C．
4．（2024·内蒙古赤峰·三模）将函数的图象向左平移个单位后， 所得图象关于y轴对称，则实数 m的值为 .
【答案】/
【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式
【分析】运用辅助角公式化简函数的表达式为正弦型函数，再利用正弦型函数的奇偶性和图象变换的性质进行求解即可.
【详解】，
将函数的图象向左平移个单位后，
解析为，而的图象关于y轴对称，
所以函数为偶函数，
因此有，
因为，所以，即，
故答案为：
5．（2024·辽宁·模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，则的最小值为 ．
【答案】/
【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数、相位变换及解析式特征、三角恒等变换的化简问题
【分析】根据题意可得，并图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，可得，从而结合题意可得的最小值.
【详解】，
图像向右平移个单位长度后得到是偶函数，
，的最小值为.
故答案为：.
【考点6】三角函数对称性
1．（2024·湖北·模拟预测）函数图像的一条对称轴为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】利用正弦函数的对称性求参数
【分析】直接利用对称性，取特殊值，即可求出.
【详解】由的图象关于对称，
可知：，即，则．
故选：A．
2．（2024·四川南充·一模）已知函数的图象关于直线对称，若方程在上恰有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、利用正弦函数的对称性求参数、辅助角公式
【分析】利用辅助角公式及函数的对称性求出，即可得到函数解析式，再求出函数在上的单调性，求出端点函数值与最大值，依题意与在上恰有两个交点，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为（其中），
又函数的图象关于直线对称，且，
所以，解得，
所以，
当时，则，
令，解得，且，
令，解得，且，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，，，
因为方程在上恰有两个实数根，即与在上恰有两个交点，
所以，即的取值范围是.
故选：C
3．（2024·天津河西·二模）若函数满足对于， ，，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求余弦（型）函数的最小正周期、求csx（型）函数的对称轴及对称中心
【分析】依题意可得关于对称，且是以为周期的周期函数，再根据各选项一一判断即可.
【详解】因为，所以关于对称，
又，则，
所以是以为周期的周期函数；
对于A：若，则最小正周期，
又，所以不关于对称，故A错误；
对于B：若，则最小正周期，
又，所以不关于对称，故B错误；
对于C：若，则最小正周期，
则，又不恒成立，所以不恒成立，故C错误；
对于D：若，则最小正周期，
又，满足关于对称，故D正确.
故选：D
4．（多选）（23-24高三上·重庆·期末）下列函数中，其图象关于点对称的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求csx（型）函数的对称轴及对称中心、求正切（型）函数的对称中心
【分析】利用三角函数的性质，把代入验证即可判断得解.
【详解】对于A，当时，，A不是；
对于B，当时，，B是；
对于C，当时，，C是；
对于D，当时，，正切值不存在，D是.
故选：BCD
5．（2024·河南开封·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为 ．
【答案】
【知识点】利用csx（型）函数的对称性求参数
【分析】根据余弦函数图像的性质，代入对称中心，求得，由此最小值即可求解.
【详解】的图象关于点对称，
，即，
令，可得的最小值为．
故答案为：
【考点7】三角函数图象变化
1．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向右平移φ个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】相位变换及解析式特征、描述正（余）弦型函数图象的变换过程、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式
【分析】根据辅助角公式，结合三角函数平移的性质即可求解.
【详解】因为，其中，
因为的图象向右平移φ个单位长度得到函数，
所以，所以.
故选：A.
2．（2024·福建厦门·三模）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】相位变换及解析式特征、辅助角公式
【分析】先将化为正弦型，然后由平移规律可得答案.
【详解】因为，
所以.
故选：A
3．（2024·全国·模拟预测）若函数的图象向左平移个单位长度后，其图象与函数的图象重合，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】相位变换及解析式特征、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质
【分析】利用三角函数图象的平移变换，代入计算即可.
【详解】由题可得的图象与函数的图象重合，
则，即，，
解得，，故的值可以为.
故选：D．
4．（2024·安徽蚌埠·三模）已知函数，则要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】C
【知识点】相位变换及解析式特征、描述正（余）弦型函数图象的变换过程
【分析】利用三角函数的平移法则求解即可.
【详解】因为，
所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位即可，
故选：C.
5．（2024·河南·模拟预测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】A
【知识点】相位变换及解析式特征、辅助角公式
【分析】首先将函数利用辅助角公式化成一个三角函数，再根据平移规则求出结果.
【详解】因为，
所以只需将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.
故选：A.
【考点8】根据图象求解析式
1．（2024·四川自贡·三模）函数（，）的部分图象如图所示，的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在图象上，点M、N关于点C对称，下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为奇函数
【答案】C
【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式
【分析】A选项，根据M、N关于点C对称得到点横坐标，从而得到最小正周期；B选项，根据的图象关于点对称和最小正周期得到B正确；C选项，求出，将代入解析式求出，，从而利用整体法判断出在不单调；D选项，求出，得到其奇偶性.
【详解】A选项，点M、N关于点C对称，故，
设的最小正周期为，则，故，A正确；
B选项，可以看出函数的图象关于点对称，
又的最小正周期，
故函数的图象关于点对称，B正确；
C选项，又，故，
，故将代入解析式得，
解得，
又，故当且仅当时，满足要求，故，
又当时，，故，
则，
当时，，
由于在上不单调，
故在上不单调，C错误；
D选项，，定义域为R，
又，为奇函数，D正确.
故选：C
2．（多选）（2024·辽宁大连·模拟预测）函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）．

A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称轴方程为，
C．该函数的单调递增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
【答案】ACD
【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】对于选项A：根据图像和已知条件求出和最小正周期，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求出，通过代点求出即可；对于选项BC：结合正弦函数的性质，利用整体代入法求解即可；对于选项D：利用伸缩变换即可求解.
【详解】由题图可知，，周期，
所以，则，
因为当时，，即，
所以，，即，，
又，故，
从而，故A正确；
令，，得，，故B错误；
令，，
得，，故C正确；
函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，
可得到，故D正确．
故选:ACD
3．（多选）（2024·云南大理·模拟预测）如图是函数（，，）的部分图象，是图象的一个最高点，是图象与轴的交点，，是图象与轴的交点，且，的面积等于，则下列说法正确的是（ ）

A．函数的图象关于点对称
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D．函数的单调递减区间是，
【答案】ABC
【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】由图像可得，再根据三角形面积可得，进而可得函数的最小正周期与，再结合，可得函数解析式，进而可判断图像性质及平移变换.
【详解】由图象可知，，
即，所以，故B选项正确；
即，所以，
且图象过点，即，
又，所以，
所以，
令，，解得，，
所以函数的对称中心为，
当时，对称中心为，故A选项正确；
将的图象向右平移个单位长度得到，故C选项正确；
令，，解得，，
所以函数的单调递减区间是，，故D选项错误，
故选：ABC.
4．（多选）（2024·全国·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．该图像向右平移个单位长度可得的图象
B．函数y=fx的图像关于点对称
C．函数y=fx的图像关于直线对称
D．函数y=fx在上单调递减
【答案】ABC
【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可判断A选项.利用正弦型函数的对称性可判断BC选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项；
【详解】由图象知，，函数的周期，则，则，由得，而，则，因此.对于A，函数图象向右平移个单位长度，得，即的图象，故A正确，
对于B，，则的图象关于点对称，故B正确；
对于C，，则函数的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，当时，，当，即时，取得最小值，所以函数在上不单调，故D错误.
故选:ABC.
5．（2024·海南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，点，
(1)求的解析式；
(2)将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的最值.
【答案】(1)
(2)最小值为，最大值为1
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式
【分析】（1）由图象可得，代入求出，由，结合图象可得，求出，求出函数解析式；
（2）根据伸缩和平移变换得到，整体法求出函数在上的最值.
【详解】（1）由图象知.
因为的图象过点，所以，
又，所以，所以.
又的图象过点，由“五点作图法”可得，
所以.所以.
（2）由题意知，
当时，，
所以，
则，
所以在区间上的最小值为，最大值为1.
【考点9】与取值范围有关的问题
1．（2024·广东·二模）已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ).
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】利用余弦函数的单调性求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）
【分析】由题意计算出周期，再由周期求，又因为在区间上单调，
所以列出不等式，计算出，判断即可.
【详解】由题意知，，则，
因为，所以，又因为在区间上单调，
所以，解得，则的最大值为.
故选：B.
2．（2024·河北·模拟预测）已知函数（）在上有三个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用
【分析】由条件结合零点的定义可得在上有三个根，结合正弦函数性质列不等式可求的取值范围.
【详解】令，
则，
当时，则，
因为函数在上有三个零点，
所以，
∴，
故选：A.
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数满足，则的取值可能为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）
【分析】由结合三角函数的性质，确定的范围，再结合选项选出正确答案.
【详解】由，则，即，又，因此，
又，即，
，或，
即，或，
又，因此结合选项知，可能取值为12.
故选：D.
4．（2024·广东河源·模拟预测）在函数的图象与直线的交点中，任取两点与原点组成三角形，这些三角形的面积的最小值为，则 ．
【答案】
【知识点】利用csx（型）函数的对称性求参数
【分析】设，，且，根据已知及余弦型函数的对称性有，再由，，即可求参数值.
【详解】原点到直线的距离为，设交点，，且，
由，即，
点，相邻，且在的一条对称轴两侧时，，
此时，，，两式相减，得，
所以．
故答案为：
5．（2024·广东佛山·一模）已知函数在上单调，且，则的最大值为 ．
【答案】/1.8
【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、利用正弦函数的对称性求参数
【分析】根据单调性分析可得，根据题意可得为的对称中心，若求的最大值，即的最小值，根据图像结合三角函数性质分析求解即可.
【详解】设的最小正周期为，且，
因为在上单调，则，可得，
又因为，且，可知为的对称中心，
不妨设，如图所示：
依次讨论对应为点，A，，种情况，且，
若对应为点（或点之后），则，即，不合题意；
若求的最大值，即的最小值，即与之间包含的周期最多，
若对应为点，则为的对称轴，
且，则，，满足，
且此时为最小值，所以取值的最大值为．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：对于三角函数问题的处理，常常与周期性相结合，本题根据对称性可得，并分析与之间包含的周期最多，即可得解.
【考点10】三角函数综合（解答题）
1．（2024·山西临汾·三模）已知函数的图象可由函数的图象平移得到，且关于直线对称．
(1)求的值；
(2)求函数的单调递增区间．
【答案】(1)
(2)和．
【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）根据题意求出振幅和周期，再由正显函数的对称轴解出，进而得到，再代入解出即可；
（2）先由图象平移得到，法一换元法整体代入求增区间；法二由正弦函数的递增区间结合条件中范围求出即可.
【详解】（1）依题知函数与函数有相同的振幅和周期，所以，
因为函数的图象关于直线轴对称，
所以，
即，
又因为，所以，
所以，
．
（2）
法一：因为，所以，
因为在单调递增，
故的单调递增区间为和．
法二：
由，
得，
又因为
所以的单调递增区间为和．
2．（2024·北京延庆·一模）已知函数，的最大值为.
(1)求的值；
(2)将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求图象变化前（后）的解析式、二倍角的正弦公式、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质求解即可；
（2）利用三角函数的平移公式求出，再根据正弦函数的图象和性质求解即可.
【详解】（1）因为，
其中，，
所以，
又因为，解得.
（2）由（1）可得，
将的图象向右平移个单位可得，
由得，
即函数的单调增区间为.
3．（2024·山东济宁·二模）已知函数．
(1)求函数在上的单调递增区间;
(2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图象关于点成中心对称，在上的值域为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）先化简，根据正弦函数的周期性即可得出答案；
（2）根据三角函数图象的平移变换和对称性求出、，再由三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）
因为，所以．
所以当，即：时，函数单调递增．
所以函数的单调递增区间为.
（2）由题意可知：
因为函数的图象关于点成中心对称．
所以．解得：．
因为，所以．所以．
当时，．因为在上的值域为
所以．解得：．所以的取值范围为．
4．（24-25高三上·江苏常州·开学考试）已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标缩短到原来的，再向右平移，得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）先化简，再利用相邻对称轴与对称中心的距离求出周期，再求出参数，然后利用复合函数同增异减方式求出单调递增区间即可；
（2）先根据题意求出，然后求其值域即可.
【详解】（1）因为
，
又由题，所以，
所以，
令，，则，，
所以函数的单调递增区间为，．
（2）由（1），故由题意可得，
∵，∴，
故，
所以，即．
5．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数的部分图像如图所示.
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)求函数在上的值域.
(3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数y=gx在上的单调减区间.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质
【分析】（1）根据题意，求得，结合三角函数的性质，即可求解；
（2）由，可得，根据三角函数的性质，求得函数的最值，即可求解；
（3）根据三角函数的图象变换，求得，求得函数的单调递减区间，结合，即可求解.
【详解】（1）解：根据函数的部分图像，
可得，所以，
再根据五点法作图，可得，
又因为，可得，所以，
令，解得，
故函数对称中心为.
（2）解：因为，可得，
当时，即，；
当时，即，，
所以函数的值琙为.
（3）解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，
再向左平移个单位，得到的图像，
即.
令，解得，
可得的减区间为，
结合，可得在上的单调递减区间为.
【考点11】三角函数中的零点问题
1．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
(3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)．
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式
【分析】（1）利用函数图象的顶点求出，利用周期求出，由特殊点求出，即可求出解析式；
（2）利用三角函数图象变换求得，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值；
（3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求.
【详解】（1）由函数的部分图象可知，
，，，又，
，解得，由可得，
；
（2）将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，由，可得，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
可得，；
（3）因为关于的方程在上有两个不等实根，
即与的图象在有两个交点.

由图象可知符合题意的的取值范围为.
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数.
(1)若时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位，得到函数的图象.若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）利用三角恒等变形，转化为正弦型函数，然后利用相位整体思想，结合正弦曲线，求出最值，即可得到答案；
（2）根据伸缩和平移变换，得到新的函数解析式，再同样把相位看成一个整体，利用正弦曲线，数形结合，就可以判定端点值的取值范围，从而得到解答.
【详解】（1）因为，
当时，可得，
当，即时，取得最小值，
因为时，恒成立，所以，
即实数的取值范围为.
（2）由图象的横坐标缩小为原来的，可得：，
再将其向右平移，可得：，
即函数，
因为，所以，在给定区间的正弦函数的零点是，
再由函数有且仅有4个零点，则满足，
解得，所以实数的取值范围.
3．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图为函数的部分图象，且，．
(1)求，的值；
(2)将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在区间的零点个数．
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数图象的综合应用、求图象变化前（后）的解析式、求函数零点或方程根的个数
【分析】（1）由周期求出，根据求出；
（2）首先求出的解析式，函数在区间的零点个数即为函数的图象与直线在上的交点个数，由的取值范围，求出的取值范围，再结合余弦函数的图象即可得解.
【详解】（1）根据题意得，，故，，故．
将代入，得，解得，
又，故．
（2）依题意，．
函数在区间的零点个数即为函数的图象与直线在上的交点个数．
当时，，结合余弦函数图象可知，
当时，单调递减，当时，单调递增，
且，，，
作出函数在上的大致图象如图所示．
观察可知，当或时，有个零点；
当时，有个零点；
当或时，有个零点．
4．（2023·安徽亳州·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求含sinx（型）的二次式的最值
【分析】（1）根据函数的图象求得A和，再将代入求解；
（2）由（1）得到，再令，转化为二次方程求解.
【详解】（1）解：由函数的图象知：，则，
所以，，
因为，
所以，则，
又因为，则，
所以；
（2）由题意得：，
令，
则化为：，
即在上有解，
由对勾函数的性质得：，
所以.
5．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称且；②函数的图象的一个对称中心为且.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）利用三角恒等变换化简可得，根据最小正周期求出，若选①，则根据三角函数的图象平移变换求得，可得解析式；若选②，则根据三角函数的对称性求得，即得解析式；
（2）根据三角函数的伸缩变换可得，结合x的取值范围，确定，结合函数的零点个数即可求得t的取值范围.
【详解】（1）由题意可得
，
，
由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，故,
故.
若选①，函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，
由题意知该函数为偶函数，故，
由于且，即，故，
故；
若选②，函数的图象的一个对称中心为且，
则，
由于且，即，故，
故；
（2）由题意可得，
由于在区间上恰有3个零点，故，
即.
【考点12】三角函数中的零点代数和
1．（23-24高三上·吉林白城·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
【答案】(1)，
(2).
【知识点】三角恒等变换的化简问题、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法,求得的函数表达式，解方程求得的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求出即可.
【详解】（1）由题意可得：因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，
所以的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，
又，所以，故.
令，得，
所以函数的递减区间为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
又，则或，
即或.
令，当时，，
画出的图象如图所示：
的两个根对应的点关于直线对称，即，
有，
在上有两个不同的根，
所以；
又的根为，
所以方程在内所有根的和为.
2．（23-24高一下·江西萍乡·期中）函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值．
【答案】(1)
(2)，
【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数图象的综合应用、利用正弦型函数的单调性求参数、求图象变化前（后）的解析式
【分析】（1）根据三角函数的图象与性质计算即可；
（2）先根据三角函数的图像变换得，结合正弦函数的单调性、对称性可判定的取值范围与的值.
【详解】（1）由图可知，，
∵，
∴，∴，
又，
∴，，∴，
由可得，
∴；
（2）将向右平移个单位得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，则，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，，∴；
由对称性可知，
∴，∴，
∴．
3．（23-24高二上·陕西咸阳·开学考试）已知函数为奇函数，且其图像的相邻两对称轴间的距离为．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值．
【答案】(1)
(2)，
【知识点】正弦函数对称性的其他应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）化简的解析式，根据的奇偶性和周期性求得.
（2）根据三角函数图像变换求得，利用换元法，结合三角函数图像与性质求得以及的值.
【详解】（1）函数
，
图像的相邻两对称轴间的距离为，
，解得．
为奇函数，，
．．
（2）函数的图像向右平移个单位长度，得到，
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到，
令，则，
，令，则，
函数在上的图像如下图所示，
由图可知，与共有5个交点，
在上共有5个根，即，
，
．
4．（23-24高二上·江苏苏州·开学考试）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式及单调减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和.
【答案】(1)，单调减区间为.
(2)
【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、二倍角的余弦公式、辅助角公式
【分析】（1）利用三角恒等变换将函数化简可得，再函数性质可求得解析式，根据整体代换可求出单调递减区间；
（2）由三角函数平移规则可知，再根据三角函数值域以及方程的根可求出方程的所有根之和为.
【详解】（1）由题意可知，函数fx=3sinωx+φ-csωx+φ=2sinωx+φ-π6，
又因为函数为奇函数，所以可得，，
又，解得
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，
可得周期，由可得.
故函数.
令，
可得单调减区间为，.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数.
由方程得或，
即或（舍）
当时，，所以或或或；
即方程有四个实数根，不妨设为；
可得.
所以，
故所有根之和为.
【考点13】三角函数中的恒（能）成立问题
1．（23-24高一上·重庆北碚·期末）已知函数，，函数的图象上两相邻对称轴之间的距离为，_________.请从以下三个条件中任选一个补充至横线上.
①函数的图象的一条对称轴为直线；
②函数的图象的一个对称中心为点；
③函数的图象经过点.
(1)求函数的解析式；
(2)将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图象，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值
【分析】（1）由正弦函数的对称轴，对称中心，特殊点的性质解出即可；
（2）先做伸缩变换，再做平移变换，得到，再利用二次函数的性质解出参数的取值范围即可.
【详解】（1）因为函数的图象上两相邻对称轴之间的距离为，所以，
所以，
若选①函数的图象的一条对称轴为直线；
所以，
因为，所以，
所以；
若选②函数的图象的一个对称中心为点，
则，因为，
所以；
所以；
若选③函数的图象经过点，
则，
因为，
所以，
所以，
所以.
（2）将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图象，则
，
因为，所以，
所以，所以，
因为不等式恒成立，
所以设，则二次函数，开口向上，
所以，
的取值范围为.
2．（23-24高一上·吉林长春·期末）已知函数的部分图象如图所示．

(1)求的解析式并求出的增区间；
(2)先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若且关于的方程在上有解，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）由图象结合正弦函数的性质求得的解析式，再利用整体代入法即可求得的增区间；
（2）先由图象的变换得出函数的解析式，再由正弦函数的性质得出的值域，从而得解.
【详解】（1）由图象可知，，则，
又，所以，故，
因为点在上，则，即，
所以，即，又，故，
所以，
令，得，
所以的增区间为.
（2）先把的图象向右平移个单位得到的图像对应的解析式为，
再向下平移1个单位，得到的图像对应的解析式为，
，则，
所以，即，
因为在上有解，即在上有解，
所以，即的取值范围为.
3．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：
(1)请利用上表中的数据，写出、的值，并求函数的解析式；
(2)若，求函数的单调增区间；
(3)将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，，；
(2)；
(3)
【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求sinx型三角函数的单调性、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式
【分析】（1）根据表中的数据以及五点作图的规律直接求解即可；
（2）先求得，再令求解即可；
（3）先根据平移变换及周期变换的规则可得函数的解析式，再将问题转化为，然后求出函数在上的最值即可.
【详解】（1）由表格根据五点作图的规律，
可得，，，，
得，，
，得，
综上：，，；
（2）由（1）可知，，
令，解得，
所以函数的单调增区间为.
（3）将函数的图象向右平移个单位得，
再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得.
由得，
若在上恒成立，
则，
又当时，，
，得.
所以实数m的取值范围为
4．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，其相邻的两个最值点P，Q的距离为，且
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将函数f(x)的图象向左平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象，关于x的不等式在[0，2]上恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求csx（型）函数的最值
【分析】（1）先求出A,再由周期求出，由求出，即可得到函数f(x)的解析式；
（2）先由平移变换求出g(x)的解析式，再求出在[0，2]上的最大值，即可求出a的取值范围.
【详解】（1）依题意得f(x)的最大值为A，最小值为-A.
得.
设f(x)的最小正周期为T
则解得：.
又
∵f(x)的图象经过点(0，).
∴，∵∴∴.
（2）∵将函数f(x)的图象向左平移2个单位得到函数g(x)的图象，
∴.
当时.，则
∵关于x的不等式在上恒成立，可得.
解得或.
综上可得a的取值范围是.
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一、单选题
1．（2024·海南·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】正、余弦齐次式的计算、诱导公式二、三、四
【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的商数关系化简可得结果.
【详解】.
故选：C.
2．（2024·广西柳州·一模）设函数，已知，，且的最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期
【分析】根据题意求出函数的最小正周期，再利用余弦型函数的周期公式可求得的值.
【详解】设函数的最小正周期为，
因为函数，已知，，且的最小值为，
则，可得，故.
故选：D.
3．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】诱导公式五、六、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、辅助角公式
【分析】先用诱导公式将转化为，再用辅助角公式，最后两边平方即可得出结果.
【详解】因为，
所以，
所以，即，
所以，即，
两边同时平方整理得，所以．
故选：A
4．（2024·山东·一模）已知，且是第二象限角，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系得到方程组，解出即可.
【详解】，则，
又因为，且是第二象限角，所以.
故选：C.
5．（2024·江西景德镇·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】sinα±csα和sinα·csα的关系、二倍角的正弦公式
【分析】将题干等式两边同时平方，再结合同角三角函数基本关系与二倍角公式即可得出答案.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
6．（2024·四川内江·一模）函数的部分图象如图所示，若、，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式
【分析】利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可求出的值，代值计算可得出的值.
【详解】由图可知，函数的最小正周期为，则，
所以，，
因为，且函数在附近单调递减，
所以，，解得，
又因为，所以，，则，
因为，可得，
所以，，
因为、，则，，
因为，则，所以，，
故.
故选：C.
7．（2024·山东威海·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式
【分析】根据诱导公式和余弦二倍角公式得到，化弦为切，代入求值即可.
【详解】，
故
.
故选：A
8．（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则（ ）
A．-2B．C．D．
【答案】D
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数、用和、差角的正切公式化简、求值
【分析】首先根据三角函数的定义，求出的值，得到的值，结合两角差的正切公式，即可求解.
【详解】因为角的终边经过点，
因为，
所以且，解得，
所以，则．
故选：D．
9．（2024·广东佛山·一模）函数是（ ）
A．偶函数，且最小值为－2B．偶函数，且最大值为2
C．周期函数，且在上单调递增D．非周期函数，且在上单调递减
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含sinx(型)函数的值域和最值、求余弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式
【分析】根据函数的奇偶性判定方式以及函数的最值判断A，B；根据周期性判断，结合复合函数的单调性判断C，D.
【详解】定义域为，关于原点对称，
，
所以为偶函数，又，
令，，，
当时，即，有最小值，最小值为，
当时，即时，有最大值，最大值为2，故A错误，故B正确；
因为，所以为周期函数，
因为在上单调递减，在上单调递减，
当，，令，，，在单调递减，在单调递增，
当，，令，，，在单调递减，
由复合函数的单调性知，在上先减后增，在上单调递增；
故C，D错误，
故选：B.
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心
【分析】根据题意可得函数的一条对称轴，再由的最小正周期为，即可得到结果.
【详解】由题设有，且可知.
故，所以的一条对称轴为.
又的最小正周期为，故其一条对称轴为.
故选：B.
二、多选题
11．（2024·贵州六盘水·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（ ）
A．为函数图象的一条对称轴
B．
C．函数在上单调递增
D．函数的图象与函数的图象交点个数为5
【答案】ACD
【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性、求函数零点或方程根的个数
【分析】利用三角函数平移的性质求得，进而利用三角函数的对称性判断A，同时判断B，利用三角函数的单调性与整体法判断C，利用三角函数与对数函数的图象，数形结合判断D，从而得解.
【详解】对于A，将函数的图象向左平移个单位，
可得到函数的图象，
则，
所以为函数图象的一条对称轴，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，当时，，
而在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确；
对于D，对于，其周期为，最大值为，
令，则，
令，则，且，
因为的定义域为0,+∞，且，
作出与在上的大致图象，如图，
结合图象可知，的与函数的图象交点个数为5，故D正确.
故选：ACD.
12．（2024·福建·三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，的最小正周期为
B．函数过定点
C．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则的最小值为
D．函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
【答案】BC
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求正弦（型）函数的最小正周期、求图象变化前（后）的解析式
【分析】根据正弦型函数的性质判断A、B；图象平移确定解析式，根据偶函数求参数判断C；令，化为在有5个根求参数范围判断D.
【详解】A：由题设，则最小正周期为，错；
B：显然恒成立，故函数过定点，对；
C：函数的图象向左平移个单位得为偶函数，
所以，可得且，又，
所以的最小值为，对；
D：由题意在上有5个根，而，
所以在有5个根，如下图示，
所以，可得，错.
故选：BC
13．（2024·甘肃白银·一模）若将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．
B．
C．与的图像关于直线对称
D．与的图像在上有公共点
【答案】BC
【知识点】求图象变化前（后）的解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质
【分析】由三角函数图像的平移变换可得函数的解析式，代入计算即可判断AB，由函数对称性的定义即可判断C，由函数的值域即可判断D.
【详解】对AB，由题意得，
则，A错误，B正确.
对C，由题可得，C正确.
对D，当时，，则，D错误.
故选：BC
14．（2024·吉林长春·一模）函数的最小正周期为，则（ ）
A．是的一条对称轴
B．与函数相等
C．在区间上单调递减
D．在区间上的取值范围是
【答案】AD
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性
【分析】先根据正弦函数的周期公式求出的值确定函数的解析式，然后根据结合正弦函数的对称性、单调性、最值及诱导公式结合选项一一判断即可.
【详解】因为函数的最小正周期为, 由周期公式，
可得，则.
对于A选项，因为，所以是的一条对称轴，故选项A正确；
对于B选项，因为,
与不相等，故选项B错误；
对于C选项，当时，，
而在上单调递增，所以函数在区间上单调递增，故选项C错误；
对于D选项，当时，，而，，所以在区间上的取值范围是，故选项D正确；
故选：AD.
三、填空题
15．（2024·四川成都·二模）若函数对恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】利用二倍角公式把问题转化成二次函数在给定区间上恒成立的问题求参数的取值范围.
【详解】因为在上恒成立.
设，，则在恒成立.
则.
故答案为：
16．（2024·山东威海·一模）已知函数，若将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则 .
【答案】
【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】由图象变换写出新解析式，然后由图象关于轴对称求得参数值．
【详解】，变换后函数式为
，它的图象关于轴对称，
则，,
又，所以，
故答案为：．
17．（2024·广东东莞·模拟预测）若的部分图象如图，则 .

【答案】0
【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）
【分析】根据函数的图象与性质求得的值.
【详解】解:由函数的部分图象知,
又
解得取
则，则.
故答案为：0.
18．（2024·陕西西安·二模）已知函数的部分图象如图所示，为图象上的点且满足四边形为平行四边形，若，则 ．
【答案】
【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式
【分析】设的中点为，设，由已知可得，进而求得，再由，求得，从而可求得.
【详解】如图，设的中点为，
因为四边形为平行四边形，所以关于点对称，
则可设，由，
得，解得，则，
的最小正周期，
所以，所以，
结合图象可知，解得，
又，则，则，
又由，可得，解得，
所以，所以.
故答案为：.
19．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知，函数在上单调递增，则的最大值为 .
【答案】/0.5
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】由题意得，问题转化成函数在上单调递增，接着由正弦函数性质可得，解该不等式组即可得解.
【详解】因为，所以，
又在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
而，，所以由正弦函数性质得，
解得，则的最大值为.
故答案为：.
20．（2024·陕西·一模）已知函数的图象经过点，且在轴右侧的第一个零点为，当时，曲线与的交点有 个，
【答案】6
【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数图象的综合应用
【分析】根据题意，求得函数的解析式为，画出与在区间上的图象，结合图象，即可求解.
【详解】因为函数的图象经过点，可得，即，又因为，所以，
因为在轴右侧的第一个零点为所以，
解得，所以，
画出与在区间上的图象，如图所示，
由图可知曲线与的交点有6个.
故答案为：6.
四、解答题
21．（2024·辽宁·模拟预测）如图，函数的图象与轴相交于点，且在轴右侧的第一个零点为.
(1)求和的值；
(2)已知，，，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦型三角函数图象的应用、三角恒等变换的化简问题、给值求值型问题
【分析】（1）根据可得，即可根据周期关系得，结合中心对称即可求解，
（2）根据同角关系可得，进而根据和差角公式即可求解.
【详解】（1）由已知，∵，∴，∴，
由已知，，∴，，
由图象可知，∵，∴，∴
（2）由（1）知，
∵，∴，∵，∴；
∵，∴，
∴，即
∵，∴，∴，
∴.
22．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值，并求出取得最大值时自变量x的值.
【答案】(1)，.
(2)最大值为2， .
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）根据辅助角公式可得，即可利用整体法求解单调性，
（2）根据函数图象的变换可得，即可求解，
【详解】（1），
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到；
再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，
得到，
因为，则，可得，即，
所以在区间上的最大值为2，此时，即.
23．（2024·湖北黄冈·一模）函数，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间以及对称中心；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象，在函数图象上从左到右依次取点，该点列的横坐标依次为，其中，，求.
【答案】(1)增区间为，对称中心为为.
(2)
【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）利用三角变换可得，结合周期可求，再利用整体法可求单调增区间和对称中心.
（2）根据图象变换可得，根据其周期性和特殊角的三角函数值可求的值.
【详解】（1），
因为的最小正周期为，故，即，
所以，
令，故，
故的增区间为.
令，则，
故图象的对称中心为.
（2）由题设有，
则的周期为，而，故，
而，
，
故
24．（2024·上海·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的在上单调递减区间；
(2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再求出相位的范围，并借助正弦函数的性质求出递减区间.
（2）由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）依题意，
，
当时，，由，得，
所以函数的在上的单调递减区间为.
（2）当时，，又函数在区间上有且只有两个零点，
即函数在只有两个零点，
因此，解得，
所以的取值范围为.
25．（2024·重庆·三模）如果存在实数对使函数，那么我们就称函数为实数对的“型正余弦生成函数”，实数对为函数的“型正余弦生成数对”.
(1)已知函数的“4型正余弦生成数对”为，求方程在区间上所有实根之和；
(2)若实数对的“2型正余弦生成函数”在处取最大值，其中，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、二倍角的正切公式、辅助角公式
【分析】（1）得到，由，得到，设，即，结合正弦函数的图像与性质，即可求解；
（2）由，根据题意，得到，求得，得到，结合双曲函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由函数的“4型正余弦生成数对”为，
可得，
又由方程，即，即，
因为，可得，
设，即，
结合正弦函数的图象，可得方程在区间有2个解，
设其两根为，且，
由对称性可知，解得，则实根之和为.
（2）解：由题意得，其中，
因为在处取最大值，可得，
所以，
即，
可得，
又因为，且在上单调递增，
可得，所以，即的取值范围为.
考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢
重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺
难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升
提升专练：真题感知+精选专练，全面突破
函数
奇偶性
奇函数
偶函数
当时，为奇函数；
当时，为偶函数；
当时，为奇函数；
当时，为偶函数；
函数
最小正周期
或（）
或
或（）
无周期
x
0
0
1
0
－1
0
0
0
0