第02讲 平面向量的运算-【寒假提升课】2025年高一数学寒假提升试题（人教A版2019）

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知识点 1 向量的加法
（1）向量加法的定义
求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
（2）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
（3）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
知识点2 向量的减法
（1）相反向量
与向量长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，记作.
①零向量的相反向量仍是零向量
②任意向量与其相反向量的和是零向量，即:
③若,互为相反向量,则，，.
（2）向量减法定义
向量加上的相反向量，叫做与的差，即.
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算.
（3）向量减法的几何意义
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
知识点3 向量三角不等式
①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；
知识点4 向量的数乘
（1）向量数乘的定义
一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
（2）向量数乘的几何意义
对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍．
实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义．
（3）向量数乘的运算律
实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则：
①结合律：
②第一分配律：
③第二分配律：
知识点5 向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量,,以及任意实数,,,恒有.
知识点6向量共线定理
（1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
（2）向量共线定理的注意问题：
①定理的运用过程中要特别注意．
特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系．
③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可．
知识点7向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角.
(2)向量的夹角范围.
(3)特殊情况：
①，与同向；
②，与垂直，记作；
③，与反向.
知识点8平面向量数量积的概念
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积).
记作：，即.
规定：零向量与任一向量的数量积为0
特别提醒:
（1）“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”；
(2)数量积的结果为数量,不再是向量；
(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正；当是钝角时,数量积为负；当是直角时,数量积等于零.
（2）投影
如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.
特别提醒:
①为向量在上的投影的数量；
②为向量在上的投影的数量；
③投影的数量（）是一个值，不是向量.
考点一：在图形中求向量加、减法
例1．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）如图，在中，若D是边的中点，E 是所在平面内任意一点，则= .

【变式1-1】（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）如图，四边形是正方形，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在四边形中，记，试用向量，，表示向量与.

【变式1-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）在矩形中，，为等腰直角三角形，F为的中点，，，以、为基，试表示向量、、及．

考点二：利用向量加减法化简表达式
例2.（湖南省长郡十八校2024-2025学年高二上学期12月检测数学试卷（A卷））下列表达式化简结果与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）化简：（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（23-24高二下·云南·期末）（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）化简所得的向量是（ ）
A．B．C．D．
考点三：在几何图形中用已知向量表示未知向量
例3.（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，已知，，，，则用向量，表示 ．

【变式3-1】（23-24高一下·北京东城·期中）如图，在正方形中，是边的中点，设，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（24-25高三上·天津·阶段练习）在中，点满足，若，，用表示向量，= ．

【变式3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，的对角线和交于点，，，试用基表示，，．
考点四：平面向量混合运算化简
例4．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式：
(1)．
(2)；
(3)．
【变式4-1】（23-24高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）化简下列向量：
（1） ；
（2） .
【变式4-3】（22-23高一下·广东汕头·阶段练习）化简下列各式：
(1)．
(2)；
考点五：根据平行向量求参数
例5.（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A．2B．C．D．
【变式5-2】（2025高三·全国·专题练习）已知、不共线，向量，，且，则 .
考点六：三点共线问题
例6.（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（ ）．
A．3B．C．D．2
【变式6-1】（2024高三·全国·专题练习）已知非零向量，不共线，若，，，且A，C，D三点共线，则 ．
【变式6-2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量不共线，且．若三点共线，则实数 ．
考点七：向量共线定理及其推论
例7.（2024高三·全国·专题练习）如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ．
【变式7-1】（23-24高一下·北京·期中）在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（24-25高三上·山东青岛·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，P为线段AE上一点，且满足，则 .
【变式7-3】（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是 ．
考点八：平面向量数量积几何意义
例8.（24-25高三上·湖南·期中）已知为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则的取值范围是 .
【变式8-1】（2024·江苏南京·二模）分别是等边的边的中点，，点在线段上的移动(含端点)，则一定不可能是（ ）
A．B．2C．D．
【变式8-2】（23-24高一下·陕西榆林·期末）已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式8-3】（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）已知两点在圆上运动，且，则的值（ ）
A．B．1C．D．与点的具体位置有关
考点九：用定义法求向量数量积
例9.（24-25高三上·北京房山·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ）
A．B．C．D．
【变式9-1】（24-25高二上·安徽宿州·期中）已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（ ）
A．B．-8C．D．-4
【变式9-2】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知为单位圆的内接正三角形，则（ ）
A．B．C．1D．
【变式9-3】（24-25高三上·上海·期中）已知向量和的夹角为，且，，则 .
考点十：向量模
例10.（24-25高三上·甘肃白银·期中）已知向量，的夹角为，，，则（ ）
A．2B．C．D．5
【变式10-1】（24-25高三上·上海·期中）已知向量，的夹角为，且，，则 .
【变式10-2】（2024·四川德阳·模拟预测）已知向量，的模分别为2，1，且，则 .
【变式10-3】（24-25高二上·湖南·期中）已知向量与的夹角为，，，则 ，
考点十一：向量夹角
例11.（24-25高三上·上海黄浦·期中）若向量，满足，且，，则向量与夹角为 .
【变式11-1】（2024高三·全国·专题练习）若，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【变式11-2】（2024高三·全国·专题练习）向量，满足，，，则向量，的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【变式11-3】（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知.若，则（ ）
A．B．C．D．
考点十二：向量垂直关系
例12.（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，，.
(1)求的值；
(2)当为何值时，与垂直？
【变式12-1】（2024·广东河源·模拟预测）已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【变式12-2】（24-25高三上·陕西·期中）已知平面向量满足，且，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
【变式12-3】（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知向量，满足，，且，则（ ）
A．B．C．1D．2
考点十三：向量投影
例13.（2024·贵州六盘水·模拟预测）若是两个相互垂直的单位向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【变式13-1】（24-25高三上·海南·阶段练习）已知向量与的夹角为，，设在上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式13-2】（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．4B．C．D．
【变式13-3】（2024·福建·三模）已知，是两个非零平面向量，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
一、单选题
1．（2024年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学试卷）如图，在中，，则等于（ ）

A．B．C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）在四边形中，，，，若，不共线，则四边形为（ ）
A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形
3．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则共线的三点为（ ）
A．B，C，DB．A，B，CC．A，C，DD．A，B，D
4．（2024高三·全国·专题练习）已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（ ）
A．B．C．D．6
5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知平面向量 满足，则（ ）
A．1B．2C．32D．2
6．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知向量，满足， ，，则（ ）
A．B．C．0D．1
7．（24-25高三上·北京西城·期中）已知边长为2的正方形中，与交于点，则（ ）
A．2B．C．1D．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知和为非零向量，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（24-25高三上·江西·期中）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的最大值为
C．的最小值为15D．的最小值是9
10．（24-25高二上·河南许昌·开学考试）在中，下列说法正确的是（ ）
A．与共线的单位向量为
B．
C．若，则为钝角三角形
D．若是等边三角形，则，的夹角为
三、填空题
11．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则 ．
12．（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知点C在以为直径的圆上，点D为的中点，若，，则的值为 .
四、解答题
13．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，．
(1)用，表示，；
(2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线．
14．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知，的夹角为，且，，设，.
(1)若，求实数的取值；
(2)时，求与的夹角；
(3)是否存在实数，使得，若存在，求出实数.
15．（24-25高三上·上海·期中）已知，且.
(1)求向量与的夹角大小；
(2)求.
16．（23-24高二上·河北唐山·开学考试）已知，，．
(1)求向量与的夹角；
(2)当向量与的模相等时，求实数的值．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．熟练运用掌握向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则
2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算；
3．理解和掌握向量数量积的定义与投影向量的概念与意义