第03讲 平面向量基本定理及坐标表示-【寒假提升课】2025年高一数学寒假提升试题（人教A版2019）

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知识点 1 平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理
如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使.
若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
知识点2 平面向量基本定理的有关结论
（1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共线；当时，，同样的时，.
（2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则.
知识点3平面向量的正交分解
（1）把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
（2）在不共线的两个向量中,垂直是一种特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一种分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,会给问题的研究带来方便.
知识点4平面向量的坐标表示
（1）向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个不共线单位向量、作为基底，
对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得，则把有序数对，叫做向量的坐标．记作，此式叫做向量的坐标表示，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，
注意：①对于，有且仅有一对实数与之对应
②两向量相等时，坐标一样
③，，
④从原点引出的向量的坐标就是点的坐标
（2）点的坐标与向量的坐标的关系
区别：①表示形式不同向量中间用等号连接，而点中间没有等号
②意义不同点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量.
联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
知识点5平面向量的坐标表示
（1）两个向量和（差）的坐标表示
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.
坐标表示：，则：
；
（2）任一向量的坐标
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
，，则.
（3）向量数乘的坐标表示
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
坐标表示:,则.
知识点6平面向量共线的坐标表示
设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得；
用坐标表示,可写为,即：
消去得到：.
这就是说,向量()共线的充要条件是.
知识点7平面向量数量积的坐标表示
在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
知识点8两个向量平行、垂直的坐标表示
已知非零向量，
（1）．
（2）
知识点9向量模的坐标表示
（1）向量模的坐标表示
若向量，由于，所以．
其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．
（2）两点间的距离公式
已知原点，点，则，于是．
其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离．
（3）向量的单位向量的坐标表示
设，表示方向上的单位向量
知识点10两向量夹角余弦的坐标表示
已知非零向量，是与的夹角，则．
考点一：用基底表示向量
例1．（24-25高三上·陕西汉中·期中）如图，在中，，则（ ）

A．B．
C．D．
【变式1-1】（2024高三·全国·专题练习）在△ABC中，点D为AB的中点，记，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（23-24高一下·福建福州·期末）在平行四边形中，是的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（23-24高一下·湖北武汉·期末）平行四边形ABCD中，点M是线段BC的中点，N是线段CD的中点，则向量为（ ）
A．B．
C．D．
考点二：根据平面向量基本定理求参数
例2.（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）在中，D为边的中点，E，F分别为边，上的点，且，，若，，则值为（ ）
A．1B．C．3D．5
【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2025高三·全国·专题练习）在三角形OAB中，点为边AB上的一点，且，点为直线OP上的任意一点(与点和点不重合)，且满足，则 .
【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，点D，E分别在，上，且，，若，则 ．
考点三：平面向量正交分解及坐标表示
例3.（2024高一下·全国·专题练习）如图，向量，，的坐标分别是 ， ， .
【变式3-1】（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）若向量，则对应的位置向量的终点坐标是 ．
【变式3-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标.
考点四：平面向量坐标运算
例4.（2024·山东·一模）已知向量，若，则向量的坐标为（ ）
A．B．-1,1
C．D．
【变式4-1】（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）若，则的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（23-24高一下·新疆·期中）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（23-24高一下·广西南宁·期末）已知向量，，若满足，则 ．
考点五：根据坐标求模运算
例5.（23-24高一·上海·课堂例题）已知向量，，求的坐标及．
【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式5-2】（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）平面内给定两个向量.
(1)求；
(2)求.
【变式5-3】（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知向量，，则 ．
考点六：平面向量数量积的坐标表示
例6.（24-25高三上·广东深圳·期中）设，，，则（ ）
A．B．1C．D．
【变式6-1】（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）向量，，则 （ ）
A．B．0C．D．1
【变式6-2】（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知平面向量，则（ ）
A．2B．10C．D．
【变式6-3】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，则 ．
考点七：向量垂直的坐标表示
例7.（24-25高三上·浙江·开学考试）已知向量，若，则（ ）
A．1B．2C．D．
【变式7-1】（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知向量，，且，则（ ）
A．2B．C．2或D．2或
【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，．若，则 ．
【变式7-3】（24-25高三上·安徽·期中）已知平面向量，满足，则 ．
考点八：向量投影
例8.（23-24高二下·河北石家庄·期末）设向量，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】（24-25高二上·陕西·期中）已知向量，满足，且，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（23-24高一下·河北·期末）已知是夹角为的单位向量，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-3】（24-25高三上·辽宁·期中）已知向量，，则在方向的投影向量为 .
考点9：向量夹角
例9.（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）已知向量.
(1)求与;
(2)求与的夹角的余弦值.
【变式9-1】（24-25高二上·云南昭通·期中）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式9-2】（23-24高三上·贵州黔东南·开学考试）已知向量，，则向量与夹角的余弦值为 ．
【变式9-3】（23-24高一下·吉林·期末）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 .
【变式9-4】（2024高二下·湖北）已知平面内两个向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ．
考点10：向量数量积的最值范围问题
例10.（23-24高一下·浙江台州·期末）已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式10-1】（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-2】（23-24高一下·上海·期中）如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 .
一、单选题
1．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）设向量.若，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）若，则的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·吉林·期中）已知，，则（ ）
A．B．2C．D．10
4．（24-25高三上·海南·阶段练习）已知向量，，，若与平行，则实数的值为（ ）
A．B．C．1D．3
5．（2024高二下·安徽·学业考试）已知，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·广东·模拟预测）已知向量，若，则实数的值为（ ）
A．4B．或1C．D．4或
8．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知点、、，其中，则（ ）
A．若、、三点共线，则B．若，则
C．若，则D．当时，
10．（2024·江西·一模）已知向量，，则（ ）
A．若，则B．若，共线，则
C．不可能是单位向量D．若，则
11．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）设向量，则下列说法错误的是（ ）
A．若与的夹角为钝角，则
B．的最小值为9
C．与共线的单位向量只有一个，为
D．若，则
三、填空题
12．（浙江省杭州市S9联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题）已知，，向量与垂直，则实数的值为 .
13．（24-25高三上·上海·期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ．
14．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为 ．
15．（24-25高三上·上海松江·期中）已知向量，则在方向上的数量投影为 ．
16．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知向量与的夹角为，，，则 .
四、解答题
17．（23-24高一下·江苏·期末）已知平面向量，且.
(1)求与的夹角的值；
(2)当取得最小值时，求实数的值.
18．（21-22高一下·天津·阶段练习）已知向量，，，且.
(1)求实数m的值；
(2)求；
(3)求向量与的夹角.
19．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知向量在同一平面上，且.
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若，且与垂直，求实数的值.
20．（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）已知向量的夹角为．
(1)求；
(2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐标系，更应该学会用基底表示平面向量
2．会利用坐标法，理解和掌握两个向量是否共线的判断.
3．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算；