第06讲 第六章 平面向量及其应用 章节综合训练卷-【寒假提升课】2025年高一数学寒假提升试题（人教A版2019）

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1．（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】平面向量的混合运算
【分析】利用向量加减法则计算即得.
【详解】.
故选：A.
2．已知向量与共线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数
【分析】根据共线向量的坐标表示即可求解
【详解】因为共线，
所以，解得，
所以，
所以.
故选：B
3．已知空间向量和的夹角为，且，，则等于（ ）
A．12B．8C．4D．14
【答案】D
【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律
【分析】根据数量积的运算律，结合定义即可求解.
【详解】,
故选：D
4．已知向量，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】正、余弦齐次式的计算、数量积的坐标表示
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示可得，进而代入计算即可.
【详解】由，得，则，
所以.
故选：B.
5．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形
【分析】由正弦定理角化边，再由余弦定理求，可得角.
【详解】由，根据正弦定理有，
所以，有，
根据余弦定理，有，由，所以．
故选：C.
6．已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】A
【知识点】数量积的运算律、向量在几何中的其他应用
【分析】由，可得，即可判断的形状.
【详解】因为，即，即，
所以，所以是等腰三角形.
故选：A.
7．如图，在梯形中，在线段上，.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量基本定理的应用
【分析】设，根据平面向量的线性运算可得，结合平面向量基本定理可得，即可得结果.
【详解】由题意可设，
则，
又因为，且，不共线，
可得，解得，即，
所以，即.
故选：D.
8．已知，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】由余弦定理得，平方关系求出，再利用面积公式可得答案.
【详解】由余弦定理得，
因为，所以，
可得.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则与的夹角为锐角
【答案】AD
【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、向量夹角的坐标表示
【分析】根据垂直和平行满足的坐标关系即可求解AB，根据模长公式即可求解C，根据夹角公式即可求解D.
【详解】A选项，，，，A选项正确.
B选项，，，B选项错误.
C选项，时 ，，，，C选项错误.
D选项，当x=1时，由上可知向量不共线，且，
所以，所以为锐角，D选项正确.
故选：AD
10．在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则有两解
C．若，则为锐角三角形
D．若，则为等腰三角形或直角三角形
【答案】ACD
【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状
【分析】利用正、余弦定理对每项逐一判断即可得解．
【详解】对于A，，则，由正弦定理可得，
，故A正确；
对于B，由正弦定理，
，此时无解，故B错误；
对于C，，又且，
，可知，，均为锐角，故为锐角三角形，故C正确；
对于D：，，
，，
，或，若，，则，
所以为等腰三角形或直角三角形，故D正确．
故选：ACD．
11．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若，，则面积最大值为3
D．，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12
【答案】BCD
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、二倍角的正弦公式、余弦定理解三角形
【分析】根据正弦定理和二倍角公式即可判断AB；对C，利用余弦定理和二次函数性质即可判断；对D，根据三角形面积公式和乘“1”法即可判断.
【详解】对于A：若，根据正弦定理则，
即，因为，所以或
即或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误；
对B，因为，则，，
则根据正弦定理有， 故B正确；
对C，设，.
则，
，
所以
，
当时，三角形的面积取得最大值，故C正确；
对D，由题意可知，，
由角平分线性质和三角形面积公式得，
化简得，即，
因此，
当且仅当，即时取等号，即的最小值为，则D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，，向量与垂直，则实数的值为 .
【答案】
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用向量垂直求参数、向量垂直的坐标表示
【分析】利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式求解即可.
【详解】向量，，则，，
由向量与垂直，得，所以.
故答案为：
13．在中，内角，，的对边分别为，，，满足，，，则 .
【答案】2
【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形
【分析】先由二倍角公式和余弦定理得，从而解得.
【详解】根据题意，，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理，，
即解得或（舍），
所以.
故答案为：2
14．在平行四边形中，，，点在边上，满足，若，点分别为线段上的动点，满足，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】数量积的坐标表示
【分析】以为原点建立平面直角坐标系，由求出点坐标，设出的长，由此得到的长，从而求出点的坐标，然后表示出向量，，求得的表达式，由二次函数的性质得出最小值.
【详解】若，则，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
设，则，所以，
∵，，∴，
∵，∴
所以，，
所以，是关于的开口向上，对称轴为的二次函数，当时，取得最小值.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知向量在同一平面上，且.
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若，且与垂直，求实数的值.
【答案】(1)或
(2)
【知识点】由向量共线（平行）求参数、利用向量垂直求参数、向量模的坐标表示
【分析】（1）设，利用平面向量的模长公式可求得实数的值，即可得出向量的坐标；
（2）求出向量、的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【详解】（1）因为，设，其中，
则，解得，
因此，或.
（2）因为，则，
，
因为，则，
解得.
16．已知平面向量，且.
(1)求与的夹角的值；
(2)当取得最小值时，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、已知数量积求模
【分析】（1）根据题设条件得到，然后利用数量积的定义求夹角；
（2）将表示为的函数，然后求该函数的最小值.
【详解】（1）由，可得，
又，所以，又，所以；
（2）因为，
所以.
所以的最小值为，且取到最小值时.
17．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的周长为．
(1)求；
(2)若的平分线交于点，且，求的边上的高．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）依题意可得，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）利用三角形面积之间的关系得到与的关系，即可求出的值，即可求出，再由等面积法计算可得.
【详解】（1）由题意可知，，
由正弦定理可知，，
即，
整理得，．
由余弦定理可知，．
又，故．
（2）由，得，
所以，
又，所以，
由，且，得，
解得或（舍去），
所以．
设的边上的高为，则，解得．
故的边上的高为．
18．已知分别为三个内角的对边，且
(1)求；
(2)若，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差公式求解即可；
（2）利用正弦定理结合两角和差公式求解即可.
【详解】（1）在中，，
由正弦定理得，
，
，
且，
即.
（2）且，
.
由正弦定理得，
的周长为.
19．在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，当不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为当共线时，规定．
(1)分别根据下列已知条件求；
①；
②；
(2)若向量，求证：；
(3)记，且满足，求的最大值.
【答案】(1)5；0
(2)证明见解析
(3)
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、数量积的坐标表示
【分析】（1）由题意，根据新定义即可求解；
（2）由新定义可证得，，即可证明；
（3）设，并表示出，由新定义和三角恒等变换化简计算可得，结合正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）因为，，且，
所以；
又，，所以；
（2）因为向量，且向量，
则，
所以，
同理，
所以；
（3）设为锐角时，由，得或，
当为锐角，为锐角时，
当时，取到最大值；
当为钝角时，由，得，
当为钝角，，
，
当，即时，取得最大值，
所以取得最大值.
【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是平面向量的数量积的坐标表示.