第08讲 复数的四则运算-【寒假提升课】2025年高一数学寒假提升试题（人教A版2019）

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知识点1 复数代数形式的加法运算及其几何意义
（1）复数的加法法则
设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：
显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数加法满足的运算律
对任意，有
交换律：
结合律：
（3）复数加法的几何意义
如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：
，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行.
知识点2 复数代数形式的减法运算及其几何意义
（1）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作
注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
（2）复数减法的几何意义
复数 向量
知识点3 ()的几何意义
在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离.
知识点4 复数代数形式的乘法运算
（1）复数的乘法法则
我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为
，
即
（2）复数乘法满足的运算律
复数乘法的交换律、结合律、分配律
(交换律)
(结合律)
(分配律)
知识点5 复数代数形式的乘方
（1）复数的乘方
复数的乘方就是相同复数的乘积
（2）复数乘方的运算律
根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的，，有：
①
②
③
知识点03：共轭复数的性质
设，（）
①；②为实数；③且为纯虚数
④；⑤，，
知识点6 复数代数形式的除法运算
（1）定义
规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或
（2）复数的除法法则
（）
由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.
考点一：复数加，减运算
例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】复数加减法的代数运算
【分析】（1）利用复数的四则运算法则求解即可.
（2）利用复数的四则运算法则求解即可.
（3）利用复数的四则运算法则求解即可.
【详解】（1）
.
（2）
.
（3）
.
【变式1-1】（2024高一下·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】复数加减法的代数运算
【分析】根据题意由复数的加减法运算法则，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
【变式1-2】（23-24高一下·全国·课堂例题）计算：
(1)；
(2)；
(3)..．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】复数加减法的代数运算
【分析】根据题意由复数的加减法运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）原式
（2）原式
（3）原式
【变式1-3】（2024高一下·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算
【分析】（1）（2）（3）（4）根据复数的加减法法则直接求解即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）
；
（4）
.
考点二：根据复数加、减运算结果求参数
例2.（23-24高一下·全国·课后作业）已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝ ，y＝ .
【答案】 6 11
【知识点】复数加减法的代数运算、复数的相等、根据复数的加减运算结果求参数、根据相等条件求参数
【分析】利用复数的加减运算以及复数相等的概念计算求解.
【详解】因为(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，
所以x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i，
∴，解得.
故答案为：6，11.
【变式2-1】（23-24高一下·山东·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】复数的相等、根据复数的加减运算结果求参数
【分析】根据复数的四则运算求解对应参数即可
【详解】由，得：，解得：.
故选：A
【变式2-2】（多选）（2024·福建漳州·一模）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【知识点】根据复数的加减运算结果求参数、复数的相等
【分析】根据复数的加法结合复数相等求，进而逐项分析判断.
【详解】由题意可得：，
则，解得，可得，
故BCD正确，A错误.
故选：BCD.
【变式2-3】（23-24高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知，，为实数，若，求
【答案】.
【知识点】复数的相等、根据复数的加减运算结果求参数、求复数的模
【分析】先化简，再利用复数相等可求出，从而得到，再用复数的模长公式求解即可
【详解】
，
所以，
解得， ，
所以，，
则，所以．
考点三：复数乘除法运算
例3.（24-25高三上·河北石家庄·期中）已知复数，则的虚部为（ ）
A．1B．1C．2D．2
【答案】C
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的实部与虚部
【分析】根据复数的除法运算法则，计算出复数的值，然后求出复数的共轭复数，最后写出的虚部即可.
【详解】，
所以，所以的虚部为.
故选：C
【变式3-1】（2024高二下·安徽·学业考试）已知为虚数单位，，则实数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的相等
【分析】化简方程可得，由此可求.
【详解】因为，即，
可得，所以.
故选：C.
【变式3-2】（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知为虚数单位，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】复数加减法的代数运算、复数的除法运算
【分析】利用复数的运算法则计算即可得到结果.
【详解】由得，，
故.
故选：A.
【变式3-3】（23-24高三下·浙江杭州·期中）已知复数，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】根据共轭复数的模的性质求解即可.
【详解】，
故选：B
考点四：复数乘方运算
例4.（24-25高一上·浙江杭州·期中）设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的乘方、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而求解其共轭复数，最后求出对应点的坐标即可得解.
【详解】由题意，所以，
则复数在复平面内对应的点在第四象限.
故选：D.
【变式4-1】（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）若复数z满足，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【知识点】求复数的模、复数的除法运算、复数的乘方
【分析】利用复数的乘方及除法运算求出复数，再利用复数模的意义求解.
【详解】由，得，
所以.
故选：D
【变式4-2】（2024高三·全国·专题练习）= .
【答案】
【知识点】复数的乘方
【分析】根据的周期性进行求值计算.
【详解】观察原式
．
故答案为：
【变式4-3】（24-25高三上·江苏南通·期中）已知为虚数单位，复数满足，则 ．
【答案】
【知识点】求复数的模、复数的除法运算、复数的乘方
【分析】利用复数的乘方及除法运算求出复数，进而求出其模.
【详解】由，得，即，
则，
所以.
故答案为：
考点五：共轭复数计算
例5.（24-25高三上·上海·期中）设为虚数单位，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
【详解】，
故．
故选：D．
【变式5-1】（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，从而求出其共轭复数.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：A
【变式5-2】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】依题意可得，根据复数代数形式的除法运算化简，从而求出其共轭复数.
【详解】因为，所以，
则，
所以.
故选：D
【变式5-3】（24-25高三上·四川·期中）已知复数，为的共轭复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的概念可得结果.
【详解】因为，则，因此，的虚部为.
故选：A.
考点六：根据复数乘除法运算结果求参数
例6-1.（2024·全国·模拟预测）已知（，为虚数单位），则（ ）
A．B．3C．1D．2
【答案】B
【知识点】根据除法运算结果求参数、复数的相等
【分析】根据复数的四则运算、复数相等的概念即可求得的值，可得结果.
【详解】由，
可得，，
因此．
故选：B．
例6-2.（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知复数，其中为虚数单位．
(1)若是纯虚数，求实数的值；
(2)若，设，试求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算、根据除法运算结果求参数
【分析】（1）根据纯虚数的定义求解即可；
（2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可.
【详解】（1）由题意可得：，且，
解得，
所以的值为；
（2）若m＝2，则，
所以，
所以，，
所以.
【变式6-1】（2024·海南·模拟预测）已知复数z满足，，则z为实数的一个充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据充分不必要条件求参数、充分条件的判定及性质、已知复数的类型求参数、根据复数乘法运算结果求参数
【分析】首先，设，代入化简后，利用等式两边相等，即可求得a，再根据充分条件的概念即可得出答案.
【详解】解：若z为实数，则设，
已知，可得，即，
所以，解得，
z为实数的一个充分条件是或，
故选：C.
【变式6-2】（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知a，b均为实数，，则 .
【答案】21
【知识点】根据复数乘法运算结果求参数、复数的相等
【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.
【详解】根据可得到，
故，，求得，
所以.
故答案为：21
【变式6-3】（23-24高一下·广西·阶段练习）已知，则的值为 ．
【答案】
【知识点】根据复数乘法运算结果求参数
【分析】根据复数模长的性质与计算求解即可.
【详解】，则，解得，因为，所以．
故答案为：4
【变式6-4】（2024·湖南·模拟预测）已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ．
【答案】
【知识点】根据除法运算结果求参数
【分析】计算出，从而求出，以及的值.
【详解】因为，
所以，，
所以，
故答案为：.
一、单选题
1．（24-25高三上·北京·阶段练习）在复平面内，复数满足，则复数对应的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算
【分析】先根据复数的除法运算计算出，然后根据的实虚部可知对应的点的坐标.
【详解】因为，所以对应的点的坐标是，
故选：A.
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的几何意义得答案．
【详解】∵，
由复数与对应的点关于虚轴对称，
∴．
故选：C.
3．（2024·广东·模拟预测）已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据复数的除法运算化简即可求解.
【详解】在复平面内对应的点为，
∴在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：A.
4．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若存在复数满足（为虚数单位），则 ．
【答案】0
【知识点】复数的相等、共轭复数的概念及计算
【分析】先设复数为,再应用共轭复数，结合复数项的相等求参.
【详解】设,则,
所以
所以,
即
故答案为：0.
5．（24-25高三上·四川自贡·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、复数的坐标表示、根据复数的坐标写出对应的复数
【分析】写出，利用复数的四则运算法则计算出，确定对应的点的坐标，得到答案.
【详解】由题意得，
则，
对应的点为，位于第三象限.
故选：C
6．（2024高三·全国·专题练习）已知复数z满足（i是虚数单位），则的值为（ ）
A．B．1C．D．2022
【答案】C
【知识点】复数的乘方、复数的除法运算
【分析】根据复数除法的几何意义，结合复数单位的平方性质、指数的运算性质行求解即可.
【详解】由已知可得，
因此，．
故选：C
7．（2024高三·全国·专题练习）已知复数z与复平面内的点对应，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】复数的除法运算、根据复数的坐标写出对应的复数
【分析】根据复数的几何意义可得，由复数的除法运算法则即可得结果.
【详解】由复数的几何意义可知，则．
故选：C.
8．（2024高三·全国·专题练习）已知复数满足，若复数z在复平面上对应的点在第二或第四象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数、在各象限内点对应复数的特征
【分析】利用复数的除法法则化简得的形式，再由复数对应点在第二或第四象限列不等式求解
【详解】由题可得，
，
因为复数z在复平面上对应的点在第二或第四象限，
故，
解得，
故选：A．
二、多选题
9．（24-25高二上·云南昆明·期中）关于复数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1为半径的圆
C．如果，那么是纯虚数
D．若复数满足，则在复平面对应的点是
【答案】ABD
【知识点】复数的乘方、复数的除法运算、与复数模相关的轨迹（图形）问题、判断复数对应的点所在的象限
【分析】运用复数幂的周期性可判断A项，运用复数的模的几何意义可判断B项 ，运用复数分类可判断C项，运用复数运算及几何意义可判断D项.
【详解】对于A选项，由虚数单位的定义，，则，故A项正确；
对于B选项，设在复平面内的点为，由，即，点在以为圆心，1为半径的圆上，故B项正确；
对于C选项，若，那么是实数，故C项错误；
对于D选项，，所以在复平面对应的点是，故D项正确．
故选：ABD．
10．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知虚数是方程的两个不同的根，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【知识点】复数范围内方程的根、求复数的模、复数代数形式的乘法运算
【分析】解出方程的两个不同的根，逐项判断选项.
【详解】由，得，则，
则.
故选：AC
11．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知i是虚数单位，若，则（ ）
A．复数z的虚部为B．
C．复数z对应的点在第二象限D．
【答案】AD
【知识点】求复数的模、复数的除法运算、求复数的实部与虚部、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数虚部的定义、几何意义、共轭复数的定义以及复数模的运算公式逐一判断即可.
【详解】，
故其虚部为，．复数z对应的点为，在第四象限，
，
故选：AD
12．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知复数，，满足，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．
C．若，则D．
【答案】BD
【知识点】求复数的模、复数的除法运算、复数的向量表示
【分析】对选项A，设，，即可判断A；分类讨论复数对应向量方向相同和方向不相同即可判断B正确；对选项C，设，，即可判断C；对选项D，设，，，再分别计算和即可判断D.
【详解】对于选项A，设，，
则，，，不满足，故A错误；
对于选项B，设，在复平面内表示的向量分别为，，且，，
当，方向相同时，，
当，方向不相同时，，
综上，，，故B正确；
对于选项C，设，，，
，故C错误；
对于选项D，设，，，
，
则，
，故D正确．
故选：BD
三、填空题
13．（2024高三·全国·专题练习）复数，，若为实数，则 ．
【答案】
【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算
【分析】由复数的除法运算结合复数的几何意义求解即可；
【详解】∵，
∵为实数，∴，即．
故答案为：.
14．（2024高三·全国·专题练习）若，则 ．
【答案】
【知识点】复数的除法运算
【分析】根据复数的除法法则运算．
【详解】由题得．
故答案为：．
15．（24-25高三上·上海松江·期末）若复数满足（其中是虚数单位），则复数的共轭复数 ．
【答案】
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】利用复数的除法运算得到，根据共轭复数的定义即可得到结果.
【详解】由题意得，，
∴.
故答案为：.
四、解答题
16．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知复数，且为纯虚数.
(1)求复数；
(2)若复数，求复数的模.
【答案】(1)
(2)
【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算、求复数的模、共轭复数的概念及计算
【分析】（1）运用纯虚数概念，结合乘法计算即可；
（2）运用模长公式，结合除法和共轭复数知识求解.
【详解】（1）由题意得，
是纯虚数，
，
，
（2）
.
17．（23-24高一下·北京通州·期中）若复数满足，其中为虚数单位，其共轭复数为.
(1)求复数和；
(2)若，（，），求实数，的值.
【答案】(1)，；
(2).
【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的模、复数的除法运算、复数的相等
【分析】（1）利用复数除法运算求出，再求出复数的模.
（2）由（1）及复数乘法求出，再利用复数相等求解即得.
【详解】（1）由，得；.
（2）由（1）知，，则，
由，得，
所以.
18．（24-25高一下·全国·单元测试）已知
(1)是z的共轭复数，求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)0
(2)1
【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、复数的乘方
【分析】（1）求出，代入可得答案；
（2）求出，代入可得答案．
【详解】（1）由题意知，
；
（2），
．
．
19．（23-24高一下·广东佛山·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】复数加减法的代数运算、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算
【分析】（1）根据复数的加、减法运算求解；
（2）根据复数的乘法运算求解；
（3）根据复数的除法运算求解.
【详解】（1）由题意可得：.
（2）由题意可得：.
（3）由题意可得：.
20．（23-24高一下·广西北海·期末）（1）已知，复数是纯虚数，求的值；
（2）已知，设是虚数单位），求.
【答案】（1）；（2）
【知识点】求复数的模、复数的相等、复数代数形式的乘法运算、已知复数的类型求参数
【分析】（1）由纯虚数的概念列出方程组，求解即可；
（2）根据复数相等求出的值，再求模.
【详解】（1）因为复数是纯虚数，
所以 ，
解得 ；
（2） 因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则
2．掌握复数代数形式的乘法和除法运算
3．逐步加强理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律