第10讲 立体图形直观图-【寒假提升课】2025年高一数学寒假提升试题（人教A版2019）

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知识点 1 空间几何体的直观图
（1）空间几何体的直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.
直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.
（2）水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法）
（1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或）
（2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段.
（3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半.
（4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图.
方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有.
知识点2 空间几何体的直观图的绘制方法
（1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面；
（2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；
（3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；
（4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.
知识点3斜二测画法保留了原图形中的三个性质
①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．
考点一：画水平放置的平面图形直观图
例1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在中，，边上的高．
(1)画出水平放置的的直观图；
(2)求直观图的面积．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测法画平面图形的直观图
【分析】（1）利用斜二测画法画出直观图即可；
（2）作，为垂足，求出即可求解．
【详解】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①，
②画出对应的，轴，使，
在轴上取点，，使，，
在轴上取点，使，
连接，，则即为的直观图，如图②．
（2）在图②中，作，为垂足，
，，
，
．
【变式1-1】（23-24高一下·天津·阶段练习）利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】斜二测法画平面图形的直观图
【分析】利用斜二测画法作出直观图，可得结果.
【详解】作出正方形的斜二测直观图如下图所示（单位：）：

故选：C.
【变式1-2】（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的作法可能正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】斜二测画法辨析、斜二测法画平面图形的直观图
【分析】根据斜二测画法的规则，即可得出结论.
【详解】斜二侧画直观图时，平行或与x轴重合的线段长度不变，则长度不变，
平行或与y轴重合的线段长度减半，则减掉一半，线段对应线段也会缩小，
如图所示：
所以的对应点画对了,的对应点画错了.
故选：C.
【变式1-3】（2024高一·江苏·专题练习）画水平放置的直角梯形（如图所示）的直观图．

【答案】作图见解析
【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、斜二测画法辨析
【分析】根据斜二测画法的步骤，即可作出直观图.
【详解】（1）在已知的直角梯形中，以底边所在直线为轴，
垂直于的腰所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图①所示．
（2）画相应的轴和轴，使，在轴上截取，
在轴上截取，过点作轴的平行线，
在上沿轴正方向取点使得.连接，如图②.
（3）所得四边形就是直角梯形的直观图．如图③.

考点二：由直观图还原成原图
例2.（24-25高二上·山东济南·阶段练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，求原来图形的面积.

【答案】
【知识点】由直观图还原几何图形
【分析】利用斜二测画法性质还原出原图形即可得出原图形面积.
【详解】根据斜二测画法可知正方形的对角线长为，
画出原图形如下图所示：

原图为两直角边分别为的直角三角形组成的平行四边形，
所以原来图形的面积为.
【变式2-1】（23-24高一下·黑龙江·期中）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（ ）
B．
C．D．
【答案】A
【知识点】由直观图还原几何图形
【分析】根据斜二测画法的规则进行判断.
【详解】由斜二测画法的规则，与轴平行的线段长度不变，
注意到正方形的对角线在轴上，对角线长为，
经过斜二测画法后对角线会变为原来的一半，
故原图的对角线长是，只有A符合题意.
故选：A
【变式2-2】（23-24高一下·湖南·阶段练习）把按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么是一个（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．三边互不相等的三角形
【答案】A
【知识点】由直观图还原几何图形
【分析】根据斜二侧画法还原在直角坐标系的图形，进而分析出的形状．
【详解】根据斜二侧画法还原在直角坐标系的图形，如下图所示：
由图得，，故为等边三角形，
故选：A
【变式2-3】（23-24高一下·天津河北·期中）如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】由直观图还原几何图形
【分析】由斜二测画法的规则可知：平行于轴的线在原图中平行于轴，且长度不变，作出原图，即可选出答案．
【详解】设直观图中与轴和轴的交点分别为和，
根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的和点，
再由平行于轴的线在原图中平行于轴，且长度不变，
作出原图得四边形
故选：B．
【点睛】
考点三：画简单几何体的直观图
例3.（2024高三·全国·专题练习）画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm）
【答案】答案见解析
【知识点】斜二测法画立体图形的直观图
【分析】根据斜二测画法绘制正六棱柱的直观图即可.
【详解】（1）画轴．画轴、轴、轴，使，．
（2）画底面．根据轴、轴，画正六边形的直观图ABCDEF．
（3）画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作轴的平行线，
在这些平行线上分别截取、、、、、都等于1.5 cm.
（4）成图．顺次连接，，，，，，去掉辅助线，
将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图．
【变式3-1】（23-24高一·全国·课后作业）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图．
【答案】画图见解析
【知识点】斜二测法画立体图形的直观图
【分析】由斜二测画法的规则画出直观图即可.
【详解】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形．
①画轴，如图，画轴，轴，轴，三轴相交于点，使,
.
②画底面，在轴正半轴上取线段，使，在轴正半轴上取线段，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它们的交点为，则就是长方体的底面的直观图.
③分别过点B、C、D作，，，且．
③连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示．

【变式3-2】（2024高一·全国·专题练习）用斜二测画法画出六棱锥P﹣ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O（尺寸自定）.
【答案】直观图见解析
【知识点】斜二测法画立体图形的直观图
【分析】根据斜二测画法法则画出图形即可.
【详解】设正六边形ABCDEF的边长为2cm，六棱锥的高为2cm，则正六边形的高为cm.
①以CF的中点O为原点，CF所在的直线为x轴，画y轴，使∠xOy＝45°，再作Oz⊥平面xOy；
②在x轴上取OC＝OF＝2cm，在y轴上分别取M、N两点，使OM＝ONcm，
过点M作AB∥x轴，且AM＝BM＝1cm，
过点N作DE∥x轴，且NE＝ND＝1cm，在z轴上取OP＝2cm；
③连结BC、DE、EF、FA、PA、PB、PC、PD、PE、PF，所得六棱锥P﹣ABCDEF即为所求.
考点四：求直观图的长度和面积
例4.（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测法画平面图形的直观图
【分析】根据直观图与原图的关系，可确定直观图（三角形）的底和高，从而求得直观图的面积，得出答案.
【详解】
如图所示，正三角形的边长为，则高为，
根据斜二测画法的知识，则直观图中三角形的高为，底边长为，
所以直观图的面积为.
故选：C.
【变式4-1】（23-24高一下·湖南岳阳·期末）正方形的边长等于2，用斜二测画法画出水平放置的正方形的直观图，则直观图的面积为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】D
【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测法画平面图形的直观图
【分析】根据斜二测画法及平行四边形面积公式可得答案.
【详解】由斜二测画法知直观图的面积，
故选：D.
【变式4-2】（23-24高一下·浙江台州·期末）用斜二测画法画水平放置的边长为1的正方形，所得直观图的周长为（ ）
A．4B．3C．D．2
【答案】B
【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测法画平面图形的直观图
【分析】画出直观图，结合斜二测画法线段关系得到直观图中相关的线段长度，即可得解.
【详解】如图平面正方形的边长为，
则直观图如下所示：
则，，，
所以直观图的周长为.
故选：B
【变式4-3】（23-24高一下·广西·期末）已知正方形的边长为2，它的水平放置的一个平面图形的直观图为（在轴上），则图形的面积是（ ）
A．4B．2C．D．1
【答案】C
【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测法画平面图形的直观图
【分析】根据题意，由斜二测画法分析直观图为平行四边形，求出其相邻边长，结合三角形的面积公式计算可得答案．
【详解】根据题意，平行四边形的底边长为2，另一边长为1，夹角为，
所以图形的面积为．
故选：C．
考点五：直观图还原和计算问题
例5.（多选）（2024高三·全国·专题练习）（多选）如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形
【分析】首先算出长度，再利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，从而判断各个选项正误.
【详解】如图所示，在直观图中，过作于，
.
又，
所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图：
那么有，故选项B正确；
又因为，故选项A､C错误；
而，故选项D正确.
故选：BD.
【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】斜二测画法中有关量的计算
【分析】由直观图作出直角梯形的平面图形，然后斜二测画法规则结合已知的数据可求得结果.
【详解】由直观图作出直角梯形的平面图形，如图.
按照斜二测画法规则，由，
得直角梯形中，，.
过作，交于，
则，
所以直角梯形边的长度为，
故选：B.
【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算
【分析】由斜二测画法画出圆图可得答案.
【详解】由斜二测画法规则知，正方形的原实际图形是平行四边形，
如图，其中，
因此有，
所以原图形的周长为.
故选：B.
【变式5-3】（24-25高一上·全国·期中）用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于y轴，平行于x轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】斜二测画法中有关量的计算
【分析】根据斜二测画法画法，结合题中条件求出各边边长，即可求出结果.
【详解】记四边形所对应的原四边形为四边形，
由题意可得，原四边形中，、都与轴平行，即四边形是直角梯形，
因为，四边形为等腰梯形，
所以，
所以，，，
因此，
所以原四边形的周长为.
故选：D
【变式5-4】（2024高三·全国·专题练习）如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为 .

【答案】
【知识点】斜二测画法中有关量的计算
【分析】根据斜二侧画法画平面图形的直观图的步骤，判断平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，再求出下底边长，代入梯形的面积公式计算即可．
【详解】平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，
平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，
梯形的下底边长为平面图形的面积.
故答案为：.
一、单选题
1．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（ ）
A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形
【答案】C
【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算
【分析】根据直观图与原图的关系直接可得解.
【详解】由直观图可知，，且，
所以直观图还原得，，
四边形为平行四边形，，
又，所以，
且，
所以，
则，
所以，故原图形为菱形，
故选：C.
2．（24-25高一下·全国·单元测试）如图所示是由斜二测画法得到的水平放置的三角形的直观图，点是的边的中点，，分别与轴，轴平行，则在原图中三条线段，，中（ ）
A．最长的是，最短的是B．最长的是，最短的是
C．最长的是，最短的是D．最长的是，最短的是
【答案】B
【知识点】由直观图还原几何图形
【分析】画出原图可得答案.
【详解】
如图，画出原图，
在原平面图形中，是钝角，
从而．
故选：B.
3．（23-24高一下·福建福州·期中）已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，则其平面图形的面积是（ ）
A．4B．C．D．8
【答案】A
【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算
【分析】根据直观图画出平面图形，求出相关线段的长度，即可求出平面图形的面积.
【详解】由直观图可得如下平面图形：
其中，，
所以.
故选：A
4．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是（ ）
A．B．4C．8D．
【答案】C
【知识点】斜二测画法中有关量的计算
【分析】根据斜二测画法作出的图象再求解即可.
【详解】由题意，作出的图象可得，且，故.
故选：C
5．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（ ）
A．20B．12C．D．
【答案】A
【知识点】斜二测画法中有关量的计算
【分析】根据题意，作出原图矩形，分析原图中的值进而计算可得答案.
【详解】根据题意，矩形中，，
则，如图：原图矩形中，，
，
，
则四边形的周长.
故选：A.
6．（23-24高一下·湖北荆州·阶段练习）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形.已知，，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．
C．四边形的周长为
D．四边形的面积为
【答案】B
【知识点】斜二测画法中有关量的计算
【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关.
【详解】还原平面图如下图，

对于A，根据斜二测画法可得，故A错误;
对于B，，，B正确;
对于C，过作交于点，则，
由勾股定理得，故四边形的周长为：
，即C错误；
对于D，四边形的面积为：，即D错误.
故选：B.
7．（23-24高一下·广东广州·期末）已知一个矩形较长边长为2用斜二测画法画出矩形的直观图是菱形，则直观图的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】斜二测画法中有关量的计算
【分析】根据直观图是菱形可得答案.
【详解】如图，是矩形的直观图，则，，，
所以的高为，
则直观图的面积为.
故选：A.
8．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）如图是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是（ ）
A．32B．16
C．8D．不同于ABC的答案
【答案】B
【知识点】斜二测画法中有关量的计算
【分析】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得.
【详解】由直观图可得如下平面图形：
其中，轴，且，
即的高为，所以.
故选：B
二、多选题
9．（23-24高一下·陕西安康·期中）关于斜二测画法，下列说法正确的是（ ）
A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行
B．若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为
C．一个梯形的直观图仍然是梯形
D．在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中不再垂直
【答案】ABC
【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测画法辨析
【分析】利用斜二测画法规则，逐项分析判断即可得解.
【详解】对于A，在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行，A正确；
对于B，若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为，B正确；
对于C，梯形平行的两边在直观图仍然平行，两腰不平行，在直观图仍然不平行，
因此一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确；
对于D，在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中可以垂直，
如正方体的直观图中，竖边与横边垂直，D错误.
故选：ABC

10．（24-25高一下·全国·课后作业）下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（ ）
A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的
C．画与直角坐标系对应的时，必须是
D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同
【答案】ABD
【知识点】斜二测画法辨析
【分析】根据直观图的画法规则逐个分析判断即可.
【详解】对于A，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变，所以A正确，
对于B，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的，所以B正确，
对于C，由直观图的画法规则，可知画与直角坐标系对应的时，为或，所以C错误，
对于D，由直观图的画法规则，可知在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同，所以D正确.
故选：ABD．
11．（23-24高一下·河南驻马店·期末）如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．四边形为等腰梯形D．四边形的周长为
【答案】BC
【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、斜二测画法中有关量的计算
【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关.
【详解】由题意可画出其直观图如下，
其中，故A错误，B正确；
过点分别作，垂足分别为点，
故，
，故，
则四边形为等腰梯形，故C正确；
故四边形的周长为，即D错误.
故选：BC.
12．（22-23高一下·黑龙江大庆·期中）如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）

A．是钝角三角形
B．的面积是的面积的倍
C．是等腰直角三角形
D．的周长是
【答案】CD
【知识点】斜二测画法中有关量的计算
【分析】求出的边长，计算出三角形的形状和周长，即可得出结论.
【详解】由题意，
在斜二测视图中，，
∴，
，，B错误.
∴在中，，
∴是的中线，，，
∴,
∵，
∴是等腰直角三角形，A错误，C正确，
，D正确，
故选：CD.
三、填空题
13．（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是 .

【答案】8
【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形
【分析】根据斜二测画法作出的图象再求解即可.
【详解】由题意，作出的图象如图，可得，，且，
故.

故答案为：8
14．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中．则原平面四边形OABC的面积为 ．
【答案】5
【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形
【分析】由题图及斜二测画法确定原四边形的形状，进而求其面积.
【详解】由斜二测画法，知原图形中，且，
所以原平面四边形OABC为直角梯形，面积为.
故答案为：5
15．（24-25高一上·上海·期中）的斜二测直观图如图所示，则的面积是 .

【答案】
【知识点】斜二测画法中有关量的计算、三角形面积公式及其应用
【分析】根据给定条件，结合斜二测画法规则，求出的底边及这边上的高即可计算得解.
【详解】依题意，由斜二测画法规则知，的底边，
边上的高，所以的面积是.
故答案为：.
16．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，矩形是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形是 ，其面积为 ．

【答案】 菱形
【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形
【分析】作出原图形，可知原图形为菱形，计算出的面积即可得解.
【详解】如图，在原图形中，

应有，又，
所以，
所以，故四边形是菱形．
.
故答案为：菱形，.
四、解答题
17．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，求原平面图形的周长．

【答案】
【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算
【分析】由斜二测画法的规则可还原原平面图形，即可由长度关系求解周长.
【详解】由题可知，，，∴．
还原直观图可得原平面图形，如图所示：

则，，，
∴，
∴原平面图形的周长为．
18．（23-24高一·全国·课后作业）用“斜二测”法画出边长为1cm的正六边形的直观图.
【答案】图见解析.
【知识点】斜二测法画平面图形的直观图
【分析】以正六边形的中心为原点建立直角坐标系，利用“斜二测”画法确定各个顶点位置即可画出其直观图.
【详解】如图：
以正六边形的中心为原点建立平面直角坐标系，
作轴和轴，使得，在轴上取，使得；
在轴上取，使得；
过分别作轴的平行线，且，
连接，从而得到正六边形ABCDEF的直观图．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．理解立体图形的直观图的画法
2．熟练运用掌握平面图形的斜二测画法，理解例题图形的斜二测画法要领