第11讲 空间几何体表面积与体积(思维导图+知识梳理+10类核心考点+过关测)-【寒假提升课】2025年高一数学寒假提升试题（人教A版2019）

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知识点 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）正方体、长方体的表面积
正方体、长方体的表面积就是各个面的面积的和
长、宽、高分别为的长方体的表面积：
棱长为的正方体的表面积：
.
（2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图
棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.如图:
棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成如图
棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成如图
（3）棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱的表面积：
棱锥的表面积：
棱台的表面积：
知识点2 棱柱、棱锥、棱台的体积
（1）棱柱的体积
①棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.
②棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即.
（2）棱锥的体积
①棱锥的高：锥体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.
②棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即理解.
（3）棱台的体积
①棱台的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长
②棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高)
知识点3 圆柱、圆锥、圆台的表面积
（1）圆柱的表面积
①圆柱的侧面积：
圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为.
②圆柱的表面积：
.
知识点4 圆锥的表面积
①圆锥的侧面积：
圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为
②圆锥的表面积：
知识点5 圆台的表面积
①圆台的侧面积：
圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为
②圆台的表面积：
知识点6圆柱、圆锥、圆台的体积
（1）圆柱的体积：
（2）圆锥的体积：
（3）圆台的体积：
知识点7球的表面积和体积
（1）球的表面积：
（2）球的体积:
考点一：棱柱的表面积
例1．（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知一个正六棱柱底面边长为，高为，则这个正六棱柱的侧面积为 .
【变式1-3】（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）已知底面为正方形的长方体底面边长为1，体对角线长为，则长方体的表面积为 .
考点二：棱柱的体积
例2.（2024·江苏苏州·一模）已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为 ．
【变式2-1】（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图（1），水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图（2），则容器中水面的高度是（ ）.
A．B．C．D．
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知在长方体中，，则该长方体体积的最大值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【变式2-3】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，设圆柱有一个内接棱柱（即棱柱的侧棱都是圆柱的母线，棱柱的两个底面分别在圆柱的两个底面内）．已知圆柱的体积是，棱柱的底面是边长为2的正三角形．求棱柱的体积．
考点三：棱锥的表面积
例3.（24-25高二·上海·课堂例题）侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（ ）
A．；B．；
C．；D．都不对．
【变式3-1】（24-25高一下·全国·随堂练习）若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（23-24高一下·北京昌平·期末）已知正四棱锥的底面边长为，高为，则它的侧面积为 .
【变式3-3】（24-25高二·上海·假期作业）三棱锥中，，，求该棱锥的表面积.
考点四：棱锥的体积
例4.（24-25高三上·山西大同·期中）已知四面体ABCD的顶点均在半径为3的球面上，若，则四面体ABCD体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（24-25高三上·河北承德·期中）在棱长为2的正四面体中，为棱AD上的动点，当最小时，三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2024高三·全国·专题练习）棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则三棱锥的体积为 .
【变式4-3】（2024高三·全国·专题练习）如图，在正四棱锥中，，，点，分别在棱，上运动，且满足，，其中，求三棱锥的最大体积.
考点五：棱台的表面积
例5.（23-24高一下·北京·阶段练习）已知某正六棱台的上、下底面边长为1和3，高为1，则其侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（ ）
A．20B．24C．D．
【变式5-2】（24-25高一下·全国·课后作业）若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的表面积为（ ）
A．50B．100C．248D．168
考点六：棱台的体积
例6.（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积与体积分别为（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-1】（2024·广东·模拟预测）现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为4km，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（24-25高二上·上海·期中）已知正四棱台两底面边长分别为20和10，侧面积为780，则其体积为 ．
【变式6-3】（24-25高三上·广东·开学考试）中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体，对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为 .
考点七：圆柱的表面积和体积
例7.（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，一个圆柱形的纸篓（有底无盖），它的母线长为40cm，底面的半径长为10cm．

(1)求纸篓的面积；
(2)求该纸篓的表面积．
【变式7-1】（24-25高二上·上海·阶段练习）若圆柱的高为10，底面积为，则这个圆柱的侧面积为 .
【变式7-2】（24-25高三上·天津·期中）已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】（23-24高一下·四川成都·期末）如图，圆锥的底面直径和高均为，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为（ ）
A．B．24?C．D．
考点八：圆锥的表面积和体积
例8.（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆柱和圆锥的高相等，侧面积相等，且它们的底面半径均为2，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】（24-25高三上·宁夏·期中）若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（23-24高三上·北京房山·期中）以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-3】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）若一个圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥表面积为（ ）
A．B．C．D．
考点九：圆台的表面积和体积
例9.（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）如图，将底面半径为1高为3的圆锥截去体积为的锥尖，剩余圆台的侧面积为（ ）

A．B．C．D．
【变式9-1】（24-25高二上·浙江·期中）把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为（ ）
A．1B．C．2D．
【变式9-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆台的上､下底面半径分别为和，母线长为，则圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-3】（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 .
考点十：球的表面积和体积
例10.（2024高三·全国·专题练习）如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ）
A．B．C．D．
【变式10-1】（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知球的表面积为，则该球的体积是（ ）cm³
A．64πB．144πC．288πD．216π
【变式10-2】（23-24高一下·浙江·期中）已知轴截面是正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的表面积与球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-3】（24-25高二上·四川资阳·阶段练习）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为 .
一、单选题
1．（24-25高三上·浙江·期中）已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二上·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·上海·期中）已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．3
4．（23-24高一下·江苏·期末）若底面半径为，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高二上·贵州·期中）已知某圆锥的底面半径和球的半径都为，且它们的体积相等，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024高三·全国·专题练习）一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024高三·全国·专题练习）斗不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，其可近似看作正四棱台，现制作一上底面的面积为81平方分米，侧面积为120平方分米，侧高为5分米的米斗，若斗面的厚度忽略不计，则该斗可以装米（1立方分米1升）（ ）
A．39升B．156升C．201升D．210升
二、多选题
9．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（ ）
A．圆台的母线长为B．圆台的体积为
C．圆台的表面积为D．球的表面积为
10．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ）
A．圆锥的体积是B．圆锥侧面展开图的圆心角是
C．该圆锥的轴截面的面积是8D．圆锥侧面积是
三、填空题
11．（24-25高二上·上海·阶段练习）表面积为 的球的体积是 .
12．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知某圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为 .
13．（2024高三·全国·专题练习）已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为 .
14．（2024高三·全国·专题练习）已知圆柱与圆锥的高均为3，底面半径均相等，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等，则圆锥的体积为 ．
四、解答题
15．（24-25高二上·上海·阶段练习）一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积.
16．（24-25高二上·上海·期中）我们生活中常以多少毫米降雨量来描述雨势的大小，例如：降雨量10毫米的实际意义为本次降雨过程平地上每平方米的平均水深为10毫米．这种计量方式源远流长，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中有天池测雨一题：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸、深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？
(1)试说明秦九韶认为不能直接用盆里的水深来代替平地水深的原因；
(2)该盆的容积为多少立方寸？（注：径指直径，盆视为一个圆台，一尺等于十寸）
(3)题中记载八百年前的这次降雨过程折算到现代为多少毫米的降雨量．（精确到1毫米，宋代一寸约为现代31.2毫米）
17．（24-25高二上·上海·期中）如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为．
(1)若，求水的体积；
(2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01）模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．柱、锥、台的侧面积和体积
2．是圆柱、圆锥、圆台及球的表面积和体积公式及其应用