高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换5.5.2 简单的三角恒等变换同步训练题

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1.函数y＝3sin 4x＋eq \r(3)cs 4x的最大值是( )
A.eq \r(3) B.2eq \r(3) C.3 D.6
答案 B
解析 y＝3sin 4x＋eq \r(3)cs 4x＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 4x＋\f(1,2)cs 4x))＝2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6)))，
∴ymax＝2eq \r(3)，故选B.
2.已知sin 2α＝eq \f(1,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝( )
A.－eq \f(1,3) B.－eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
答案 D
解析 cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,2))),2)＝eq \f(1＋sin 2α,2)＝eq \f(1＋\f(1,3),2)＝eq \f(2,3).
3.在△ABC中，若sin Asin B＝cs2eq \f(C,2)，则△ABC是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形
答案 B
解析 sin Asin B＝eq \f(1,2)(1＋cs C)，即2sin Asin B＝1＋cs C，∴2sin Asin B＝1－cs Acs B＋sin Asin B，故得cs(A－B)＝1，又因为A－B∈(－π，π)，∴A－B＝0，即A＝B，则△ABC是等腰三角形.
4.已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs α＝eq \f(2,5)eq \r(5)，则tan eq \f(α,2)等于( )
A．2－eq \r(5) B．2＋eq \r(5) C.eq \r(5)－2 D．±(eq \r(5)－2)
答案 C
解析 方法一 ∵sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs α＝eq \f(2\r(5),5)，∴tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \r(5)－2.
方法二 因为sin α＝eq \f(\r(5),5)>0，cs α＝eq \f(2,5)eq \r(5)>0，所以α的终边落在第一象限，eq \f(α,2)的终边落在第一或第三象限，
所以tan eq \f(α,2)>0，故tan eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝eq \r(\f(1－\f(2\r(5),5),1＋\f(2\r(5),5)))＝eq \r(5)－2.
5.已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3)
答案 B
解析 sin α＝eq \f(\r(5),5)，且α为锐角，则cs α＝eq \f(2\r(5),5)，tan α＝eq \f(1,2)，所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\f(1,2)－3,1－\f(1,2)×（－3）)＝－1.又α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，故α＋β＝eq \f(3π,4).
二.多选题
6.下列式子结果为eq \r(3)的是( )
A.tan 25°＋tan 35°＋eq \r(3)tan 25°tan 35°；B.2(sin 35°cs 25°＋cs 35°·cs 65°)；
C.eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)； D.eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°).
答案ABC
解析 对于①利用正切的变形公式可得原式＝eq \r(3)；对于②原式可化为2(sin 35°cs 25°＋cs 35°sin 25°)＝2sin 60°＝eq \r(3).
对于③原式＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°tan 15°)＝tan 60°＝eq \r(3). 对于④原式＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，故选C.
7.已知函数f(x)＝sin xcs x＋sin2x，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最大值为2 B．f(x)的最小正周期为π C．f(x)关于x＝－eq \f(π,8)对称 D．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上单调递增
答案 BCD
解析 ∵f(x)＝eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(1－cs 2x,2)＝eq \f(1,2)(sin 2x－cs 2x)＋eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋eq \f(1,2).∴f(x)max＝eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2)＋1,2)，最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.当x＝－eq \f(π,8)时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＝－1，∴x＝－eq \f(π,8)为对称轴．当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))时，2x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上单调递增，综上有BCD正确，A不正确．
三.填空题
8.若θ是第二象限角，且25sin2θ＋sin θ－24＝0，则cs eq \f(θ,2)＝________.
答案 ±eq \f(3,5)
解析 由25sin2θ＋sin θ－24＝0，又θ是第二象限角，得sin θ＝eq \f(24,25)或sin θ＝－1(舍去).
故cs θ＝－eq \r(1－sin2θ)＝－eq \f(7,25)，由cs2eq \f(θ,2)＝eq \f(1＋cs θ,2)得cs2eq \f(θ,2)＝eq \f(9,25).又eq \f(θ,2)是第一、三象限角，所以cs eq \f(θ,2)＝±eq \f(3,5).
9.已知eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
答案 eq \f(4,3)
解析 由条件知eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝3，则tan α＝2.因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2.故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝eq \f(tan（β－α）－tan α,1＋tan（β－α）tan α)＝eq \f(－2－2,1＋（－2）×2)＝eq \f(4,3).
10.化简：tan 70°cs 10°(eq \r(3)tan 20°－1)＝________.
答案 －1
解析 原式＝eq \f(sin 70°,cs 70°)·cs 10°·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)\f(sin 20°,cs 20°)－1))＝eq \f(sin 70°,cs 70°)·cs 10°·eq \f(\r(3)sin 20°－cs 20°,cs 20°)＝eq \f(sin 70°,cs 70°)·cs 10°·eq \f(2sin－10°,cs 20°)
＝－eq \f(sin 70°,cs 70°)·eq \f(sin 20°,cs 20°)＝－1.
四.解答题
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs A＝eq \f(a·cs B－b,a－b·cs B)，求证eq \f(tan2\f(A,2),tan2\f(B,2))＝eq \f(a＋b,a－b).
证明 因为cs A＝eq \f(a·cs B－b,a－b·cs B)，所以1－cs A＝eq \f(（a＋b）·（1－cs B）,a－b·cs B)，
1＋cs A＝eq \f(（a－b）·（1＋cs B）,a－b·cs B)，所以eq \f(1－cs A,1＋cs A)＝eq \f(（a＋b）·（1－cs B）,（a－b）·（1＋cs B）)，
而eq \f(1－cs A,1＋cs A)＝eq \f(2sin2\f(A,2),2cs2\f(A,2))＝tan2eq \f(A,2)，eq \f(1－cs B,1＋cs B)＝eq \f(2sin2\f(B,2),2cs2\f(B,2))＝tan2eq \f(B,2)，
所以tan2eq \f(A,2)＝eq \f(a＋b,a－b)·tan2eq \f(B,2)，即eq \f(tan2\f(A,2),tan2\f(B,2))＝eq \f(a＋b,a－b).
12.如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.
(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数；
(2)若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取eq \r(2)＝1.414)
解析 (1)由题意，可知点M为eq \(PQ,\s\up8(︵))的中点，所以OM⊥AD.
设OM与BC的交点为F，则BC＝2Rsin θ，OF＝Rcs θ，所以AB＝OF－eq \f(1,2)AD＝Rcs θ－Rsin θ.
所以S＝AB·BC＝2Rsin θ(Rcs θ－Rsin θ)＝R2(2sin θcs θ－2sin2θ)＝R2(sin 2θ－1＋cs 2θ)＝eq \r(2)R2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,4)))－R2，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).
(2)因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，所以2θ＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，
所以当2θ＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即θ＝eq \f(π,8)时，S有最大值.
Smax＝(eq \r(2)－1)R2＝(eq \r(2)－1)×452＝0.414×2 025＝838.35(m2).
故当θ＝eq \f(π,8)时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35 m2.