北师大版九年级上册数学期末复习：各章节题型练习题汇编（含答案解析）

这是一份北师大版九年级上册数学期末复习：各章节题型练习题汇编（含答案解析），共204页。
\l "_bkmark0" 第一章 一元二次方程1
\l "_bkmark1" 【题型 1：一元二次方程的求解】1
\l "_bkmark2" 【题型 2：一元二次方程求参问题】1
\l "_bkmark3" 【题型 3：一元二次方程应用题】2
\l "_bkmark5" 第二章 概率与统计4
\l "_bkmark4" 【题型 1：概率求值】4
\l "_bkmark6" 【题型 2：数据分析综合】6
\l "_bkmark8" 第三章 图形的相似11
\l "_bkmark7" 【题型 1：成比例线段】11
\l "_bkmark9" 【题型 2：相似模型】11
\l "_bkmark10" 【题型 3：图形的位似】14
\l "_bkmark11" 【题型 4：相似的实际应用】15
\l "_bkmark12" 【题型 5：相似的简单证明】18
\l "_bkmark13" 【题型 6：三角形相似的综合】19
\l "_bkmark14" 第四章反比例函数22
\l "_bkmark15" 【题型 1：反比例函数基本性质】22
\l "_bkmark16" 【题型 2：反比例函数几何意义】23
\l "_bkmark17" 【题型 3：反比例函数求 k】24
\l "_bkmark18" 【题型 4：反比例函数图象共存问题】25
\l "_bkmark19" 【题型 5：反比例函数实际应用】27
\l "_bkmark20" 【题型 6：反比例函数综合】30
\l "_bkmark21" 第五章二次函数34
\l "_bkmark22" 【题型 1：二次函数基本性质】34
\l "_bkmark23" 【题型 2：二次函数图象与系数的关系】35
\l "_bkmark24" 【题型 3：二次函数新定义问题】37
\l "_bkmark25" 【题型 4：二次函数应用题】38
\l "_bkmark26" 【题型 5：二次函数与方程的关系】41
\l "_bkmark27" 【题型 6：二次函数综合】41
\l "_bkmark29" 第六章 三角函数46
\l "_bkmark28" 【题型 1：三角函数基本性质】46
\l "_bkmark30" 【题型 2：解直角三角形】47
\l "_bkmark31" 【题型 3：网格点求三角函数】48
\l "_bkmark32" 【题型 4：三角函数应用】49
\l "_bkmark33" 【题型 5：三角函数计算】52
\l "_bkmark35" 第七章 圆53
\l "_bkmark34" 【题型 1：圆中的基本定理应用】53
\l "_bkmark36" 【题型 2：圆中的面积计算】55
\l "_bkmark37" 【题型 3：线段最值问题】56
\l "_bkmark38" 【题型 4：圆综合】57
第一章 一元二次方程
【题型 1：一元二次方程的求解】
【2023-2024 学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷第 2 题 4 分】
【2023-2024 学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷第 5 题 4 分】
已知关于 x 的一元二次方程 x2  mx  3  0 的一个根是 1，则方程的另一个根是()
A． 3B．2C．3D． 4
【2023-2024 学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷第 18 题 6 分】
解方程： x2  2x  15  0 ．
【2023-2024 学年山东省济南市历下区甸柳一中九年级（上）期末数学试卷第 17 题 3 分】
解方程： x2  6x  8  0 ．
【题型 2：一元二次方程求参问题】
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 11 题 4 分】
已知关于 x 的一元二次方程 x2  4x  a  0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是 ．
【2023-2024 学年山东省济南市历下区甸柳一中九年级（上）期末数学试卷第 7 题 4 分】
已知函数 y  (k  3)x2  2x  1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是()
方程 4x2  4x  1  0 的根的情况是(
)
A．有一个实数根
C．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
D．无实数根
k  4
k  4
k  4 且 k  3
k  4 且 k  3
【2023-2024 学年山东省济南市商河县九年级（上）期末数学试卷第 4 题 4 分】
将一元二次方程(x  a)2  b ，化成 x2  8x  5  0 的形式，则 a ， b 的值分别是( )
A． 4 ，21B． 4 ，11C．4，21D． 8 ，69
【题型 3：一元二次方程应用题】
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 4 题 4 分】
10 月 8 日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的 6 块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比 赛总场数为 380 场，若设参赛队伍有 x 支，则可列方程为( )
A． 1 x(x  1)  380
2
B． x(x 1)  380
C． 2x(x 1)  380
D． x2  380
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 22 题 8 分】
芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展 新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产 200 万个，第三季度
生产 288 万个．试回答下列问题：
已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；
经调查发现，1 条生产线最大产能是 600 万个/ 季度，若每增加 1 条生产线，每条生产
线的最大产能将减少 20 万个/ 季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片 2600 万个，在增
加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生 产线？
【2023-2024 学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷第 23 题 10 分】
2022 年 9 月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程， 某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为 15 米），用长为 30 米的篱笆，围成矩形养殖园如图 1，已知矩形的边CD 靠院墙， AD 和BC 与院墙垂直，设 AB 的长为 x m ．
当围成的矩形养殖园面积为100m2 时，求 BC 的长；
如图 2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到100m2 ？若能，求出 AB 的长； 若不能，请说明理由．
【2022-2023 学年山东省济南市长清区九年级（上）期末数学试卷第 23 题 10 分】
某商店准备进一批季节性小家电，单价 40 元，经市场预测，销售定价为 52 元时，可售出
180 个．现在采取提高商品定价减少销售量的办法增加利润，定价每增加 1 元，销售量净减
少 10 个；
商店若将准备获利 2000 元，则定价应增加多少元？
若商店要获得最大利润，则定价应增加多少元？最大利润是多少？
【题型 1：概率求值】
第二章 概率与统计
【2023-2024 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 3 题 4 分】
某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率 约为()
A．0.95B．0.90C．0.85D．0.80
【2023-2024 学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷第 21 题 8 分】
小颖设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘 A 、 B ， A 转盘被分成了面积1: 2 的两个扇形， B 转盘被分成了面积相等的三个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了（红色与蓝色能配成紫色）．
转动 B 转盘一次，指针指向红色的概率是 ；
请利用画树状图或列表的方法求游戏者获胜的概率是多少？
【2023-2024 学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷第 12 题 4 分】
在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 20 个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试
验发现，摸出红球的频率稳定在 0.25 左右，则袋子中黄球的个数可能是 个．
【2023-2024 学年山东省济南市平阴县九年级（上）期末数学试卷第 8 题 4 分】
为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第 41 批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级 学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为( )
1
2
1
3
1
6
1
9
【题型 2：数据分析综合】
【2023-2024 学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷第 20 题 8 分】
为提高学生的法律意识，某中学开展了一系列的法律进校园活动，组织九年级全体学生进行 了《法律知识知多少》知识竞答，学校随机抽取 m 名学生的竞答成绩，对成绩（百分制） 进行整理、描述和分析，成绩划分为 A（90≤x≤100），B（80≤x＜90），C（70≤x＜80）， D（60≤x＜70），四个等级，并制作出不完整的统计图，如图所示．
已知： B 等级数据（单位：分）: 80 、80、81、82、85、86、86、87、88、89． 根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： m ， n ；
补全条形统计图；
抽取的 m 名学生中，成绩的中位数是 分，在扇形统计图中， C 等级扇形圆心角的度数是 ；
这所学校共有 2100 名学生，若全部参加这次竞答，请你估计成绩能达到 B 等级及以上的学生人数．
【2023-2024 学年山东省济南市平阴县九年级（上）期末数学试卷第 21 题 8 分】
某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况，随 机调查了九年级 1 班的所有学生在家劳动时间（单位：小时），并进行了统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图．根据图表信息回答以下问题：
九年级 1 班的学生共有 人，补全条形统计图；
已知 E 类学生中恰好有 2 名女生 3 名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．
类别
劳动时间
x
A
0≤x＜1
B
1≤x＜2
C
2≤x＜3
D
3≤x＜4
E
4≤x
【2023-2024 学年山东省济南市章丘区九年级（上）期末数学试卷第 23 题 10 分】
第 31 届世界大学生运动会将于 2023 年 7 月 28 日至 8 月 8 日在成都举行，某校开展了“爱成
都，迎大运”系列活动，增设篮球，足球，柔道，射击共四个课外活动项目．为了解全校 1500 名同学对增设的四个活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜 爱的项目（每人限选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条 形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：
参加问卷调查的同学共 名，补全条形统计图；
估计该校 1500 名同学中喜爱篮球运动的人数；
学校准备组建一支校篮球队，某班甲，乙，丙，丁四名同学平时都很喜欢篮球运动， 现决定从这四人中任选两名同学加入球队，请你用树状图或列表法求恰好选中甲，乙两名同 学的概率．
【2023-2024 学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷第 20 题 8 分】
随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式( A 微信，B 支付宝， C 现金， D 其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果， 绘制成如图统计图．
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
a ， b ，在扇形统计图中C 种支付方式所对应的圆心角为 度；
本次调查中用现金支付方式的居民里有 2 名男性，其余都是女性，现从该种支付方式
中随机选 2 名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．
【2022-2023 学年山东省济南市章丘区九年级（上）期末数学试卷第 23 题 10 分】
某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校 学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
这次被调查的学生共有多少名？
请将条形统计图补充完整；
若该校有 3000 名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选 取 2 名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【题型 1：成比例线段】
第三章 图形的相似
【2021-2022 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 2 题 4 分】如图， 练习本中的横格线都平行且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点 A， B，C 都在横格线上．若线段 AB＝6，则线段 AC 的长为（）
A．12B．18C．24D．30
【2021-2022 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 15 题 4 分】如图，
a∥b∥c，直线 m、n 与 a、b、c 分别相交于点 A、B、C 和点 D、B、F．若 AB＝3，BC
＝5，DE＝4，则 EF 的长为 ．
【题型 2：相似模型】
【2021-2022 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 7 题 4 分】
如图所示，△ADE∽△ABC，若 AD＝1，AB＝2，则△ADE 与△ABC 的相似比是（）
A．1：2B．1：3C．2：1D．3：2
【2021-2022 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 10 题 4 分】
如图，在平行四边形 ABCD 中，点 F 是 AD 上的点，AF＝2FD，直线 BF 交 AC 于点 E，交CD 的延长线于点 G，则的值为（）
A． B． C． D．
【2021-2022 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 14 题 4 分】
如图， D 为△ABC 的边 AC 上的一点， 若要使△ABD 与△ACB 相似， 可添加一个条件： ．
【2021-2022 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 9 题 4 分】
如图，已知△ABC∽△ACP，∠A＝70°，∠APC＝65°，则∠B 的度数为（）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【2021-2022 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 17 题 4 分】如图， 在△ABC 中，点 D 是边 AB 上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边 AC 的长为 ．
【2022-2023 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 23 题 8 分】
如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC＝120mm，高 AD＝80mm，要把它加工成矩形零件 PQMN，使一边在 BC 上，其余两个顶点分别在边 AB、AC 上．
当点 P 恰好为 AB 中点时，PQ＝ ．
当 PQ＝40mm，求出 PN 的长度．
若这个矩形的边 PN：PQ＝1：2．则这个矩形的长、宽各是多少 7．
【题型 3：图形的位似】
【2021-2022 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 14 题 4 分】
如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，O 为位似中心，若△ABC 与△A′B′C′的面积之比为 1： 4，则 CO：C′O 的值为 ．
【2022-2023 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 5 题 4 分】
如图，在平面直角坐标系中△AOB 与△COD 是位似图形，以原点 O 为位似中心，若 AC＝
2OA，B 点坐标为（4，2），则点 D 的坐标为（）
A．（8，4）B．（8，6）C．（12，4）D．（12，6）
【2021-2022 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 20 题 6 分】
如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（3，1），B（1，2），C（4，3）．
以原点 O 为位似中心，在第一象限内将△ABC 放大为原来的 2 倍得到△A1B1C1，作出
△A1B1C1，写出 A1，B1，C1 的坐标；
四边形 AA1B1B 的面积为 ．
【题型 4：相似的实际应用】
【2021-2022 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 8 题 4 分】
如图，小明用长为 3m 的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆 AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB＝12m，则旗杆 AB 的高为（）
A．7mB．8mC．6mD．9m
【2021-2022 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 24 题 10 分】
某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在旗杆底部所在的平地上，放置一个平面镜 E 来测量学校旗杆的高度，当镜子中心与旗杆的距离 EB＝20 米，镜子中心与测量者的距离 ED＝2 米时， 测量者刚好从镜子中看到旗杆的顶端点 A．已知测量者的身高为 1.6 米，测量者的眼睛距地面的高度为 1.5 米，求学校旗杆的高度是多少米．
在计算过程中 C，D 之间的距离应是 米．
根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校旗杆 AB 的高度．
该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆 的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
【2021-2022 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 25 题 10 分】
在平面直角坐标系中，已知 OA＝10cm，OB＝5cm，点 P 从点 O 开始沿 OA 边向点 A 以 2cm/s 的速度移动；点 Q 从点 B 开始沿 BO 边向点 O 以 1cm/s 的速度移动．如果 P、Q 同时出发， 用 t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
用含 t 的代数式表示：线段 PO＝ cm；OQ＝ cm．
当 t 为何值时△POQ 的面积为 6cm2？
当△POQ 与△AOB 相似时，求出 t 的值．
【题型 5：相似的简单证明】
【2021-2022 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 21 题 6 分】
如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 边上一点，连接 CE，F 为 CE 上一点，且∠DFE＝
∠A．求证：△DCF∽△CEB．
【2021-2022 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 20 题 6 分】如图，点D、E 分别是△ABC 的边 AC、AB 上的点，且∠ADE＝∠B，其中 AE＝1.5，AC＝2，BC＝3， 求 DE 的长．
【题型 6：三角形相似的综合】
【2021-2022 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 26 题 12 分】
如图，Rt△ABC 和 Rt△ADE 中，∠ACB＝∠ADE＝90°，∠ABC＝∠AED＝α．
（1）当α＝30°时，
①当点 D，E 分别落在边 AC，AB 上，猜想 BE 和 CD 的数量关系是 ；
②当△ADE 绕点 A 旋转到如图 2 的位置时（45°＜∠CAD＜90°）．分别连接 CD，BE， 则①的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由．
（2）当α＝45°时，将△ADE 绕点 A 旋转到∠DEB＝90°，若 AC＝10，AD＝2，直接写出线段 CD 的长．
【2021-2022 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 26 题 12 分】
如图 1，在△ABC 中，∠BCA＝90°，AC＝3，BC＝4，点 P 为斜边 AB 上一点，过点 P 作射线 PD⊥PE，分别交 AC、BC 于点 D，E．
问题产生
若 P 为 AB 中点，当 PD⊥AC，PE⊥BC 时，＝ ；
问题延伸
在（1）的情况下，将若∠DPE 绕着点 P 旋转到图 2 的位置， 的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；
问题解决
如图 3，连接 DE，若△PDE 与△ABC 相似，求 BP 的值．
【2021-2022 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 26 题 12 分】
如图 1，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝30°，连接 BE，
CD 交于点 F．则＝ ；∠BFC＝ ．
如图 2，在矩形 ABCD 和△DEF 中，AD＝CD，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，连接
AF 交 CE 的延长线于点 G．求的值及∠AGC 的度数，并说明理由；
在（2）的条件下，将△DEF 绕点 D 在平面内旋转，AF，CE 所在直线交于点 G，若DE＝1，AD＝ ，当点 G 与点 E 重合时，直接写出 AF 的长．
第四章反比例函数
【题型 1：反比例函数基本性质】
【2023-2024 学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷第 4 题 4 分】
已知反比例函数 y  k 的图象经过点(1, 2) ，则 k 的值是()
x
3
2
C．3D．  3
2
【2023-2024 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 7 题 4 分】
关于反比例函数 y  2 ，下列结论正确的是()
x
A．图象位于第二、四象限B．当 x  0 时， y 随 x 的增大而减小
当 x  2 时， y  1
图象与坐标轴有交点
【2023-2024 学年山东省济南市平阴县九年级（上）期末数学试卷第 3 题 4 分】
下列函数中，函数值 y 随 x 的增大而减小的是()
y  6x
y  6x
y  6
x
y   6
x
【2022-2023 学年山东省济南市长清区九年级（上）期末数学试卷第 6 题 4 分】
若点（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在反比例函数 y＝（k＜0）的图象上，则下列结论中正确的是（）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y1
【题型 2：反比例函数几何意义】
【2023-2024 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 13 题 4 分】
如图， A 是反比例函数 y  k 的图象上一点， AB  y 轴于点 B ，若ABO 的面积为 2，则 k
x
的值为 ．
【2022-2023 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 14 题 4 分】
如图，点 B 在反比例函数 y＝（x＞0）的图象上，点 C 在反比例函数 y＝﹣（x＞0）的图象上，且 BC∥y 轴，AB⊥BC，垂足为点 B，交 y 轴于点 A，则△ABC 的面积为 ．
【2022-2023 学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷第 9 题 4 分】
如图，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在反比例函数与 的图象上，点 C、D 在 x 轴上，AB、BD 分别交 y 轴于点 E、F，则阴影部分的面积等于（）
B．2C．D．
【2022-2023 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 14 题 4 分】
如图是反比例函数 y＝和 y＝（k＞3）在第一象限的图象，直线 AB∥x 轴，并分别交两条双曲线于 A、B 两点，若 S△AOB＝4，则 k＝ ．
【题型 3：反比例函数求 k】
【2023-2024 学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷第 16 题 4 分】
如图，A 、B 两点在反比例函数 y  k 的图象上，过点 A 作 AC  x 轴于点C ，交OB 于点 D ，
x
若 BD  2DO ， AOD 的面积为 1，则 k 的值为 ．
【2023-2024 学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷第 15 题 4 分】
如图，点 A 是反比例函数 y  k (x  0) 图象上的一点，过 A 作 AB  x 轴于点 B ，点 D 为 x 轴
x
正半轴上一点且 DO  2BO ，连接 AD 交 y 轴于点C ，连接 BC ．若COD 的面积为 8，则 k
的值为 ．
【2023-2024 学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷第 15 题 4 分】
如图，在RtAOB 中，AOB  90 ，tan BAO  2 ，顶点 A ，B 分别在反比例函数 y  3 (x  0)
x
和反比例函数 y  k (x  0) 的图象上，则 k 的值为．
x
【2022-2023 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 7 题 4 分】
如图，点 A（2，m）在双曲线 y＝（k 是常数）位于第一象限的图象上，AB⊥x 轴，B 为垂足，tan∠AOB＝2，则 k 的值是（）
A．1B．2C．4D．8
【题型 4：反比例函数图象共存问题】
【2023-2024 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 9 题 4 分】
一次函数 y  ax  b 与反比例函数 y  ab (a ， b 为常数且均不等于0) 在同一坐标系内的图象
x
可能是( )
A． B． C． D．
【2023-2024 学年山东省济南市章丘区九年级（上）期末数学试卷第 7 题 4 分】
如图， 在同一平面直角坐标系中， 一次函数 y  ax  b(ab  0) 的图像与反比例函数
y  ab (ab  0) 的图像大致可以是()
x
A． B．
C． D．
【题型 5：反比例函数实际应用】
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 24 题 10 分】
【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V 的蓄电池，通过调节滑动变阻器
来改变电流大小，完成控制灯泡 L （灯丝的阻值 RL  2)
亮度的实验（如图），已知串联
电路中，电流与电阻 R 、 RL 之间关系为 I 
U
R  RL
，通过实验得出如下数据：
R / 
1
a
3
4
6
I / A
4
3
2.4
2
b
（1） a ， b ；
【探究】根据以上实验，构建出函数 y 
12 (x  0) ，结合表格信息，探究函数
x  2
y  12 (x  0) 的图象与性质．
x  2
①在平面直角坐标系中画出对应函数 y 
12 (x  0) 的图象；
x  2
②随着自变量 x 的不断增大，函数值 y 的变化趋势是 ．
【拓展】结合（2）中函数图象分析，当 x  0 时， 12   3 x  6 的解集为．
x  22
【2023-2024 学年山东省济南市商河县九年级（上）期末数学试卷第 23 题 10 分】
我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10 C ，加热到100 C ，停止加热，水温开始下降，此时水温( C) 与开机后用时(min) 成反比例关系．直至水温降至 20 C
时自动开机加热，重复上述自动程序．若在水温为20 C 时，接通电源后，水温 y( C) 和时间
x(min) 的关系如图所示．
（1） a ， b ．
直接写出图中 y 关于 x 的函数表达式．
饮水机有多少时间能使水温保持在50 C 及以上？
若某天上午7 : 00 饮水机自动接通电源，开机温度正好是 20 C ，问学生上午第一节下课时(8 : 40) 能喝到50 C 以上的水吗？请说明理由．
4.【2023-2024 学年山东省济南市市中县九年级（上）期末数学试卷第 24 题 10 分】
在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线
y  k (x  0) 经过点 A(2, 2) ，在第一象限内存在一点 B(m, n) ，满足 mn  4 ．
x
求 k 的值；
如图 1，过点 B 分别作平行于 x 轴， y 轴的直线，交双曲线 y  k (x  0) 于点C 、 D ，
x
记线段 BC 、 BD 、双曲线所围成的区域为W （含边界），
①当 m  n  4 时，区域W 的整点个数为 11；
②直线 y  ax  5a  4(a  0) 过一个定点，若点 B 为此定点，这条直线将W 分成两部分，直线上方（不包含直线）的区域记为W1 ，直线下方（不包含直线）的区域记为W2 ，当W1 与W2
的整点个数之差不超过 2 时，请求出 a 的取值范围．
【题型 6：反比例函数综合】
【2023-2024 学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷第 24 题 10 分】
如图 1，直线 y  2x  1 与 y 轴交于点 B ，与反比例函数 y  k (x  0) 的图象交于点 A(1, a) ．
x
求反比例函数表达式．
将线段 AB 向右平移 m 个单位长度(m  0) ，得到对应线段CD ，连接 AC ， BD ．
①如图 2，当点 D 恰好落在反比例函数图象上时，过点C 作CF  x 轴于点 F ，交反比例函数图象于点 E ，求 CE 的值；
EF
②在①的条件下，在坐标平面内是否存在点 N ，使得以 A ， D ， C ， N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【2023-2024 学年山东省济南市章丘区九年级（上）期末数学试卷第 24 题 10 分】
如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1
 kx  b(k  0) 的图象与反比例函数 y2
 m (m  0)
x
的图象相交于第一、三象限内的 A(3,5) ， B(a, 3) 两点，与 x 轴交于点C ．
求该反比例函数和一次函数的解析式；
直接写出当 y1  y2 时， x 的取值范围；
在 y 轴上找一点 P 使 PB  PC 最大，求 PB  PC 的最大值及点 P 的坐标．
【2023-2024 学年山东省济南市长清区九年级（上）期末数学试卷第 24 题 10 分】
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线l : y  3 x  b 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、 B ，与双
4
曲线 H : y  k 交于点 P(2, 9 ) ，直线 x  m 分别与直线l 和双曲线 H 交于点 E 、 D ．
x2
求 k 和b 的值；
当点 E 在线段 AB 上时，如果 ED  BO ，求 m 的值；
点C 是 y 轴上一点，如果四边形 BCDE 是菱形，求点 C 的坐标．
【2022-2023 学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷第 24 题 10 分】
如图 1，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别落在 x 轴、y 轴的正半轴上，点 B（6，3），反比例函数 的图象与 AB、BC 分别交于 D、E 两点，BD＝1，点 P 是线段 OA 一动点．
求反比例函数关系式和点 E 的坐标；
如图 2，连接 DE、PE、PD，求△PDE 周长的最小值；
如图 3，当∠PDO＝45°时，求线段 OP 的长．
第五章二次函数
【题型 1：二次函数基本性质】
【2023-2024 学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷第 5 题 4 分】
抛物线 y  (x  2)2  1的顶点坐标是()
A． (2, 1)
B． (2,1)
C． (2, 1)
D． (2,1)
【2023-2024 学年山东省济南市商河县九年级（上）期末数学试卷第 18 题 6 分】
二次函数 y  ax2  bx  c(a  0) 的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）点 B 的坐标为 (3, 0) ；
当 x 时， y 随 x 的增大而减小；
不等式 ax2  bx  c  0 的解集为 ．
【2022-2023 学年山东省济南市长清区九年级（上）期末数学试卷第 14 题 4 分】
将抛物线 y＝2（x﹣1）2+3 向右移 3 单位，上移 2 单位所得到的新抛物线解析式为 ．
【2022-2023 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 6 题 4 分】
已知二次函数 y＝（x﹣2）2+2，当点（3，y1）、（2.5，y2）、（4，y3）在函数图象上时， 则 y1、y2、y3 的大小关系正确的是（）
A．y3＜y1＜y2B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3
【题型 2：二次函数图象与系数的关系】
【2023-2024 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 8 题 4 分】
已知二次函数 y  ax2  2x  c ，其中 ac  0 ，则它的图象可能是()
A． B． C． D．
【2023-2024 学年山东省济南市长清区九年级（上）期末数学试卷第 8 题 4 分】
在同一平面直角坐标系中，二次函数 y  ax2 与一次函数 y  bx  c 的图象如图所示，则二次函数 y  ax2  bx  c 的图象可能是()
A． B．
C． D．
【2022-2023 学年山东省济南市长清区九年级（上）期末数学试卷第 10 题 4 分】
如图，已知开口向上的抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线 x＝1．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③若关于 x 的方程 ax2+bx+c+1＝0 一定有两个不相等的
实数根；④a＞ ．其中正确的个数有（）
个B．2 个C．3 个D．4 个
【2022-2023 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 10 题 4 分】二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为 x＝﹣1，则下列结论：
①abc＞0，
②a+b＜﹣c，
③4a﹣2b+c＞0，
④3b+2c＜0，
⑤a﹣b＞m（am+b）（其中 m 为任意实数）． 中正确的个数是（）
个B．3 个C．4 个D．5 个
【题型 3：二次函数新定义问题】
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 10 题 4 分】
若一个点的纵坐标是横坐标的 3 倍，则称这个点为“三倍点”，如：A(1, 3) ，B(2, 6) ，C(0, 0)
等都是“三倍点”．在3  x  1 的范围内，若二次函数 y  x2  x  c 的图象上至少存在一
个“三倍点”，则 c 的取值范围是()
A．  1  c  1 4
B． 4  c  3
C．  1  c  6 4
D． 4  c  5
【2023-2024 学年山东省济南市商河县九年级（上）期末数学试卷第 10 题 4 分】
函数 y  x2  4 | x | 2 的自变量 x 的取值范围为全体实数，其中 x  0 部分的图象如图所示， 对于此函数有下列结论：
①函数图象关于 y 轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当 x  2 时， y 随 x 的增大而减小；
④当6  a  2 时，关于 x 的方程 x2  4 | x | 2  a 有 4 个实数根． 其中正确的结论个数是()
A．1B．2C．3D．4
【2023-2024 学年山东省济南市天桥九年级（上）期末数学试卷第 10 题 4 分】
10．（4 分）对于任意的实数 m 、 n ，定义符号 max(m, n) 的含义为 m ， n 之间的最大值，
如 max(3, 2)  3 ， max(1, 2)  2 ．定义一个新函数： y  max( 1 x2  x  9 ,| x |) ，则 y  3 时，
44
x 的取值范围为()
A． x  3或 x  1
B． x  1 或1  x  3
C． 1  x  3
D． x  3 或 x  3
【2022-2023 学年山东省济南市南山区九年级（上）期末数学试卷第 10 题 4 分】
在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P 的横坐标和纵坐标相等，则称点 P 为雅系点．已知二次
函数 y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个雅系点（， ），且当 m≤x≤0 时， 函数 y＝ax2﹣4x+c+（a≠0）的最小值为﹣6，最大值为﹣2，则 m 的取值范围是（ ） A．﹣1≤m≤0B．﹣ ＜m≤﹣2 C．﹣4≤m≤﹣2D．﹣ ≤m＜﹣
【题型 4：二次函数应用题】
【2023-2024 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 23 题 10 分】
在 2024 年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰， 如图 1 所示， 他在会场的两墙 AB 、 CD 之间悬挂一条近似抛物线
y  ax2  4 x  3 的彩带，如图 2 所示，已知墙 AB 与CD 等高，且 AB 、CD 之间的水平距离
5
BD 为 8 米．
如图 2，两墙 AB 、CD 的高度是 3 米，抛物线的顶点坐标为 ；
为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点 M 处用一根细线吊在天花板上，如图 3 所示，使得点 M 到墙 AB 距离为 3 米，使抛物线 F1 的最低点距墙 AB 的距离为 2 米，离地面 2 米，求点 M 到地面的距离．
【2023-2024 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 23 题 10 分】
喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．如图 2，将喷灌架置于坡度为1: 5 的坡地底部点O 处（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是 1 米，当喷射出的水流与喷水头的水平距离为 20 米时，达到最大高度（与喷灌架底部所在水平面的距离）9 米．
求图 2 中抛物线表达式；
当喷射出的水流达到最大高度时，求水流与坡面之间铅直高度 AB 的长；
若喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为 3.5 米，求水流与喷水头的水平距离．
【2022-2023 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 24 题 10 分】
x/m
0
0.4
1
1.5
2
2.5
3
y/m
2.5
3.3
3.9
3.85
3.3
2.25
0.7
小腾所在的小区中心为了净化环境要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水 管的顶端安一个喷水头，喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线的路径落下，记水流 与池中心水管的水平距离为 x 米，距地面的高度为 y 米．测量得到如下数值：
小腾根据学习函数的经验，发现 y 是 x 的函数，并对 y 随 x 的变化而变化的规律进行了探究， 如图，他首先通过描点法画出了函数图象．
小腾结合函数图象发现，水管出水口距地面的高度 OC 为 m．通过计算，可得到
y 关于 x 的函数表达式为 ，水流达到最高点时与池中心水管的水平距离为 m；
如图，考虑到小区的喷水池面积有限，现只降低水管出水口距离地面的高度 OC，使水流落地点与水管的距离 OA 缩短为 3m，请求出降低后的水管高度是多少米？
【题型 5：二次函数与方程的关系】
1.【2023-2024 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 14 题 4 分】
如图抛物线 y  ax2  bx  c 的对称轴是直线 x  1 ，与 x 轴的一个交点为(5, 0) ，则不等式
ax2  bx  c  0 的解集为 ．
【题型 6：二次函数综合】
【2023-2024 学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷第 10 题 4 分】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y  x2  3x  4 与 x 轴交于 A 、C 两点，与 y 轴交于点 B ，
若 P 是 x 轴上一动点， Q(0, 2) ，连接 PQ ，则 PC 
2PQ 的最小值是()
6
2
A．6B．8C． 2D． 4
【2023-2024 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 10 题 4 分】
已知二次函数 y  mx2  4mx  1，其中 m  0 ，若当0  x  4 时，对应的 y 的整数值有 6 个， 则 m 的取值范围为()
A． 1  m  3
24
B．1  m  5
4
C． 5  m  3
42
D． 5  m  3
42
【2023-2024 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 26 题 12 分】
抛物线 y  x2  mx  m  1 与 y 轴交于点 A ，顶点为 D ．
若抛物线过点 B(3, 2) ，求抛物线顶点 D 和点 A 坐标；
如图，在（1）的条件下，连接 AB ，点 N 为线段 AB 下方抛物线上一点，求ABN 面积的最大值；
已知点 P(2m  3, 2) ， Q(1,3  m2 ) ，若线段 PQ 与抛物线恰有一个交点，求 m 的取值范围．
【2023-2024 学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷第 26 题 12 分】
如图 1，抛物线 y  ax2  bx  3(a  0) 与 x 轴交于 A(3, 0) 和 B(1, 0) 两点，与 y 轴交于点C ．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2） P 是抛物线上，位于直线 AC 上方的一个动点，过点 P 作 PD  AC 于点 D ，求 P 坐标为何值时 PD 最大，并求出最大值；
（3）如图②，将原抛物线向左平移 2 个单位长度得到抛物线 y ，y 与原抛物线相交于点 M ，
点 N 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 H ，使以点 A ，M ，N ，
H 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由．
【2022-2023 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 26 题 12 分】
如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 的图象经过点 C，交 x 轴于点 A（﹣1，0）、B（4，0）（A
点在 B 点左侧），顶点为 D．
求抛物线的解析式；
点 P 在直线 BC 上方的抛物线上，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 Q，过点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 F，过点 Q 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 E，求矩形 PQEF 的周长最大值；
抛物线的对称轴上是否存在点 M，使∠BMC＝45°？若存在，请直接写出点 M 的纵坐标；若不存在，请说明理由．
【2022-2023 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 26 题 12 分】
如图，在平面直角坐标系中．抛物线 与 x 轴交于 A 两点，与 y 轴交于点 C，
点 A 的坐标为（﹣1，0），点 C 的坐标为（0，﹣2），已知点 E（m，0）是线段 AB 上的动点（点 E 不与点 A，B 重合）．过点 E 作 PE⊥x 轴交抛物线于点 P．交 BC 于点 F．
求该抛物线的表达式；
若 EF：PF＝1：2，请求出 m 的值；
是否存在这样的 m，使得△BEP 与△ABC 相似？若存在，求出此时 m 的值，若不存在，请说明理由；
当点 E 运动到抛物线对称轴上时，点 M 是 x 轴上一动点，点 N 是抛物线上的动点，在运动过程中，是否存在以 C、E、M、N 为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点 M 的坐标．
【题型 1：三角函数基本性质】
第六章 三角函数
【2023-2024 学年山东省济南市历下区甸柳一中九年级（上）期末数学试卷第 4 题 4 分】在ABC 中， A  120 ， B  45 ， C  15 ，则cs B 等于()
3 2
1C．
3
2
D． 2 2
【2023-2024 学年山东省济南市商河县九年级（上）期末数学试卷第 2 题 4 分】如图，在RtABC 中， C  90 ， AC  4 ， BC  3 ，则A 的正切值是()
3
5
4
3
3
4
4
5
【2023-2024 学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷第 1 题 4 分】
tan 45 的相反数是()
B． 1
 3 2
2
【2022-2023 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷（A 卷）第 2 题 4 分】
下列三角函数中，值为 的是（）
A．cs30°B．tan30°C．sin5°D．cs60°
【题型 2：解直角三角形】
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 5 题 4 分】
如图，矩形 ABCD 为一个正在倒水的水杯的截面图， AB  18cm ，杯中水面与CD 的交点为
E ，当水杯底面 BC 与水平面的夹角为30 时，杯中水的最大深度为()
3
3
A．9B．15C． 6D． 9
【2023-2024 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 9 题 4 分】
济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某数学兴趣小组用无人机测量超然楼 AB 的高度，测量方案如图 2：先将无人机垂直上升至距水平地面142m 的 P 点，测得超然楼顶端 A 的俯角为37 ，再将无人机面向超然楼沿水平方向飞行 210m 到达Q 点，测得超然楼顶端 A 的俯角为 45 ，则超然楼 AB 的高度约为( )
（参考数据： tan 37  3 ， sin 37  3 ， cs 37  4)
455
A． 48mB． 50mC． 52mD． 54m
【2022-2023 学年山东省济南市章丘区九年级（上）期末数学试卷第 14 题 4 分】
如图，某地修建一座高 BC＝5m 的天桥，已知天桥斜面 AB 的坡度为 ，则斜坡 AB 长度为 ．
【题型 3：网格点求三角函数】
【2023-2024 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 2 题 4 分】
如图，在由边长为 1 的小正方形构成的网格中，点 A ， B ， C 都在格点上，则tan B 的值为
()
3
4
4
3
3
5
4
5
【2023-2024 学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷第 8 题 4 分】
如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A ， B ，C 都在格点上，则BAC 的正切值是
()
B． 2 5
5
5
1
2
【2023-2024 学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷第 4 题 4 分】
在正方形网格中，以格点O 为圆心画圆，使该圆经过格点 A ， B ，并在直线 AB 右侧圆弧上取一点C ，连接 AC ， BC ，则ACB 的度数为( )
A． 60B． 50C． 45D．不确定
【2022-2023 学年山东省济南市南山区九年级（上）期末数学试卷第 8 题 4 分】如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型 4：三角函数应用】
【2023-2024 学年山东省济南市商河县九年级（上）期末数学试卷第 8 题 4 分】
如图，某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡 AD 与水平方向的夹角为(0  90) ，地下停车场层高CD  3 米，则在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是( )
B．3
cs
C． 3sinD． 3cs a
【2023-2024 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 20 题 8 分】
2
3
如图，一艘轮船位于灯塔 P 的南偏东30 方向，距离灯塔 100 海里的 A 处，此时船长接到台风预警信息，台风将在 7 小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔 P 的北偏东45 方向上的避风港 B 处．如果轮船的航速是每小时 20 海里，问轮船能否在台风到来前赶到避
风港 B 处？（参考数据：
 1.414 ，
 1.732)
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 21 题 8 分】
祖冲之发明的水碓( duì ) 是一种舂米机具（如图1) ，在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图 2 是碓杆与支柱的示意图，支柱OM 高 4 尺且垂直于水平地面，碓杆 AB 长 16 尺，OB  3OA ．当点 A 最低时， AOM  60 ，此时点 B 位于最高点；当点 A 位于最高点 A 时， AOM  108.2 ， 此时点 B 位于最低点 B ．
（1）求点 A 位于最低点时与地面的垂直距离；
（2）求最低点 B 与地面的垂直距离．（参考数据： sin18.2  0.31 ， cs18.2  0.95 ，
tan18.2  0.33)
【2023-2024 学年山东省济南市历下区甸柳一中九年级（上）期末数学试卷第 19 题 6 分】如图，在一次空中搜寻中，水平飞机的飞机观测到在点 A 俯角为30 方向的 F 点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止），为了便于观察，飞机继续向前飞行了 800 米到达 B 点，此时测得点 F 在点 B 俯角为60 的方向上，请你计算当飞机飞临 F 点的正上方点C 时（点
A 、B 、C 在同一直线上），竖直高度CF 约为多少米？（结果保留整数，参考数值： 3  1.7)
【2023-2024 学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷第 21 题 8 分】
数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台 阶底部点 A 处测得塔楼顶端点 E 的仰角GAE  50.2 ，台阶 AB 长 26 米，台阶坡面 AB 的坡度i  5 :12 ，然后在点 B 处测得塔楼顶端点 E 的仰角EBF  63.4 ，则
点 B 到 AG 的距离为多少米？
塔顶到地面的高度 EF 约为多少米？
（参考数据： tan 50.2  1.20 ， tan 63.4  2.00 ， sin 50.2  0.77 ， sin 63.4  0.89)
【2022-2023 学年山东省济南市长清区九年级（上）期末数学试卷第 22 题 8 分】
为进一步加强疫情防控工作，长清区某学校决定安装红外线体温检测仪，对进入测温区域的人员进行快速测温（如图 1），其红外线探测点 O 可以在垂直于地面的支杆 OP 上下调节（如图 2），已知探测最大角（∠OBC）为 61°，探测最小角（∠OAC）为 37°．若该校要求测温区域的宽度 AB 为 1.4 米，请你帮助学校确定该设备的安装高度 OC．（参考数据：sin61°≈0.87， cs61°≈0.48，tan61°≈1.8，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【题型 5：三角函数计算】
8
【2023-2024 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 17 题 6 分】
计算：
 (tan 60  2023)0  (1) 2023  2sin 45 ．
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 17 题 6 分】计算： tan 45  2sin 30  cs 2 45  cs 60
【2023-2024 学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷第 17 题 6 分】
计算： (1)0  4sin 60  12  | 3 | ．
【题型 1：圆中的基本定理应用】
第七章 圆
【2023-2024 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 6 题 4 分】如图，点 A 、 B 、C 在 O 上， ACB  30 ，则AOB 的度数是( )
A． 30B． 40C． 60D． 65
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 9 题 4 分】
中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计 的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为 A ，曲线终点为 B ，过点 A ， B 的两条切线相交于点 C ，列车在从 A 到 B 行驶的过程中转角 为 60 ．若圆曲线的半径
OA  1.5km ，则这段圆曲线 AB 的长为()
km
4
km
2
3km
4
3km
8
【2022-2023 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 4 题 4 分】已知⊙O 的半径为 6，点 P 在⊙O 外部，则 OP 需要满足的条件是（）
A．OP＞6B．0≤OP＜6C．OP＞3D．0≤OP＜3
【2022-2023 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 8 题 4 分】
如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上的两点，若∠ACD＝56°，则∠DAB 的度数为（）
A．34°B．36°C．46°D．54°
【2022-2023 学年山东省济南市南山区九年级（上）期末数学试卷第 9 题 4 分】
AB 为⊙O 的直径，延长 AB 到点 P，过点 P 作⊙O 的切线，切点为 C，连接 AC，∠P＝40°， D 为圆上一点，则∠D 的度数为（）
A．20°B．25°C．30°D．40°
【2022-2023 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 8 题 4 分】如图，点 A，B，C 均在⊙O 上，若∠ACB＝120°，则∠α的度数为（）
A．120°B．130°C．100°D．110°
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 15 题 4 分】
只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于 A ， B ， C ， D 四点，利用刻度尺量得该纸条宽 MN 为7cm ， AB  6cm ，CD  8cm ．请你帮忙计算纸杯的直径为 cm ．
【题型 2：圆中的面积计算】
【2023-2024 学年山东省济南市长清区九年级（上）期末数学试卷第 9 题 4 分】
如图，点 O 为ABC 的 AB 边上的一点，O 经过点 B 且恰好与边 AC 相切于点 C ，若
B  30 ， AC  3 ， ? 则阴影部分的面积为()
A． 3  
22
B． 3 3  
22
C． 3 3 
2
D． 3 
2
【2022-2023 学年山东省济南市高新新航实验九年级（上）期末数学试卷第 9 题 4 分】如图，在矩形 ABCD中，，BC＝1，以点 B为圆心，BC为半径画弧交矩形的边 AB于点 E，交对角线 AC于点 F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【2023-2024 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 15 题 4 分】
如图，将半径为 2cm 的圆形纸片翻折，使得 AB ，BC 恰好都经过圆心O ，折痕为 AB ，BC ， 则阴影部分的面积为 cm2 ．
【2022-2023 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 15 题 4 分】
如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与⊙O交于点 C，以点 A为圆心、以 OC的长为半径作 ，分别交 AB，AC于点 E，F．若 OC＝2，AB＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
【题型 3：线段最值问题】
1．【2023-2024 学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷第 16 题 4 分】
3
如图，矩形 ABCD 中， AB  2 ， AD  2
，动点 P 从点 A 出发向终点 D 运动，连 BP ，并
7
3
过点C 作CH  BP ，垂足为 H ．① ABP∽HCB ；② AH 的最小值为；③在运动
过程中， BP 扫过的面积始终等于CH 扫过的面积；④在运动过程中，点 H 的运动路径的长
为 2 3，其中正确的有（填写序号）
3
【题型 4：圆综合】
【2023-2024 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 22 题 8 分】
独轮车（图 1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图 2 所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在ABC 中，以ABC 的边 AB 为直径作 O ，交 AC 于点 P ，PD 是 O
的切线，且 PD  BC ，垂足为点 D ．
（1）求证： A  C ；
（2）若 PD  2BD  4 ，求 O 的半径．
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 23 题 10 分】
如图， AB 为 O 的直径， D 、 E 是 O 上两点，延长 AB 至C ，连接CD ， BDC  A ．
求证： CD 是 O 的切线；
若tan BED  3 ， AC  8 ，求 O 的半径．
4
【2023-2024 学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷第 22 题 8 分】
如图在ABC 中，AB  AC ，以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 D ，过点 D 作 O 的切线交 AB
的延长线于点 F ，交 AC 于 E ．
求证： DE  AC ；
若 AE  6 ， FB  4 ，求 O 的半径．
【2022-2023 学年山东省济南市高新新航实验九年级（上）期末数学试卷第 23 题 10 分】如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，CD 是⊙O 的切线，BD⊥CD，DB 的延长线与⊙O 交于点 E．
求证：∠ABE＝2∠A；
tanA＝，BD＝2，求 BE 的长．
【2022-2023 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 22 题 8 分】
如图，在△ABC 中，AB＝BC，以 AB 为直径的⊙O 与 AC 交于点 D，过 D 作⊙O 的切线交
AB 的延长线于 E，交 BC 于 F．
求证：DF⊥BC；
已知 DE＝6，BE＝3，求⊙O 的半径．

第一章 一元二次方程
【题型 1：一元二次方程的求解】
【2023-2024 学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷第 2 题 4 分】
方程 4x2  4x  1  0 的根的情况是()
A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无实数根
【分析】计算出判别式的值即可判断．
【解答】解：△  (4)2  4  4 1  16 16  0 ，
方程 4x2  4x  1  0 有两个相等的实数根． 故选： C ．
【2023-2024 学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷第 5 题 4 分】
已知关于 x 的一元二次方程 x2  mx  3  0 的一个根是 1，则方程的另一个根是()
A． 3B．2C．3D． 4
【分析】设方程的一个根 x1  1 ，另一个根为 x2 ，再根据根与系数的关系进行解答即可．
【解答】解：设方程的一个根 x1  1 ，另一个根为 x2 ，根据题意得：
x1  x2  3 ，将 x1  1 代入，得 x2  3 ．
故选： C ．
【2023-2024 学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷第 18 题 6 分】
解方程： x2  2x  15  0 ．
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【解答】解： x2  2x  15  0 ，
(x  3)(x  5)  0 ，
 x  3  0 或 x  5  0 ，
 x1  3 ， x2  5 ．
【2023-2024 学年山东省济南市历下区甸柳一中九年级（上）期末数学试卷第 17 题 3 分】
解方程： x2  6x  8  0 ．
【分析】先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：
x2  6x  8  0 ，
(x  4)(x  2)  0 ，
x  4  0 或 x  2  0 ， 解得： x1  4 ， x2  2 ．
【题型 2：一元二次方程求参问题】
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 11 题 4 分】
已知关于 x 的一元二次方程 x2  4x  a  0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是
a  4．
【分析】根据判别式的意义得到△  (4)2  4 1 (a)  0 ，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△  (4)2  4 1 (a)  0 ， 解得 a  4 ．
故答案为： a  4 ．
【2023-2024 学年山东省济南市历下区甸柳一中九年级（上）期末数学试卷第 7 题 4 分】
已知函数 y  (k  3)x2  2x  1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是()
k  4
k4
k  4 且 k  3
k4 且 k  3
【分析】分为两种情况：①当 k  3  0 时，(k  3)x2  2x 1  0 ，求出△  b2  4ac  4k  160
的解集即可；②当 k  3  0 时，得到一次函数 y  2x  1 ，与 x 轴有交点；即可得到答案．
【解答】解：①当 k  3  0 时， (k  3)x2  2x 1  0 ，
△  b2  4ac  22  4(k  3) 1  4k  160 ，
k4 ；
②当 k  3  0 时， y  2x  1 ，与 x 轴有交点． 故选： B ．
【2023-2024 学年山东省济南市商河县九年级（上）期末数学试卷第 4 题 4 分】将一元二次方程(x  a)2  b ，化成 x2  8x  5  0 的形式，则 a ， b 的值分别是() A． 4 ，21B． 4 ，11C．4，21D． 8 ，69
【分析】根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程
得到答案．
【解答】解： (x  a)2  b ， 则 x2  2ax  a2  b ，
 x2  2ax  a2  b  0 ，
由题意得： 2a  8 ， a2  b  5 ， 解得： a  4 ， b  21 ，故选： A ．
【题型 3：一元二次方程应用题】
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 4 题 4 分】
10 月 8 日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的 6 块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比 赛总场数为 380 场，若设参赛队伍有 x 支，则可列方程为( )
A． 1 x(x  1)  380
2
B． x(x 1)  380
C． 2x(x 1)  380
D． x2  380
【分析】利用比赛的总场数 参赛队伍数 （参赛队伍数1) ，即可列出关于 x 的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得： x(x 1)  380 ．
故选： B ．
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 22 题 8 分】
芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展 新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产 200 万个，第三季度
生产 288 万个．试回答下列问题：
已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；
经调查发现，1 条生产线最大产能是 600 万个/ 季度，若每增加 1 条生产线，每条生产
线的最大产能将减少 20 万个/ 季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片 2600 万个，在增
加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生 产线？
【分析】（1）设前三季度生产量的平均增长率为 x ，利用第三季度的生产量 第一季度的生产量(1  前三季度生产量的平均增长率） 2 ，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其
正值即可得出结论；
（2）设应该再增加 m 条生产线，则每条生产线的最大产能为(600  20m) 万个/ 季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片 2600 万个，即可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出 m 的值，再结合在增加产能。同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加 4 条生产线．
【解答】解：（1）设前三季度生产量的平均增长率为 x ，
依题意得： 200(1  x)2  288 ，
解得： x1  0.2  20% ， x2  2.2 （不符合题意，舍去）． 答：前三季度生产量的平均增长率为 20% ．
（2）设应该再增加 m 条生产线，则每条生产线的最大产能为(600  20m) 万个/ 季度， 依题意得： (m  1)(600  20m)  2600 ，
整理得： m2  29m  100  0 ， 解得： m1  4 ， m2  25 ，
又在增加产能同时又要节省投入成本，
 m  4 ．
答：应该再增加 4 条生产线．
【2023-2024 学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷第 23 题 10 分】
2022 年 9 月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程， 某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为 15 米），用长为 30 米的篱笆，围成矩形养殖园如图 1，已知矩形的边CD 靠院墙， AD 和BC 与院墙垂直，设 AB 的长为 x m ．
当围成的矩形养殖园面积为100m2 时，求 BC 的长；
如图 2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到100m2 ？若能，求出 AB 的长； 若不能，请说明理由．
【分析】（1）设 AB 的长为 x m ，根据篱笆的总长及 AB 的长，可得出 BC 的长，利用矩形的面积公式，可列出关于 x 的一元二次方程，解之即可求出结论；
（2）假设养殖园的面积能达到100m2 ，设 AB 的长为 y m ，则 BC 的长为 30  y m ，利用
4
矩形的面积公式，可列出关于 y 的一元二次方程，由根的判别式△  700  0 ，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即养殖园的面积不能达到100m2 ．
【解答】解：（1）设 AB 的长为 x m ，则矩形的宽 BC  1 (30  x)m ，
2
由题意得： x  1 (30  x)  100 ，
2
解得 x1  10 ． x2  20 ，
墙的最大可用长度为 15 米，
0  x15 ，
 x  10 ，
即 BC 的长为10m ；
（2）养殖园的面积不能达到100m2 ，理由如下：
假设养殖园的面积能达到100m2 ，设 AB 的长为 y m ，则 BC 的长为 30  y m ，
4
根据题意得： y  30  y  100 ，
4
整理得： y2  30 y  400  0 ，
△  (30)2  4 1 400  700  0 ，
原方程没有实数根，
假设不成立，即养殖园的面积不能达到100m2 ．
．
【2022-2023 学年山东省济南市长清区九年级（上）期末数学试卷第 23 题 10 分】
某商店准备进一批季节性小家电，单价 40 元，经市场预测，销售定价为 52 元时，可售出
180 个．现在采取提高商品定价减少销售量的办法增加利润，定价每增加 1 元，销售量净减
少 10 个；
商店若将准备获利 2000 元，则定价应增加多少元？
若商店要获得最大利润，则定价应增加多少元？最大利润是多少？
【分析】（1）利用销售利润 2000＝售价﹣进价，进而求出即可；
（2）利用销售利润＝售价﹣进价，根据题中条件可以列出利润与 x 的关系式，求出即可．
【解答】（1）解：设定价应增加 x 元，
（52﹣40+x）（180﹣10x）＝2000， 解得 x1＝8，...（3 分）x2＝﹣2，
∵采取提高商品定价减少销售量的办法增加利润，
∴x2＝﹣2 不合题意舍去，
∴x＝8，
答：定价应增加 8 元；
（2） 设 定 价 增 加 x 元 时 获 利 y 元 ， y＝（52﹣40+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+60x+2160， 当 x＝3 时，
y 有最大值，为 2250 元，
答：若商店要获得最大利润，则定价应增加 3 元，最大利润是 2250 元．
【题型 1：概率求值】
第二章 概率与统计
【2023-2024 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 3 题 4 分】
某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率 约为()
A．0.95B．0.90C．0.85D．0.80
【分析】由图可知，成活概率在 0.9 上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在 0.9， 成活的概率估计值为 0.9．
【解答】解：这种树苗成活的频率稳定在 0.9，成活的概率估计值约是 0.90． 故选： B ．
【2023-2024 学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷第 21 题 8 分】
小颖设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘 A 、 B ， A 转盘被分成了面积1: 2 的两个扇形， B 转盘被分成了面积相等的三个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了（红色与蓝色能配成紫色）．
转动 B 转盘一次，指针指向红色的概率是1；
3
请利用画树状图或列表的方法求游戏者获胜的概 率是多少？
【分析】（1）根据几何概率的意义求解即可；
（2）用列表法同时转动两个转盘，指针指向区域所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率．
【解答】解：（1） B 转盘被分成了面积相等的三个扇形，且红色区域占一个扇形，
1
红色区域占整体的 ，
3
转动 A 转盘一次，指针指向红色的概率是 1 ；
3
故答案为： 1 ；
3
（2） B 盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120 ，
 A 盘红色扇形区域所占的圆心角是360  120  240 ，
在 A 盘中， S红色扇形  2S蓝色扇形 ，
用列表法表示同时转动两个转盘，指针指向区域所有可能出现的结果情况如下：
共有 9 种等可能出现的结果，其中“能配成紫色”的有 5 种，
 “能配成紫色”的概率为 5 ，
9
5
答：游戏者获胜的概率是 ．
9
【2023-2024 学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷第 12 题 4 分】
在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 20 个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试
验发现，摸出红球的频率稳定在 0.25 左右，则袋子中黄球的个数可能是15个．
【分析】根据摸出红球的频率稳定在 0.25 左右可得摸出黄球的概率约为1  0.25  0.75 ，再利用概率公式计算．
【解答】解：设袋子中黄球的个数为 x 个，
x  1  0.25 ，
20
解得 x  15 ，
即袋子中黄球的个数可能是 15 个． 故答案为：15．
红
红
蓝
红
（红，红）
（红，红）
（红，蓝）
蓝
（蓝，红）
（蓝，红）
（蓝，蓝）
蓝
（蓝，红）
（蓝，红）
（蓝，蓝）
【2023-2024 学年山东省济南市平阴县九年级（上）期末数学试卷第 8 题 4 分】
为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第 41 批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级 学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为( )
1
2
1
3
1
6
1
9
【分析】画树状图，共有 9 种等可能的结果，其中七、八年级选择的影片相同的结果有 3
种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把三部影片分别记为 A 、 B 、C ， 画树状图如下：
共有 9 种等可能的结果，其中七、八年级选择的影片相同的结果有 3 种，
这两个年级选择的影片相同的概率为 3  1 ，
93
故选： B ．
【题型 2：数据分析综合】
【2023-2024 学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷第 20 题 8 分】
为提高学生的法律意识，某中学开展了一系列的法律进校园活动，组织九年级全体学生进行 了《法律知识知多少》知识竞答，学校随机抽取 m 名学生的竞答成绩，对成绩（百分制） 进行整理、描述和分析，成绩划分为 A（90≤x≤100），B（80≤x＜90），C（70≤x＜80）， D（60≤x＜70），四个等级，并制作出不完整的统计图，如图所示．
已知： B 等级数据（单位：分）: 80 、80、81、82、85、86、86、87、88、89． 根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： m ， n ；
补全条形统计图；
抽取的 m 名学生中，成绩的中位数是 分，在扇形统计图中， C 等级扇形圆心角的度数是 ；
这所学校共有 2100 名学生，若全部参加这次竞答，请你估计成绩能达到 B 等级及以上的学生人数．
【分析】（1）用 D 组的人数和所占的百分比求出 m ，用 B 组的人数除以 m 求出 n ；
用总人数减去 A 、 B 、 D 组的人数求出C 组的人数，补全统计图即可；
根据 m 的值和各组的人数求出中位数，用360 乘以C 等级所占的百分比即可；
用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）学校随机抽取的学生数 m  5 10%  50 ，
n%  10  50  20% ，
 n  20 ．
故答案为：50，20；
（2） C 组的人数： 50  20  10  5  15 （人) ，
补全条形统计图如图：
（3）样本容量为 50，第 25 和 26 个数据为 85 和 86，
抽取的 50 名学生的成绩的中位数是 85  86  85.5 ，
2
360 15  108 ，
50
即在扇形统计图中， C 等级扇形圆心角的度数是108 ． 故答案为：85.5，108 ；
（3） 2100  (1  20)  1260 （人) ，
50
答：成绩能达到 B 等级及以上的学生人数约为 1260 名．
【2023-2024 学年山东省济南市平阴县九年级（上）期末数学试卷第 21 题 8 分】
某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况，随 机调查了九年级 1 班的所有学生在家劳动时间（单位：小时），并进行了统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图．根据图表信息回答以下问题：
类别
劳动时间
x
A
0≤x＜1
B
1≤x＜2
九年级 1 班的学生共有 50人，补全条形统计图；
已知 E 类学生中恰好有 2 名女生 3 名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．
【分析】（1）由 C 的人数及对应的百分数可得九年级 1 班的学生共有 50 人；求出 B 的人数为 14 人， D 的人数为 8 人，再补全条形统计图；
（2）列树状图用概率公式可得答案．
【解答】解：（1）15  30%  50 （人) ，
九年级 1 班的学生共有 50 人；
 B 的人数为50  28%  14 （人) ，
 D 的人数为50  8  14  15  5  8 （人) ， 补全条形统计图如下：
故答案为：50；
（2）列树状图如下：
由图可知，一共有 20 中等可能的情况，其中恰为一男一女的情况有 12 种，
所抽的两名学生恰好是一男一女的概率是 P  12  3 ．
205
C
2≤x＜3
D
3≤x＜4
E
4≤x
【2023-2024 学年山东省济南市章丘区九年级（上）期末数学试卷第 23 题 10 分】
第 31 届世界大学生运动会将于 2023 年 7 月 28 日至 8 月 8 日在成都举行，某校开展了“爱成
都，迎大运”系列活动，增设篮球，足球，柔道，射击共四个课外活动项目．为了解全校 1500 名同学对增设的四个活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜 爱的项目（每人限选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条 形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：
参加问卷调查的同学共 60 名，补全条形统计图；
估计该校 1500 名同学中喜爱篮球运动的人数；
学校准备组建一支校篮球队，某班甲，乙，丙，丁四名同学平时都很喜欢篮球运动， 现决定从这四人中任选两名同学加入球队，请你用树状图或列表法求恰好选中甲，乙两名同 学的概率．
【分析】（1）用喜爱足球的人数除以其所占的百分比可得参加问卷调查的同学的人数；用参加问卷调查的同学的人数分别减去喜爱篮球、足球、射击的人数，求出喜爱柔道的人数， 补全条形统计图即可．
根据用样本估计总体，用 1500 乘以参加问卷调查的同学中喜爱篮球运动的人数的百分比，即可得出答案．
画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选中甲、乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）参加问卷调查的同学的人数为12  20%  60 （名) ．
故答案为：60．喜爱柔道的人数为60  18  12  14  16 （名) ． 补全条形统计图如图所示．
（2）1500  18  450 （人) ．
60
该校 1500 名同学中喜爱篮球活动的人数大约 450 人．
（3）画树状图如下：
由图可知，共有 12 种等可能结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有 2 种，
恰好选中甲、乙两名同学的概率为 2  1 ．
126
【2023-2024 学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷第 20 题 8 分】
随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式( A 微信，B 支付宝， C 现金， D 其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果， 绘制成如图统计图．
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
a  20 人， b ，在扇形统计图中C 种支付方式所对应的圆心角为 度；
本次调查中用现金支付方式的居民里有 2 名男性，其余都是女性，现从该种支付方式
中随机选 2 名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．
【分析】（1）根据统计图中的信息列式计算即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到 1 个男生
和 1 个女生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1） a  7 14%  40%  20 （人) ， b  7  14%  5  7  20  18 （人) ，在扇
形统计图中C 种支付方式所对应的圆心角为360
故答案为：20 人，18 人，36；
（2）设男生为 A ，女生为 B ，画树状图得：
5
7 14%
 36 ，
共有 20 种等可能的结果，恰好抽到都是女性的有 6 种情况，
恰好都是女性的概率 6  3 ．
2010
【2022-2023 学年山东省济南市章丘区九年级（上）期末数学试卷第 23 题 10 分】
某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校 学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
这次被调查的学生共有多少名？
请将条形统计图补充完整；
若该校有 3000 名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选 取 2 名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；
总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；
用样本估计总体的思想解决问题；
根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）这次被调查的学生人数为 15÷30%＝50（名）；
（2）喜爱“体育”的人数为 50﹣（4+15+18+3）＝10（名）， 补全图形如下：
估计全校学生中喜欢体育节目的约有 3000×＝600（名）；
列表如下：
所有等可能的结果为 12 种，恰好选中甲、乙两位同学的有 2 种结果， 所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为＝．
甲
乙
丙
丁
甲
﹣﹣﹣
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
﹣﹣﹣
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
﹣﹣﹣
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
﹣﹣﹣
【题型 1：成比例线段】
第三章 图形的相似
【2021-2022 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 2 题 4 分】如图，练习本中的横格线都平行且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A， B，C 都在横格线上．若线段 AB＝6，则线段 AC 的长为（ ）
A．12B．18C．24D．30
【分析】根据已知图形构造相似三角形，进而得出△ABD∽△ACE，即可求出 AC 的长．
【解答】解：如图所示：过点 A 作平行线的垂线，交点分别为 D，E，
∵BD∥CE，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：AC＝24， 故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
【2021-2022 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 15 题 4 分】
如图，a∥b∥c，直线 m、n 与 a、b、c 分别相交于点 A、B、C 和点 D、B、F．若 AB＝3， BC＝5，DE＝4，则 EF 的长为 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，AB＝3，BC＝5，DE＝4，
∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得，EF＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【题型 2：相似模型】
【2021-2022 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 7 题 4 分】
如图所示，△ADE∽△ABC，若 AD＝1，AB＝2，则△ADE 与△ABC 的相似比是（）
A．1：2B．1：3C．2：1D．3：2
【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比求解．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，
∴△ADE 与△ABC 的相似比为 AD：AB＝1：2． 故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
【2021-2022 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 10 题 4 分】
如图，在平行四边形 ABCD 中，点 F 是 AD 上的点，AF＝2FD，直线 BF 交 AC 于点 E， 交 CD 的延长线于点 G，则的值为（）
A． B． C． D．
【分析】由 AF＝2DF，可以假设 DF＝k，则 AF＝2k，AD＝3k，证明 AB＝AF＝2k，DF
＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解答】解：由 AF＝2DF，可以假设 DF＝k，则 AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
【2021-2022 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 14 题 4 分】
如图，D 为△ABC 的边 AC 上的一点，若要使△ABD 与△ACB 相似，可添加一个条件： ∠ABD
＝∠C（答案不唯一）．
【分析】两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角即可．
【解答】解：要使△ABC 与△ABD 相似，还需具备的一个条件是∠ABD＝∠C 或∠ADB
＝∠ABC 等．
故答案为：∠ABD＝∠C（答案不唯一）．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
【2021-2022 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 9 题 4 分】
如图，已知△ABC∽△ACP，∠A＝70°，∠APC＝65°，则∠B 的度数为（）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【分析】根据相似三角形对应角相等可得∠ACB＝∠APC＝65°，再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵△ABC∽△ACP，
∴∠ACB＝∠APC＝65°，
∵∠A＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣65°＝45°． 故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键．也考查了三角形内角和定理．
【2021-2022 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 17 题 4 分】
如图，在△ABC 中，点 D 是边 AB 上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边
AC 的长为 4．
【分析】通过证明△ADC∽△ACB，可得 AC2＝AB×AD＝16，即可求 AC 的长．
【解答】解：∵AD＝2，BD＝6，
∴AB＝AD+DB＝8，
∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ，
∴AC2＝AB×AD＝16
∴AC＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ADC∽△ACB 是本题的关键．
【2022-2023 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 23 题 8 分】
如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC＝120mm，高 AD＝80mm，要把它加工成矩形零件 PQMN，使一边在 BC 上，其余两个顶点分别在边 AB、AC 上．
当点 P 恰好为 AB 中点时，PQ＝ 60mm．
当 PQ＝40mm，求出 PN 的长度．
若这个矩形的边 PN：PQ＝1：2．则这个矩形的长、宽各是多少 7．
【分析】（1）根据三角形中位线定理即可得到结论；
根据矩形的对边平行得到 BC∥PQ，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．
设宽为 x mm，则长为 2x mm，根据相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形 PNQM 为矩形，
∴MN∥PQ， 即 PQ∥BC，
∵点 P 恰好为 AB 中点时，
∴AP＝BP，
∴AQ＝CQ，
∴PQ＝ BC＝ 120＝60（mm）， 故答案为：60mm；
∵四边形 PNMQ 为矩形，
∴PQ∥BC，
∵AD⊥BC，
∴PQ⊥AD，
∴△APQ∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AH＝ ，
∴PN＝HD＝ （mm）；
设边宽为 x mm，则长为 2x mm，
∵四边形 PNMQ 为矩形，
∴PQ∥BC，
∵AD⊥BC，
∴PQ⊥AD，
∵PN：PQ＝1：2，
∴PQ 为长，PN 为宽，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴ ，
由题意知 PQ＝2x mm，AD＝80mm，BC＝120mm，PN＝x mm，
∴ ＝，
解得 x＝，2x＝ ．
答：矩形的长
mm，宽为
mm．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比， 熟记性质并列出比例式是解题的关键．
【题型 3：图形的位似】
【2021-2022 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 14 题 4 分】
如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，O 为位似中心，若△ABC 与△A′B′C′的面积之比为 1： 4，则 CO：C′O 的值为 1：2．
【分析】根据位似图形的性质知：BC∥C′B′，则△BCO∽△B′C′O′，根据该相似三角形的 对应边成比例得到答案．
【解答】解：如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，O 是位似中心，
∵△ABC 与△A′B′C′的面积之比为 1：4，
∴△ABC 与△A′B′C′的相似比为 1：2．
∵△ABC 与△A′B′C′是位似图形，
∴△BCO∽△B′C′O′．
∴CO：C′O＝BC：B′C′＝1：2． 故答案为：1：2．
【点评】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质：两个图形的对应边平行，面积的比等于位似比的平方是解题的关键．
【2022-2023 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 5 题 4 分】
如图，在平面直角坐标系中△AOB 与△COD 是位似图形，以原点 O 为位似中心，若 AC
＝2OA，B 点坐标为（4，2），则点 D 的坐标为（）
A．（8，4）B．（8，6）C．（12，4）D．（12，6）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵AC＝2OA，
∴OA：OC＝1：3．
∴△AOB 与△COD 的位似比为．
∵B 点坐标为（4，2），
∴点 D 的坐标为（4×3，2×3），即 D（12，6）． 故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或﹣k．
【2021-2022 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 20 题 6 分】
如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（3，1），B（1，2），C（4，3）．
以原点 O 为位似中心，在第一象限内将△ABC 放大为原来的 2 倍得到△A1B1C1， 作出△A1B1C1，写出 A1，B1，C1 的坐标；
四边形 AA1B1B 的面积为 7.5．
【分析】（1）根据位似变换的性质分别作出 A，B，C 的对应点 A1，B1，C1 即可；
（2）把四边形面积看成矩形面积减去周围四个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1 即为所求作．A1（6，2），B1（2，4），C1（8，6）；
（2）四边形 AA1B1B 的面积＝3×5﹣ ×1×2﹣ ×1×3﹣ ×2×4﹣ ×1×2＝7.5．
故答案为：7.5
【点评】本题考查作图﹣位似变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换
的性质，属于中考常考题型．
【题型 4：相似的实际应用】
【2021-2022 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 8 题 4 分】
如图，小明用长为 3m 的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆 AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB＝12m，则旗杆 AB 的高为（）
A．7mB．8mC．6mD．9m
【分析】先证明△OCD∽△OAB，则根据相似三角形的性质得到 ＝ ，然后利用比例的性质求 AB 即可．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AB＝9，
即旗杆 AB 的高为 9m． 故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
【2021-2022 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 24 题 10 分】
某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课 余时间完成了实地测量．他们在旗杆底部所在的平地上，放置一个平面镜 E 来测量学校旗杆的高度，当镜子中心与旗杆的距离 EB＝20 米，镜子中心与测量者的距离 ED＝2 米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆的顶端点 A．已知测量者的身高为 1.6 米，测量者的眼睛距地面的高度为 1.5 米，求学校旗杆的高度是多少米．
在计算过程中 C，D 之间的距离应是 1.5 米．
根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校旗杆 AB 的高度．
该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
【分析】（1）根据题意可得出答案；
根据反射定律可以推出∠1＝∠2，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的 性质解答．
根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到（答案不唯一）．
【解答】解：（1）∵测量者的眼睛距地面的高度为 1.5 米，
∴CD＝1.5 米． 故答案为：1.5；
结合光的反射原理得：∠CED＝∠AEB． 在 Rt△CED 和 Rt△AEB 中，
∵∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，
∴Rt△CED∽Rt△AEB，
∴ ，
即 ，
解得 AB＝15（m）．
答：旗杆 AB 的高度是 15m．
受天气条件影响，没有太阳光线，或旗杆底部不可能到达．
【点评】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
【2021-2022 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 25 题 10 分】在平面直角坐标系中，已知 OA＝10cm，OB＝5cm，点 P 从点 O 开始沿 OA 边向点 A 以2cm/s 的速度移动；点 Q 从点 B 开始沿 BO 边向点 O 以 1cm/s 的速度移动．如果 P、Q 同时出发，用 t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
用含 t 的代数式表示：线段 PO＝ 2tcm；OQ＝ （5﹣t）cm．
当 t 为何值时△POQ 的面积为 6cm2？
当△POQ 与△AOB 相似时，求出 t 的值．
【分析】（1）由运动知，OP＝2t cm，OQ＝（5﹣t）cm，得出结论；
根据△POQ 的面积为 6cm2，建立方程 6＝×2t×（5﹣t），解方程即可求出答案；
分△POQ∽△AOB 或△POQ∽△BOA 两种情况，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案．
【解答】解：（1）由运动知，OP＝2t cm，OQ＝（5﹣t）cm， 故答案为：2t，（5﹣t）；
（2）由（1）知，OP＝2t cm，OQ＝（5﹣t）cm，
∵△POQ 的面积为 6cm2，
∴6＝ ×2t×（5﹣t），
∴t＝2 或 3，
∴当 t＝2 或 3 时，三角形 POQ 的面积为 6cm2．
（3）∵△POQ 与△AOB 相似，∠POQ＝∠AOB＝90°，
∴△POQ∽△AOB 或△POQ∽△BOA，
∴ 或，
当 ，则 ，
∴t＝ ，
当 时，则 ，
∴t＝1，
∴当 t＝或 1 时，△POQ 与△AOB 相似．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了三角形的面积公式，相似三角形的性质，用方程的思想是解本题的关键．
【题型 5：相似的简单证明】
【2021-2022 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 21 题 6 分】
如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 边上一点，连接 CE，F 为 CE 上一点，且∠DFE
＝∠A．求证：△DCF∽△CEB．
【分析】由平行四边形的性质可得∠A+∠B＝180°，∠DCF＝∠BEC．然后根据相似三角 形的判定可得结论．
【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴∠A+∠B＝180°，∠DCF＝∠BEC．
∵∠DFC+∠DFE＝180°，∠DFE＝∠A，
∴∠DFC＝∠B，
∴△DCF∽△CEB．
【点评】此题考查的是相似三角形的判定、平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质定理是解决此题关键．
【2021-2022 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 20 题 6 分】如图， 点 D、E 分别是△ABC 的边 AC、AB 上的点，且∠ADE＝∠B，其中 AE＝1.5，AC＝2， BC＝3，求 DE 的长．
【分析】利用两角相等的两个三角形相似先证明△ADE∽△ABC，然后可得相似三角形的对应边成比例，进行计算即可．
【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握两角相等的两个三角形相似是解题的关键．
【题型 6：三角形相似的综合】
【2021-2022 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 26 题 12 分】
如图，Rt△ABC 和 Rt△ADE 中，∠ACB＝∠ADE＝90°，∠ABC＝∠AED＝α．
（1）当α＝30°时，
①当点 D，E 分别落在边 AC，AB 上，猜想 BE 和 CD 的数量关系是 ；
②当△ADE 绕点 A 旋转到如图 2 的位置时（45°＜∠CAD＜90°）．分别连接 CD，BE， 则①的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由．
如图，Rt△ABC 和 Rt△ADE 中，∠ACB＝∠ADE＝90°，∠ABC＝∠AED＝α．
（1）当α＝30°时，
①当点 D，E 分别落在边 AC，AB 上，猜想 BE 和 CD 的数量关系是 BE＝2CD；
②当△ADE 绕点 A 旋转到如图 2 的位置时（45°＜∠CAD＜90°）．分别连接 CD，BE， 则①的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由．
（2）当α＝45°时，将△ADE 绕点 A 旋转到∠DEB＝90°，若 AC＝10，AD＝2，直接写出线段 CD 的长．
【分析】（1）①由直角三角形的性质可得 AB＝2AC，AE＝2AD，可得 BE＝AB﹣AE＝2
（AC﹣AD）＝2CD；
②通过证明△CAD∽△BAE，可得结论；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．
【解答】（1）①解：∵∠ACB＝∠ADE＝90°，∠ABC＝∠AED＝30°，
∴AB＝2AC，AE＝2AD，
∴BE＝AB﹣AE＝2（AC﹣AD），
∵CD＝AC﹣CD，
∴BE＝2CD，
故答案为：BE＝2CD；
②解：结论仍然成立，理由如下：
∵AB＝2AC，AE＝2AD，
∴ ，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAD＝∠BAE，
∴△CAD∽△BAE，
∴ ，
∴BE＝2CD；
（2）当点 E 在 AB 右侧时，如图 3，过点 A 作 AF⊥BE，交 BE 的延长线于 F，
∵∠ABC＝∠AED＝α＝45°，
∴△ACB，△ADE 是等腰直角三角形，
∴AB＝ AC＝10 ，AE＝ AD，∠BAC＝∠DAE＝45°，
∴∠DAC＝∠BAE， ＝ ，
∴△ADC∽△AEB，
∴ ，
∴CD＝ BE，
∵∠DEB＝∠DEF＝90°，AF⊥BF，∠ADE＝90°，
∴四边形 ADEF 是矩形，
∴AF＝DE＝2 ，EF＝AD＝2 ，
∴BF＝ ＝ ＝6 ，
∴BE＝4 ，
∴CD＝2 ；
当点 E 在 AB 的左侧时，如图 4，过点 A 作 AF⊥BE 于点 F，
同理可求：BF＝6 ，
∴BE＝8 ，
∴CD＝4 ；
综上所述：CD 的长为 2或 4．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质， 利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【2021-2022 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 26 题 12 分】
如图 1，在△ABC 中，∠BCA＝90°，AC＝3，BC＝4，点 P 为斜边 AB 上一点，过点 P 作射线 PD⊥PE，分别交 AC、BC 于点 D，E．
问题产生
若 P 为 AB 中点，当 PD⊥AC，PE⊥BC 时，＝ ；
问题延伸
在（1）的情况下，将若∠DPE 绕着点 P 旋转到图 2 的位置，的值是否会发生改变？ 如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；
问题解决
如图 3，连接 DE，若△PDE 与△ABC 相似，求 BP 的值．
【分析】（1）可将转化为，进而根据△BEP∽△BCA 求得结果；
作 PG⊥AC 于 G，作 PH⊥BC 于 H，证明△PHE∽△PGD，进一步求得结果；
当△PDE∽△CAB 时，可证得点 C、D、P、E 共圆，进一步证得△BPC∽△BCA， 进而求得 BP，当△PDE∽△CBA 时，则∠PDE＝∠B，同样得出∠PDE＝∠PCB，进而推出点 P 是 AB 的中点，从而求得 BP．
【解答】解：（1）∵PD⊥AC，PE⊥BC，
∴∠PDC＝∠PEC＝∠C＝90°，
∴四边形 CDPE 是矩形，
∴PD＝CE，PE∥AC，
∴△BEP∽△BCA，
∴ ＝ ， ，
∴BE＝ ，
∴CE＝BE，
∴ ，
故答案为：
如图 1，
的值不变，理由如下：
作 PG⊥AC 于 G，作 PH⊥BC 于 H，
∴∠PGC＝∠PHC＝∠C＝90°，
∴四边形 PHCG 是矩形，
∴∠GPH＝90°，
∵PD⊥PE，
∴∠DPE＝90°，
∴∠DPE＝∠GPH，
∴∠HPE＝∠DPG，
∴△PHE∽△PGD，
∴ ＝ ，
由（1）得： ，
∴ ；
如图 2，
连接 CP，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
当△PDE∽△CAB 时，则∠PDE＝∠A，
∵∠DPE+∠ACB＝90°+90°＝180°，
∴点 C、D、P、E 共圆，
∴∠PDE＝∠BCP，
∴∠BCP＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BPC∽△BCA，
∴ ，
∴ ，
∴PB＝ ， 如图 3，
当△PDE∽△CBA 时，则∠PDE＝∠B，
由图 2 知，∠PDE＝∠PCB，
∴∠B＝∠PCB，
∴PC＝PB，
同理可得：PC＝PA，
∴PB＝PA，
∴PB＝ ＝ ，
综上所述：BP＝ 或 ．
【点评】本题考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，直角三角形性质等知识，解决问题的关键是把已知相似三角形转化为另外的相似三角形．
【2021-2022 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 26 题 12 分】
如图 1，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝30°，连接
BE，CD 交于点 F．则＝ 1；∠BFC＝ 30°．
如图 2，在矩形 ABCD 和△DEF 中，AD＝ CD，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，连
接 AF 交 CE 的延长线于点 G．求的值及∠AGC 的度数，并说明理由；
在（2）的条件下，将△DEF 绕点 D 在平面内旋转，AF，CE 所在直线交于点 G， 若 DE＝1，AD＝，当点 G 与点 E 重合时，直接写出 AF 的长．
【分析】（1）利用 SAS 判断出△CAD≌△BAE，得出 CD＝BE，再用三角形的外角的性质，即可得出结论；
先判断出 ，进而判断出△ADF∽△CDE，即可得出结论；
先求出 EF＝2，设出 CE，进而表示出 AE，分两种情况：用勾股定理求出 CE，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝30°，
∴∠BAC+∠BAD＝∠DAE+∠BAD，
∴∠CAD＝∠BAE，
∵AC＝AB，AD＝AE，
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴CD＝BE，
∴ ＝1，
∵△CAD≌△BAE（SAS），
∴∠ACD＝∠ABE，
∴∠BFC＝∠ACD+∠AEB＝∠ABE+∠AEB＝∠BAC＝30°， 故答案为 1，30°；
如图 2，∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ADC＝90°，AB＝CD，
∵AD＝ CD，
∴ ＝，
在 Rt△DEF 中，∠DEF＝60°，
∴tan∠DEF＝ ，
∴ ＝，
∴ ，
∵∠EDF＝90°＝∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDE，
∴△ADF∽△CDE，
∴＝ ，∠DAF＝∠DCE，
AD 与 CG 的交点记作点 O，
∵∠DCE+∠COD＝90°，
∴∠DAF+∠AOG＝90°，
∴∠AGC＝90°；
当点 E 在 AF 上时，如图 3，
连接 AC，在 Rt△ADC 中，AD＝，
∴AB＝ AD＝，
根据勾股定理得，AC＝2 ，
由（2）知， ，
∴AF＝ CE，
设 CE＝x．则 AF＝x，
在 Rt△DEF 中，∠DEF＝60°，DE＝1，
∴EF＝2，
∴AE＝AF﹣EF＝ x﹣2， 由（2）知，∠AEC＝90°，
在 Rt△ACE 中，AE2+CE2＝AC2，
∴（ x﹣2）2+x2＝28，
∴x＝﹣ （舍）或 x＝2，
∴AF＝ x＝6，
当点 F 在 AE 上时，如图 4， 设 CE＝a，则 AF＝a，
∴AE＝AF+EF＝ a+2，
在 Rt△ACE 中，AC＝2，根据勾股定理得，（ a+2）2+a2＝28，
∴a＝ 或 a＝﹣2（舍去），
∴AF＝3，
即满足条件的 AF 的长为 3 或 6．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，判断出△ADF∽△CDE 是解本题的关键
第四章反比例函数
【题型 1：反比例函数基本性质】
【2023-2024 学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷第 4 题 4 分】
已知反比例函数 y  k 的图象经过点(1, 2) ，则 k 的值是()
x
3
2
C．3D．  3
2
【分析】直接将点(1, 2) 代入反比例函数 y  k 中，即可求解．
x
【解答】解：将点(1, 2) 代入反比例函数 y  k ，
x
得： 2  k ，
1
解得： k  2 ， 故选： B ．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，准确计算是解题的关键．
【2023-2024 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 7 题 4 分】
关于反比例函数 y  2 ，下列结论正确的是()
x
A．图象位于第二、四象限B．当 x  0 时， y 随 x 的增大而减小
当 x  2 时， y  1
图象与坐标轴有交点
【分析】利用反比例函数的图象和性质进行分析得出答案．
【解答】解：反比例函数 y  2 ，图象在第一、三象限，与坐标轴没有公共点，故 A 选项和
x
D 选项不符合题意；
当 x  0 时，图象在第三象限， y 随 x 的增大而减小，故 B 选项符合题意；
当 x  2 时， y  1 ，
当 x  2 时，图象在第一象限， y 随 x 的增大而减小，
当 x  2 时， y  1 ，故C 选项不符合题意； 故选： B ．
【点评】本题考查了反比例函数图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【2023-2024 学年山东省济南市平阴县九年级（上）期末数学试卷第 3 题 4 分】
下列函数中，函数值 y 随 x 的增大而减小的是()
y  6x
y  6x
y  6
x
y   6
x
【分析】已知抛物线的顶点式，根据顶点式反映出的性质，逐一判断．
【解答】解：二次函数 y  (x  2)2  3 中 a  1  0 ，
二次函数的图象开口向上，
对称轴是直线 x  2 ，顶点坐标是(2,3) ，
函数有最低点(2, 0) ，当 x  2 时， y 随 x 的增大而增大． 令 y  (x  2)2  3 中的 x  0 解得： y  7 ，
 A 、 B 、C 选项错误，不符合题意；
D 选项说法正确，符合题意． 故选： D ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，从抛物线的顶点式可知抛物线的开口方向，顶点坐标， 对称轴，最高（最低）点坐标，增减性等．
【2022-2023 学年山东省济南市长清区九年级（上）期末数学试卷第 6 题 4 分】
若点（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在反比例函数 y＝（k＜0）的图象上，则下列结论中正确的是（）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y1
【分析】先判断出反比例函数 y＝的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特点进行判断即可．
【解答】解：∵k＜0，
∴反比例函数 y＝（k＜0）的图象在二、四象限，
∴点（﹣1，y1）在第二象限，y1＞0；（1，y2），（2，y3）在第四象限，y2＜0，y3＜0，
∵在第四象限内 y 随 x 的增大而增大，
∴0＞y3＞y2，
∴y1＞y3＞y2． 故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【题型 2：反比例函数几何意义】
【2023-2024 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 13 题 4 分】
如图， A 是反比例函数 y  k 的图象上一点， AB  y 轴于点 B ，若ABO 的面积为 2，则 k
x
的值为 4．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三 角形面积 S 是个定值，即 S  1 | k | ．
2
【解答】解：根据题意可知： S
AOB
 1 | k | 2 ，
2
又反比例函数的图象位于第一、三象限， k  0 ，
 k  4 ．
故答案为：4．
【点评】主要考查了反比例函数 y  k 中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴
x
垂线，所得三角形面积为 1 | k | ，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，
2
做此类题一定要正确理解 k 的几何意义．
【2022-2023 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 14 题 4 分】
如图，点 B 在反比例函数 y＝（x＞0）的图象上，点 C 在反比例函数 y＝﹣（x＞0）的图象上，且 BC∥y 轴，AB⊥BC，垂足为点 B，交 y 轴于点 A，则△ABC 的面积为 5．
【分析】过 C 点作 CH⊥y 轴于 H 点，BC 交 x 轴于 D，如图，利用反比例函数系数 k 的几何意义得到 S 矩形 OABD＝4，S 矩形 ODCH＝6，则 S 矩形 ABCH＝10，然后根据矩形的性质得到△ABC的面积．
【解答】解：过 C 点作 CH⊥y 轴于 H 点，BC 交 x 轴于 D，如图
∵BC∥y 轴，AB⊥BC，
∴四边形 ABDO 和四边形 ODCH 都是矩形，
∴S 矩形 ABDO＝4，
S 矩形 ODCH＝|6|＝6，
∴S 矩形 ABCH＝4+6＝10，
∴△ABC 的面积＝S 矩形 ABCH＝5． 故答案为：5．
【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义：在反比例函数 y＝图象中任取一点，
过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是
|k|，且保持不变．
【2022-2023 学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷第 9 题 4 分】
如图，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在反比例函数与 的图象上，点 C、D 在 x 轴上，AB、BD 分别交 y 轴于点 E、F，则阴影部分的面积等于（）
A． B．2C． D．
【分析】设 A（a，），a＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段 OD，OE，OC，OF， EF，利用三角形的面积公式，即可得答案．
【解答】解：设点 A 的坐标为（a，），a＞0，则 OD＝a，OE＝，
∴点 B 的纵坐标为，
∴点 B 的横坐标为﹣，
∴OC＝ ，
∴BE＝ ，
∵AB∥CD，
∴ ，
∴EF＝ OE＝ ，OF＝ OE＝ ，
∴S△BEF＝ EF•BE＝ × × ＝ ，
S△ODF＝ OD•OF＝ ×a× ＝ ，
∴S 阴影＝S△BEF+S△ODF＝＝ ． 故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标 的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键
【2022-2023 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 14 题 4 分】
如图是反比例函数 y＝和 y＝（k＞3）在第一象限的图象，直线 AB∥x 轴，并分别交两条双曲线于 A、B 两点，若 S△AOB＝4，则 k＝ ．
【分析】应用反比例函数比例系数 k 的几何意义，表示△BOC、△AOC 的面积，利用 S△BOC
﹣S△AOC＝S△AOB 构造方程即可．
【解答】解：如图，设直线 AB 与 y 轴交于点 C，
由反比例函数比例系数 k 的几何意义可知，
S△BOC＝ k， S△AOC＝ ，
∵S△BOC﹣S△AOC＝S△AOB＝4，
∴ ﹣ ＝4，
∴k＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数 k 的几何意义，解答时注意观察图中三角形面积关
系以构造方程．
【题型 3：反比例函数求 k】
【2023-2024 学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷第 16 题 4 分】
如图，A 、B 两点在反比例函数 y  k 的图象上，过点 A 作 AC  x 轴于点C ，交OB 于点 D ，
x
若 BD  2DO ， AOD 的面积为 1，则 k 的值为 ．
【分析】过点 B 作 BE  x 轴于点 E ，设OC  a ，则点 A(a, k ) ，进而得 AC  k ，由 BD  2DO
得 OB  3DO
， 证 ODC
和 OBE
a
相 似 得 OC  CD  DO  1
a
， 则 OE  3OC  3a ，
OEBEOB3
CD  1 BE ，可得点 B(3a, k ) ，进而得 BE  k ，则CD  1 BE  k ， AD  AC  CD  8k ，
33a3a39a9a
再根据AOD 的面积为 1，得 1 AD  OC  1 ，即 1  8k  a  1 ，由此解出 k 即可．
22 9a
【解答】解：过点 B 作 BE  x 轴于点 E ，如图所示：
设OC  a ，

点 A 在反比例函数 y  k 的图象上，且 AC  x 轴于点C ，
x
点 A 的坐标为
 AC  k ，
a
 BD  2DO ，
k
(a, ) ，
a
OB  DO  BD  3DO ，
 AC  x 轴， BE  x 轴，
 AC / / BE ，
ODC∽OBE ，
 OC  CD  DO  1 ，
OEBEOB3
OE  3OC  3a ， CD  1 BE ，
3

点 B 在反比例函数 y  k 的图象上，且 BE  x 轴于点 E ，
x
点 B 的坐标为(3a, k ) ，
3a
 BE  k ，
3a
CD  1 BE  k ，
39a
 AD  AC  CD  k  k
a9a
AOD 的面积为 1，
 1 AD  OC  1 ，
2
即 1  8k  a  1 ，
2 9a
解得： k  9 ．
4
故答案为： 9 ．
4
 8k ，
9a
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点的坐标，相似三角形点 的判定和性质，解决问题的关键是通过设 AC  a ，利用相似三角形的性质用含有 a 的代数式分别表示出点 A ， B 的坐标，进而根据AOD 的面积列出方程求出 k 的值．
【2023-2024 学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷第 15 题 4 分】
如图，点 A 是反比例函数 y  k (x  0) 图象上的一点，过 A 作 AB  x 轴于点 B ，点 D 为 x 轴
x
正半轴上一点且 DO  2BO ，连接 AD 交 y 轴于点C ，连接 BC ．若COD 的面积为 8，则 k
的 值 为 12 ．
【分析】设 A(m, k ) ，则 OB  m ， AB  k
，由 DO  2BO ， COD 的面积为 8，得出
mm
BD  3OB  3m ， COB 的面积为 4，即可得出 1  (m)  k   3k  12 ，求出 k 的值即可．
2m2
【解答】解：设 A(m, k ) ，则OB  m ， AB  k ，
mm
 DO  2BO ， COD 的面积为 8，
 BD  3OB  3m ， COB 的面积为 4，
ABD 的面积为 1  (3m)  k   3k ，
2m2
ABC 的面积为 3k  12 ，
2
 1  (m)  k   3k  12 ，
2m2
解得 k  12 ，
故答案为： 12 ．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数 k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征， 根据题意得到关于 k 的方程是解题的关键．
【2023-2024 学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷第 15 题 4 分】
如图，在RtAOB 中，AOB  90 ，tan BAO  2 ，顶点 A ，B 分别在反比例函数 y  3 (x  0)
x
和反比例函数 y  k (x  0) 的图象上，则 k 的值为
x
12．
【分析】过点 A 作 AC  x 轴于点C ，过点 B 作 BD  x 轴于点 D ，然后结合相似三角形的性质、三角函数以及 k 的几何意义，即可求解．
【解答】解：过点 A 作 AC  x 轴于点C ，过点 B 作 BD  x 轴于点 D ，如图，
BDO  OCA  90 ，
OBD  BOD  90 ，
AOB  90 ，
BOD  COA  90 ，
OBD  COA ，
BOD∽OAC ，
 SBOD  (OB )2 ，
SOACOA
 tan BAO  2 ，
 SBOD  (OB )2  22  4 ，
SOAC
 SOAC
 SBOD
OA
 1  | 3 | 3 ，
22
 1  | k | 4  3 ，
22
解得 k  12 ，

反比例函数 y  k (x  0) 的图象位于第二象限，
x
 k  0 ，
 k  12 ．
故答案为： 12 ．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、反比例函数的性质以及三角函数，解题 时注意掌握数形结合的应用，注意掌握辅助线的作法．
【2022-2023 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 7 题 4 分】
如图，点 A（2，m）在双曲线 y＝（k 是常数）位于第一象限的图象上，AB⊥x 轴，B 为垂足，tan∠AOB＝2，则 k 的值是（）
A．1B．2C．4D．8
【分析】根据锐角三角函数求出 m，进而求出点 A 坐标，最后用待定系数法即可求出 k．
【解答】解：∵AB⊥x 轴，B 为垂足，tan∠AOB＝2，
∴ ＝2，
∵点 A（2，m）在双曲线 y＝（k 是常数）位于第一象限的图象上，
∴OB＝2，AB＝m，
∴m＝4，
∴A（2，4），
∴k＝2×4＝8； 故选：D．
【点评】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数，待定系数法，求出点 A
的坐标是解题的关键．
【题型 4：反比例函数图象共存问题】
【2023-2024 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 9 题 4 分】
一次函数 y  ax  b 与反比例函数 y  ab (a ， b 为常数且均不等于0) 在同一坐标系内的图象
x
可能是( )
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数图象判定 a 、b 的符号，根据 ab 的符号判定反比例函数图象所在的象限．
【解答】解： A 、一次函数 y  ax  b 的图象经过第一、二、三象限，则 a  0 ， b  0 ，所
以 ab  0 ，则反比例 y  ab 应该位于第一、三象限，故本选项不可能；
x
B 、一次函数 y  ax  b 的图象经过第一、二、四象限，则 a  0 ，b  0 ，所以 ab  0 ，则反
比例 y  ab 应该位于第二、四象限，故本选项不可能；
x
C 、一次函数 y  ax  b 的图象经过第一、三、四象限，则 a  0 ， b  0 ，所以 ab  0 ，则反
比例 y  ab 应该位于第二、四象限，故本选项不可能；
x
D 、一次函数 y  ax  b 的图象经过第一、二、四象限，则 a  0 ， b  0 ，所以 ab  0 ，则
反比例 y  ab 应该位于第二、四象限，故本选项有可能；
x
故选： D ．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质 才能灵活解题．
【2023-2024 学年山东省济南市章丘区九年级（上）期末数学试卷第 7 题 4 分】
如图， 在同一平面直角坐标系中， 一次函数 y  ax  b(ab  0) 的图像与反比例函数
y  ab (ab  0) 的图像大致可以是()
x
A． B．
C． D．
【分析】根据 a 、b 的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
【解答】解：若 a  0 ， b  0 ，
则 y  ax  b 经过一、二、三象限，反比例函数 y  ab (ab  0) 经过一、三象限，
x
若 a  0 ， b  0 ，
则 y  ax  b 经过一、三、四象限，反比例函数 y  ab (ab  0) 经过二、四象限，
x
若 a  0 ， b  0 ，
则 y  ax  b 经过一、二、四象限，反比例函数 y  ab (ab  0) 经过二、四象限，
x
若 a  0 ， b  0 ，
则 y  ax  b 经过二、三、四象限，反比例函数 y  ab (ab  0) 经过一、三象限，
x
故选： C ．
【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，熟知一次函数、反比例函数的性质 是解题的关键．
【题型 5：反比例函数实际应用】
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 24 题 10 分】
【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V 的蓄电池，通过调节滑动变阻器
来改变电流大小，完成控制灯泡 L （灯丝的阻值 RL  2)
亮度的实验（如图），已知串联
电路中，电流与电阻 R 、 RL 之间关系为 I 
U
R  RL
，通过实验得出如下数据：
R / 
1
a
3
4
6
I / A
4
3
2.4
2
b
（1） a ， b ；
【探究】根据以上实验，构建出函数 y 
12 (x  0) ，结合表格信息，探究函数
x  2
y  12 (x  0) 的图象与性质．
x  2
①在平面直角坐标系中画出对应函数 y 
12 (x  0) 的图象；
x  2
②随着自变量 x 的不断增大，函数值 y 的变化趋势是 ．
【拓展】结合（2）中函数图象分析，当 x  0 时， 12
  3 x  6 的解集为．
【分析】（1）由已知列出方程，即可解得 a ， b 的值；
①描点画出图象即可；②观察图象可得答案；
同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案．
x  22
【解答】解：（1）根据题意， 3 
 a  2 ， b  1.5 ；
12
a  2
， b 
12 ，
6  2
故答案为：2，1.5；
（2）①根据表格数据描点： (1, 4) ， (2,3) ， (3, 2.4) ， (4, 2) ， (6,1.5) ，在平面直角坐标系中
画出对应函数 y 
12 (x  0) 的图象如下：
x  2
②由图象可知，随着自变量 x 的不断增大，函数值 y 的变化趋势是不断减小， 故答案为：不断减小；
（3）如图：
由函数图象知，当 x  2 或 x  0 时， 12   3 x  6 ，
x  22
即当 x  0 时， 12   3 x  6 的解集为 x  2 或 x  0 ，
x  22
故答案为： x  2 或 x  0 ．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，画出函数图象，利用数形结 合的思想解决问题．
【2023-2024 学年山东省济南市商河县九年级（上）期末数学试卷第 23 题 10 分】
我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10 C ，加热到100 C ，停止加热，水温开始下降，此时水温( C) 与开机后用时(min) 成反比例关系．直至水温降至 20 C
时自动开机加热，重复上述自动程序．若在水温为20 C 时，接通电源后，水温 y( C) 和时间
x(min) 的关系如图所示．
（1） a  8， b ．
直接写出图中 y 关于 x 的函数表达式．
饮水机有多少时间能使水温保持在50 C 及以上？
若某天上午7 : 00 饮水机自动接通电源，开机温度正好是 20 C ，问学生上午第一节下课时(8 : 40) 能喝到50 C 以上的水吗？请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
由（1）中的计算可直接得出；
分别求出函数值为 50 时的两个时间，求时间差即可解决问题；
由题意可知，饮水机工作时 40 分钟为一个循环，算出从开机到第一节课下课的时间差，并利用循环求出对应时间的水温即可．
【解答】解：（1）开机加热时每分钟上升10 C ，
从 20 C 到100 C 需要 8 分钟，
设一次函数关系式为： y  k1 x  b ，
将(0, 20) ， (8,100) 代入 y  k1 x  b ，得 k1  10 ， b  20 ．
 y  10x  20(0  x  8) ，
设反比例函数关系式为： y  k ，
x
将(8,100) 代入，得 k  800 ，
 y  800 ，
x
当 y  20 时，代入关系式可得 x  40 ；
故答案为：8；40．
10x  20(0  x  8)

（2）由（1）中计算可得， y   800．
(8  x  40)
 x
（3）在 y  10x  20(0  x  8) 中， 令 y  50 ，解得 x  3 ；
反比例函数 y  800 中，令 y  50 ，解得： x  16 ，
x
学生在每次温度升降过程中能喝到50 C 以上水的时间有16  3  13 分钟．
（4）由题意可知，饮水机工作时 40 分钟为一个循环，
上午七点到上午第一节下课时(8 : 40) 的时间是 100 分钟，是 2 个 40 分钟多 20 分钟，
 800  40( C) ，
20
学生上午第一节下课时(8 : 40) 不能喝到超过50 C 的水．
【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法 确定函数解析式，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【2023-2024 学年山东省济南市市中县九年级（上）期末数学试卷第 24 题 10 分】
在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线
y  k (x  0) 经过点 A(2, 2) ，在第一象限内存在一点 B(m, n) ，满足 mn  4 ．
x
求 k 的值；
如图 1，过点 B 分别作平行于 x 轴， y 轴的直线，交双曲线 y  k (x  0) 于点C 、 D ，
x
记线段 BC 、 BD 、双曲线所围成的区域为W （含边界），
①当 m  n  4 时，区域W 的整点个数为 11；
②直线 y  ax  5a  4(a  0) 过一个定点，若点 B 为此定点，这条直线将W 分成两部分，直线上方（不包含直线）的区域记为W1 ，直线下方（不包含直线）的区域记为W2 ，当W1 与W2
的整点个数之差不超过 2 时，请求出 a 的取值范围．
【分析】（1）根据点 A 在 y  k 的图象上，可求出 k 的值．
x
（2）①标出区域W ，再统计区域内的整数点即可．
②过定点即表示与 a 的取值无关，则有 a 的系数(x  5) 等于 0，便可解决问题．利用图象， 求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可．
【解答】解：（1）因为双曲线 y  k 经过点 A(2, 2) ，
x
所以 k  2  2  4 ． 即 k 的值为：4；
（2）①当 m  n  4 时，由图 1 可知，
BC 上的整点有 4 个，
BD 上的整点有 4 个，
双曲线上CD 段的整点有 3 个，
区域W 内部的整点有 3 个，
又点 B ， C ， D 都被算了 2 次，
所以区域W 的整点个数为： 4  4  3  3  3  11 ． 故答案为：11；
②由题知，
y  ax  5a  4  (x  5)a  4 ，
则不论 a 为何值， x  5 时， y  4 ， 即直线过定点(5, 4) ，
所以 B(5, 4) ．
如图所示，当 B(5, 4) 时，区域W 内的整点共有 15 个．
又被分成的区域W1 和W2 的整点个数之差不超过 2，
则当直线经过点(4,3) 时， W1 的整点个数是 7， W2 的整点个数是 5，满足要求． 此时 4a  5a  4  3 ，得 a  1 ．
当直线过点(3, 3) 时，W1 的整点个数是 5，W2 的整点个数是 8，不满足要求．故当点(3, 3) 在
直线上方时，即可．
此时3a  5a  4  3 ，得 a  1 ．
2
故 a 的取值范围是： 1  a  1．
2
【点评】本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分 析是解题的关键．
【题型 6：反比例函数综合】
【2023-2024 学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷第 24 题 10 分】
如图 1，直线 y  2x  1 与 y 轴交于点 B ，与反比例函数 y  k (x  0) 的图象交于点 A(1, a) ．
x
求反比例函数表达式．
将线段 AB 向右平移 m 个单位长度(m  0) ，得到对应线段CD ，连接 AC ， BD ．
①如图 2，当点 D 恰好落在反比例函数图象上时，过点C 作CF  x 轴于点 F ，交反比例函数图象于点 E ，求 CE 的值；
EF
②在①的条件下，在坐标平面内是否存在点 N ，使得以 A ， D ， C ， N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点 A 坐标代入直线解析式可求 a 的值，即可求解；
（2）①由平移的性质可得 BD  AC ， BD / /OF ，可求点 D 坐标，点C 坐标可求CE ， EF
的长，即可求解；
②分三种情况讨论，由平行四边形的性质可得等式，即可求解．
【解答】解：（1）点 A(1, a) 在直线 y  2x  1 上，
 a  2 1  1  3 ，
 A(1, 3) ，
 k  1 3  3 ，
 y  3 ；
x
（2）①由（1）知， y  3 ，
x
当 y  1 时， x  3 ，
 D(3,1) ，
 BD  AC  3 ，
C(4, 3) ，
当 x  4 时， y  3 ，
4
 EF  3 ， CF  3 ，
4
CE  9 ，
4
9
 CE  4  3 ；
EF3
4
②设点 N (m, n) ，
若 AD 为对角线，四边形 ACDN 是平行四边形， A(1, 3) ， D(3,1) ， C(4, 3) ，
 4  m  1  3 ， 3  1  3  n ，
 m  0 ， n  1 ，
点 N (0,1) ；
若 AC 为对角线，四边形 ADCN 是平行四边形， A(1, 3) ， D(3,1) ， C(4, 3) ，
3  m  1  4 ， 3  3  1  n ，
 m  2 ， n  5 ，
点 N (2,5) ；
若 AN 为对角线，四边形 ADNC 是平行四边形， A(1, 3) ， D(3,1) ， C(4, 3) ，
1  m  3  4 ， 3  n  1  3 ，
 m  6 ， n  1 ，
点 N (6,1) ；
综上所述：点 N 的坐标为(0,1) 或(6,1) 或(2,5) ．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行四边形的性质，利用 分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【2023-2024 学年山东省济南市章丘区九年级（上）期末数学试卷第 24 题 10 分】
如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1
 kx  b(k  0) 的图象与反比例函数 y2
 m (m  0)
x
的图象相交于第一、三象限内的 A(3,5) ， B(a, 3) 两点，与 x 轴交于点C ．
求该反比例函数和一次函数的解析式；
直接写出当 y1  y2 时， x 的取值范围；
在 y 轴上找一点 P 使 PB  PC 最大，求 PB  PC 的最大值及点 P 的坐标．
【分析】（1）把 A(3, 5) 代入 y2
进而确定一次函数关系式；
 m (m  0) ，可求出反比例函数的关系式，求出点 B 坐标，
x
根据两个函数的交点坐标，结合图象直观得出答案；
求出一次函数与 y 轴的交点坐标，可得此时 PB  PC 最大，为 BC ，根据勾股定理求
出结果即可．
【解答】解：（1）把 A(3, 5) 代入 y2
 m (m  0) ，可得 m  3  5  15 ，
x
反比例函数的解析式为 y2
 15 ；
x
把点 B(a, 3) 代入 y2
 B(5, 3) ．
 15 ，可得 a  5 ，
x
把 A(3, 5) ， B(5, 3) 代入 y1
b  2
解得k  1 ，

 x  b ，可得3k  b  5，
5k  b  3

一次函数的解析式为 y1  x  2 ；
（2）当 y1  y2 时， 5  x  0 或 x  3 ．
（3）一次函数的解析式为 y1  x  2 ，令 x  0 ，则 y  2 ，
一次函数与 y 轴的交点为 P(0, 2) ，
此时， PB  PC  BC 最大， P 即为所求， 令 y  0 ，则 x  2 ，
C(2, 0) ，
(5  2)2  32
2
 BC  3．
【点评】考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是解 决问题常用的方法，根据图形直观得出不等式的解集是数形结合数学的实际应用．
【2023-2024 学年山东省济南市长清区九年级（上）期末数学试卷第 24 题 10 分】
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线l : y  3 x  b 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、 B ，与双
4
曲线 H : y  k 交于点 P(2, 9 ) ，直线 x  m 分别与直线l 和双曲线 H 交于点 E 、 D ．
x2
求 k 和b 的值；
当点 E 在线段 AB 上时，如果 ED  BO ，求 m 的值；
点C 是 y 轴上一点，如果四边形 BCDE 是菱形，求点 C 的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法将点 P(2, 9 ) 分别代入直线l 和双曲线 H 的解析式中，即可求
2
出 k 和b 的值；
由题意可得 E(m, 3 m  3) ， D(m, 9 ) ，可得 ED  3 m  3  9 ，利用 ED  BO ，建立方
4
程求解即可；
m4m
过点 E 作 EF  y 轴于点 F ，运用勾股定理求出 BE  5 | m | ，由于四边形 BCDE 是菱
4
形，可得 BE  DE  BC ，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）把点 P(2, 9 ) 代入 y  k ，得： 9  k ，
解得： k  9 ；
2x22
把点 P(2, 9 ) 代入 y  3 x  b ，得： 3  b  9 ，
2422
解得： b  3 ；
（2）在直线 y  3 x  3 中，令 x  0 ，得： y  3 ，
4
 B(0, 3) ，
OB  3 ，
令 y  0 ，得： 3 x  3  0 ，
4
解得： x  4 ，
 A(4, 0) ，
直线 x  m 分别与直线 y  3 x  3 和双曲线 y  9 交于点 E 、 D ．
 E(m, 3 m
4
4x
，3)
9
D(m,) ，
m
点 E 在线段 AB 上，
4m0 ，
 ED  3 m  3  9 ，
4m
 ED  BO ，
 3 m  3  9  3 ，
4m
3
3
3
解得： m1  2， m2  2，
3
经检验， m1  2
， m2  2
都是原方程的解，但4m0 ，
3
 m  2；
（3）如图，过点 E 作 EF  y 轴于点 F ，

B(0, 3) ， E(m, 3 m
4
9
，3)
D(m,) ，
m
 F (0, 3 m
4
 3) ，
 BE 2  BF 2  EF 2  [3  ( 3 m  3)]2  m2  25 m2 ，
 BE  5 | m | ，
4
416
又有 DE | 3 m
4
 3  9 | ，
m
四边形 BCDE 是菱形，
 BE  DE  BC ，
 5 | m || 3 m
44
 3  9 | ，
m
解得： m  3 ， m  3 ，
122
当 m  3 时， D(3, 3) ， E( 3 ，
1
 DE  3  (3)  15 ，
44
 BC  15 ，
4
C(0,  3) ；
4
3, )
4
当 m  3 时， D( 3 ， 6) ， E( 3 ， 33) ，
22228
 DE  6  33  15 ，
88
 BC  15 ，
8
C(0, 39) ；
8
综上所述，点C 的坐标为(0,  3) 或(0, 39) ．
48
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的综合题，待定系数法，勾股定理，菱形性质等， 熟练掌握反比例函数图象和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和方程思想是解题关键．
【2022-2023 学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷第 24 题 10 分】
如图 1，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别落在 x 轴、y 轴的正半轴上，点 B（6，3），反比例
函数 的图象与 AB、BC 分别交于 D、E 两点，BD＝1，点 P 是线段 OA 一动点．
求反比例函数关系式和点 E 的坐标；
如图 2，连接 DE、PE、PD，求△PDE 周长的最小值；
如图 3，当∠PDO＝45°时，求线段 OP 的长．
【分析】（1）由点 B 的坐标及 BD 的长，可得出点 D 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出反比例函数的关系式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出 点 E 的坐标；
作点 D 关于 x 轴的对称点 D′，连接 D′E 交 x 轴于点 P，连接 PD，此时 PD+PE 取得最小值，最小值为 D′E，由点 D 的坐标可得出点 D′的坐标，结合点 E 的坐标可求出 D′E 的长， 由 BE，BD 的长，利用勾股定理可求出 DE 的长，进而可求出△PDE 周长的最小值；
过点 P 作 PF⊥OD 于点 F，当∠PDO＝45°时，则△PDF 为等腰直角三角形，（方法一）利用勾股定理可求出 OD 的长，设 AP＝m，则 OP＝6﹣m，利用勾股定理及等腰直角三角形的性质，可得出 DF，PF 的长，进而可求出 OF 的长，再由 OF2+PF2＝OP2 可求出 m
的值，将 m 的值代入 OP＝4﹣m 中即可得出结论；（方法二）利用 tan∠AOD＝＝ ，
可找出 OF＝3PF，由 OD＝4PF 结合 OD 的长可求出 PF 的长，进而可得出 OF 的长，再利用勾股定理，即可求出 OP 的长．
【解答】解：（1）∵点 B 的坐标为（6，3），
∴OC＝AB＝3，OA＝BC＝6．
∵BD＝1，
∴AD＝2，
∴点 D 的坐标为（6，2）．
∵反比例函数 y＝（x＞0）的图象过点 D，
∴k＝6×2＝12，
∴反比例函数的关系式为 y＝． 当 y＝3 时，3＝，解得：x＝4，
∴点 E 的坐标为（4，3）．
在图 2 中，作点 D 关于 x 轴的对称点 D′，连接 D′E 交 x 轴于点 P，连接 PD，此时 PD+PE
取得最小值，最小值为 D′E．
∵点 D 的坐标为（6，2），
∴点 D′的坐标为（6，﹣2）． 又∵点 E 的坐标为（4，3），
∴D′E＝ ＝ ．
∵BE＝6﹣4＝2，BD＝1，
∴DE＝ ＝ ，
∴△PDE 周长的最小值＝D′E+DE＝+ .
在图 3 中，过点 P 作 PF⊥OD 于点 F，
则当∠PDO＝45°时，△PDF 为等腰直角三角形．
（方法一）∵OA＝6，AD＝2，
∴OD＝ ＝2 ． 设 AP＝m，则 OP＝6﹣m，
∴PD＝ ＝ ．
∵△PDF 为等腰直角三角形，
∴DF＝PF＝ PD＝ ，
∴OF＝OD﹣DF＝2﹣ ．
∵OF2+PF2＝OP2，即（2﹣ ）2+（ ）2＝（6﹣m）2， 整理得：m2+3m﹣4＝0，
解得：m1＝1，m2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴OP＝6﹣1＝5．
（方法二）∵点 D 的坐标为（6，2），
∴tan∠AOD＝ ＝ ＝ ，
∴OF＝3PF．
∵OD＝ ＝ ＝2 ，且 OD＝OF+DF＝4PF，
∴PF＝ ，
∴OP＝
＝
∴OF＝3PF＝ ，
＝5．
【点评】本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、等腰直角三 角形以及轴对称﹣最短路径问题，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出 k 值；（2）利用两点之间线段最短，找出点 P 的位置；（3）（方法一）利用勾股定理，找出关于 AP 长的一元二次方程；（方法二）利用三角函数，找出 OF
＝3PF．
第五章二次函数
【题型 1：二次函数基本性质】
【2023-2024 学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷第 5 题 4 分】
抛物线 y  (x  2)2  1的顶点坐标是()
A． (2, 1)
B． (2,1)
C． (2, 1)
D． (2,1)
【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．
【解答】解： y  (x  2)2  1是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，
对称轴为直线 x  2 ， 故选： D ．
【点评】考查了二次函数的性质，顶点式 y  a(x  h)2  k ，顶点坐标是(h, k ) ，对称轴是直线 x  h ．
【2023-2024 学年山东省济南市商河县九年级（上）期末数学试卷第 18 题 6 分】
二次函数 y  ax2  bx  c(a  0) 的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）点 B 的坐标为 (3, 0) ；
当 x 时， y 随 x 的增大而减小；
不等式 ax2  bx  c  0 的解集为 ．
【分析】（1）由图可得： A 、B 到直线 x  1 的距离相等，根据 A 的坐标，即可求出 B 点坐标；
利用图象得出函数对称轴进而得出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围；
ax2  bx  c  0 ，即对应 x 轴上方的部分 x 的取值范围即可得出答案．
【解答】解：（1）由图象可知， A 、 B 到直线 x  1 的距离相等，
 A(1, 0) ，
 B 点坐标为： (3, 0) ， 故答案为： (3, 0) ；
由图象可知， y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围是： x  1 ； 故答案为：  1；
由图象可知，不等式 ax2  bx  c  0 的解集是： 1  x  3 ； 故答案为： 1  x  3 ．
【点评】此题考查了二次函数图象与坐标轴交点以及方程根与不等式等知识，正确利用数形 结合得出是解题关键．
【2022-2023 学年山东省济南市长清区九年级（上）期末数学试卷第 14 题 4 分】
将抛物线 y＝2（x﹣1）2+3 向右移 3 单位，上移 2 单位所得到的新抛物线解析式为 y＝2
（x﹣4）2+5．
【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线 y＝2（x﹣1）2+3 向右移 3
单位，上移 2 单位所得到的新抛物线解析式为 y＝2（x﹣4）2+5． 故答案为：y＝2（x﹣4）2+5．
【点评】本题考查了二次函数图形与几何变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
【2022-2023 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 6 题 4 分】
已知二次函数 y＝（x﹣2）2+2，当点（3，y1）、（2.5，y2）、（4，y3）在函数图象上时， 则 y1、y2、y3 的大小关系正确的是（）
A．y3＜y1＜y2B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3
【分析】根据抛物线解析式推知抛物线的对称轴直线和开口方向，然后结合二次函数图象上 的点到对称轴距离的大小判定相应的 y 值的大小．
【解答】解：由二次函数 y＝（x﹣2）2+2 知，该抛物线开口方向向上，且对称轴为直线 x
＝2．
由于点（3，y1）、（2.5，y2）、（4，y3）在函数图象上，且|2.5﹣2|＜|3﹣2|＜|4﹣2|， 所以 y2＜y1＜y3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键 是求出该函数的对称轴，利用二次函数的性质解答．
【题型 2：二次函数图象与系数的关系】
【2023-2024 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 8 题 4 分】
已知二次函数 y  ax2  2x  c ，其中 ac  0 ，则它的图象可能是()
A． B． C． D．
【分析】根据 ac  0 得出 a ， c 异号，然后判断即可．
【解答】解： ac  0 ，
a ， c 异号，
当 a  0 时， c  0 时，抛物线开口向上，对称轴在 y 轴的左侧，与 y 轴的交点在负半轴， 当 a  0 时， c  0 ，抛物线开口向下，对称轴在 y 轴的右侧，与 y 轴的交点在正半轴， 故选： C ．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键是对二次函数性质的掌握．
【2023-2024 学年山东省济南市长清区九年级（上）期末数学试卷第 8 题 4 分】
在同一平面直角坐标系中，二次函数 y  ax2 与一次函数 y  bx  c 的图象如图所示，则二次函数 y  ax2  bx  c 的图象可能是()
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数 y  ax2 与一次函数 y  bx  c 的图象，即可得出 a  0 、b  0 、c  0 ，
由此即可得出：二次函数 y  ax  bx  c 的图象开口向上，对称轴 x   b
2a
 0 ，与 y 轴的交
点在 y 轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知： a  0 ， b  0 ， c  0 ，
二次函数 y  ax2  bx  c 的图象开口向上，对称轴 x   b
2a
 0 ，与 y 轴的交点在 y 轴负半
轴．
故选： D ．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图 象经过的象限，找出 a  0 、b  0 、 c  0 是解题的关键．
【2022-2023 学年山东省济南市长清区九年级（上）期末数学试卷第 10 题 4 分】
如图，已知开口向上的抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线 x＝1．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③若关于 x 的方程 ax2+bx+c+1＝0 一定有两个不相等的实
数根；④a＞ ．其中正确的个数有（）
个B．2 个C．3 个D．4 个
【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴以及与 y 轴的交点即可判断①；利用抛物线的对称轴即可判断②；由抛物线与 y 轴的交点在（0，﹣1）的下方，即可判断③；由对称轴方程得到 b＝﹣2a，由 x＝﹣1 时，y＝0 得到即 a﹣b+c＝0，则 c＝﹣3a，所以﹣3a＜
﹣1，则可判断③．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线交 y 轴于负半轴，
∴c＜0，
∵﹣ ＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确．
∵抛物线的对称轴是直线 x＝1，
∴﹣ ＝1，
∴2a+b＝0，故②正确．
∵抛物线 y＝ax2+bx+c 与 y 轴的交点在（0，﹣1）的下方，
∴抛物线 y＝ax2+bx+c 与直线 y＝﹣1 一定有两个交点，
∴关于 x 的方程 ax2+bx+c+1＝0 一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a，
∵x＝﹣1 时，y＝0，即 a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即 c＝﹣3a， 而 c＜﹣1，
∴﹣3a＜﹣1，
∴a＞ ，故④正确． 故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与 x 轴的交点问题，也考查了二次函数的性质．
【2022-2023 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 10 题 4 分】二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为 x＝﹣1，则下列结论：
①abc＞0，
②a+b＜﹣c，
③4a﹣2b+c＞0，
④3b+2c＜0，
⑤a﹣b＞m（am+b）（其中 m 为任意实数）． 中正确的个数是（）
个B．3 个C．4 个D．5 个
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与 y 轴的交点即可判断①；根据 x＝1 时，y＜0 即可判断②；根据当 x＝﹣2 时，y＞0，即可判断③；由 2a＝b，结合当 x＝1 时，a+b+c＜0 即可判断④；根据 x＝﹣1 时，函数 y＝a﹣b+c 的值最大，即可判断⑤．
【解答】解：∵开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线和 y 轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∵对称轴为 x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
当 x＝1 时，y＜0，则 a+b+c＜0，
∴a+b＜﹣c，故②正确；
由图象可知，当 x＝﹣2 时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故③正确；
∵当 x＝1 时，a+b+c＜0，b＝2a，
∴a＝ b，
∴ b+b+c＜0，
∴3b+2c＜0，故④正确；
∵当 x＝﹣1 时，二次函数有最大值，
所以当 m 为任意实数时，有 a﹣b+c≥am2+bm+c， 所以 a﹣b≥m（am+b），故⑤错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．
【题型 3：二次函数新定义问题】
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 10 题 4 分】
若一个点的纵坐标是横坐标的 3 倍，则称这个点为“三倍点”，如：A(1, 3) ，B(2, 6) ，C(0, 0)
等都是“三倍点”．在3  x  1 的范围内，若二次函数 y  x2  x  c 的图象上至少存在一个
“三倍点”，则 c 的取值范围是()
A．  1  c  1 4
B． 4  c  3
C．  1  c  6 4
D． 4  c  5
【分析】由题意得，三倍点所在的直线为 y  3x ，根据二次函数 y  x2  x  c 的图象上至
少存在一个“三倍点”转化为 y  x2  x  c 和 y  3x 至少有一个交点，求△  0 ，再根据
x  3 和 x  1 时两个函数值大小即可求出．
【解答】解：由题意得，三倍点所在的直线为 y  3x ，
在3  x  1 的范围内，二次函数 y  x2  x  c 的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在3  x  1 的范围内，二次函数 y  x2  x  c 和 y  3x 至少有一个交点，
令3x  x2  x  c ，整理得， x2  4x  c  0 ， 则△  b2  4ac  16  4c0 ，解得c 4 ，
把 x  3 代入 y  x2  x  c 得 y  6  c ，代入 y  3x 得 y  9 ，
9  6  c ，解得c  3 ；
把 x  1 代入 y  x2  x  c 得 y  2  c ，代入 y  3x 得 y  3 ，
3  2  c ，解得c  5 ，
综上， c 的取值范围为： 4  c  5 ． 故选： D ．
【2023-2024 学年山东省济南市商河县九年级（上）期末数学试卷第 10 题 4 分】
函数 y  x2  4 | x | 2 的自变量 x 的取值范围为全体实数，其中 x  0 部分的图象如图所示， 对于此函数有下列结论：
①函数图象关于 y 轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当 x  2 时， y 随 x 的增大而减小；
④当6  a  2 时，关于 x 的方程 x2  4 | x | 2  a 有 4 个实数根． 其中正确的结论个数是()
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断，解题的关键是利用数形结 合的思想解决问题．
【解答】解：如图：
①如图所示：函数图象关于 y 轴对称，则正确；
②如图所示：函数没有最大值，只有最小值，则错误；
③如图所示：当 x  2 时， y 随 x 的增大而减小，则正确；
④如图所示：当6  a  2 时，关于 x 的方程 x2  4 | x | 2  a 有 4 个实数根，则正确； 则正确的个数有 3 个，故选C ．
【2023-2024 学年山东省济南市天桥九年级（上）期末数学试卷第 10 题 4 分】
10．（4 分）对于任意的实数 m 、 n ，定义符号 max(m, n) 的含义为 m ， n 之间的最大值，
如 max(3, 2)  3 ， max(1, 2)  2 ．定义一个新函数： y  max( 1 x2  x  9 ,| x |) ，则 y  3 时，
44
x 的取值范围为()
A． x  3或 x  1
B． x  1 或1  x  3
C． 1  x  3
D． x  3 或 x  3
【分析】符号 max 的含义是取较大的值．则本题实为函数比较大小的问题．画出函数图象， 结合图象解答即可．
【解答】解：令 y1
| x | ， y2
  1 x2  x  9 ，
44
如图所示，则 max 的值为函数较大的值，
比较两个函数的交点，较大的 y 值即为最大值．
 y | x |
19
联立方程，
y   x2  x 
44
解得x  1, x  3 ，
 y  1  y  3

当 1 x2  x  9  3 时， 44
解得 x1  1 ， x2  3 ，
当 y  3 时， x  1 或 x  3 ． 故选： B ．
【点评】本题主要考查函数比较大小的问题，正确画出函数图象是解答本题的关键．
【2022-2023 学年山东省济南市南山区九年级（上）期末数学试卷第 10 题 4 分】
在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P 的横坐标和纵坐标相等，则称点 P 为雅系点．已知二次
函数 y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个雅系点（， ），且当 m≤x≤0 时， 函数 y＝ax2﹣4x+c+（a≠0）的最小值为﹣6，最大值为﹣2，则 m 的取值范围是（ ） A．﹣1≤m≤0B．﹣ ＜m≤﹣2 C．﹣4≤m≤﹣2D．﹣ ≤m＜﹣
【分析】根据雅系点的概念令 ax2﹣4x+c＝x，即 ax2﹣5x+c＝0，由题意，△＝（﹣5）2﹣4ac
＝0，即 4ac＝25，方程的根为＝﹣ ，从而求得 a＝﹣1，c＝﹣ ，所以函数 y＝ax2
﹣4x+c+ ＝﹣x2﹣4x﹣6，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据 y 的取值，即可确定 x 的取值范围．
【解答】解：令 ax2﹣4x+c＝x，即 ax2﹣5x+c＝0， 由题意，△＝（﹣5）2﹣4ac＝0，即 4ac＝25，
又方程的根为 ＝﹣ ，
解得 a＝﹣1，c＝﹣，
故函数 y＝ax2﹣4x+c+＝﹣x2﹣4x﹣6，
∵y＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，
∴函数图象开口向下，顶点为（﹣2，﹣2），与 y 轴交点为（0，﹣6），由对称性，该函数图象也经过点（﹣4，﹣6）．
由于函数图象在对称轴 x＝﹣2 左侧 y 随 x 的增大而增大，在对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小，且当 0≤x≤m 时，函数 y＝﹣x2﹣4x﹣6 的最小值为﹣6，最大值为﹣2，
∴﹣4≤m≤﹣2，
故选：C．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．
【题型 4：二次函数应用题】
【2023-2024 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 23 题 10 分】
在 2024 年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场
进行装饰，如图 1 所示，他在会场的两墙 AB 、CD 之间悬挂一条近似抛物线 y  ax2  4 x  3
5
的彩带，如图 2 所示，已知墙 AB 与CD 等高，且 AB 、CD 之间的水平距离 BD 为 8 米．
如图 2，两墙 AB 、CD 的高度是 3米，抛物线的顶点坐标为 ；
为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点 M 处用一根细线吊在天花板上，如图 3 所示，使得点 M 到墙 AB 距离为 3 米，使抛物线 F1 的最低点距墙 AB 的距离为 2 米，离地面 2 米，求点 M 到地面的距离．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由待定系数法求出函数表达式，当 x  3 时， y  1 (x  2)2  2  2.25 ，即可求解．
4
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线 x  4 ，
4
则 x  4   b
2a
  5 ，
2a
解得： a  0.1 ，
抛物线的表达式为 y  0.1x  0.8x  3 ，
点 A(0, 3) ，即 AB  CD  3 （米) ，
当 x  4 时， y  0.1x  0.8x  3  1.4 ，即顶点坐标为(4,1.4) ， 故答案为：3， (4,1.4) ；
（2）设抛物线的表达式为 y  a(x  2)2  2 ，
将点 A 的坐标代入上式得3  a(0  2)2  2 ， 解得 a  1 ，
4
抛物线的表达式为 y  1 (x  2)2  2 ，
4
当 x  3 时， y  1 (x  2)2  2  2.25 （米) ，
4
点 M 到地面的距离为 2.25 米．
【点评】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图象与性 质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应 的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值．
【2023-2024 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 23 题 10 分】
喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．如图 2，将喷灌架置于坡度为1: 5 的坡地底部点O 处（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是 1 米，当喷射出的水流与喷水头的水平距离为 20 米时，达到最大高度（与喷灌架底部所在水平面的距离）9 米．
求图 2 中抛物线表达式；
当喷射出的水流达到最大高度时，求水流与坡面之间铅直高度 AB 的长；
若喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为 3.5 米，求水流与喷水头的水平距离．
【分析】（1）根据待定系数法即可求出图 2 中抛物线表达式；
求出点 B 与过点O 的水平面的距离 BC ，根据 AB  AC  BC 即可求出水流与坡面之间铅直高度 AB 的长；
设水流与喷水头的水平距离为 a 米，用 a 表示出喷射出的水流与坡面之间的铅直高度列方程解出即可．
【解答】解：（1）由题意，得抛物线的顶点为(20, 9) ，
可设抛物线的解析式为 y  a(x  20)2  9 ， 其图象过点(0,1) ，
1  a(0  20)2  9 ，
解得 a   1 ，
50
故图 2 中抛物线表达式为 y   1 (x  20)2  9 ；
50
设 AB 的延长线交 x 轴于点C ，如图，
坡度为1: 5 ， OC  20 米，
 BC  4 米，
 AB  AC  BC  9  4  5 （米) ，
答：水流与坡面之间铅直高度 AB 的长为 5 米；
设水流与喷水头的水平距离为 a 米，
根据题意，得 1 (a  20)2  9  1 a  3.5 ，
505
解得 a1  5 ， a2  25 ，
答：水流与喷水头的水平距离为 5 米或 25 米．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
【2022-2023 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 24 题 10 分】
x/m
0
0.4
1
1.5
2
2.5
3
y/m
2.5
3.3
3.9
3.85
3.3
2.25
0.7
小腾所在的小区中心为了净化环境要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水 管的顶端安一个喷水头，喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线的路径落下，记水流 与池中心水管的水平距离为 x 米，距地面的高度为 y 米．测量得到如下数值：
小腾根据学习函数的经验，发现 y 是 x 的函数，并对 y 随 x 的变化而变化的规律进行了探究， 如图，他首先通过描点法画出了函数图象．
小腾结合函数图象发现，水管出水口距地面的高度 OC 为 2.5 m．通过计算，可得到 y 关于 x 的函数表达式为 y＝﹣x2+2.4x+2.5 ，水流达到最高点时与池中心水管的水平距 离 为 1.2 m；
如图，考虑到小区的喷水池面积有限，现只降低水管出水口距离地面的高度 OC，使水流落地点与水管的距离 OA 缩短为 3m，请求出降低后的水管高度是多少米？
【分析】（1）观察表格数据可知：当 x＝0 时的 y 值即为水管出水口距地面的高度 OC；利用待定系数法即可求得 y 关于 x 的函数表达式；利用配方法和二次函数的性质解答即可求得水流达到最高点时与池中心水管的水平距离；
（2）由题意设出新的抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2.4x+m，利用该抛物线经过（3，0）求得
m 值，则结论可得．
【解答】解：（1）∵记水流与池中心水管的水平距离为 x 米，距地面的高度为 y 米，当 x
＝0 时，y＝2.5，
∴水管出水口距地面的高度 OC 为 2.5m； 故答案为：2.5；
设抛物线的解析式为 y＝ax2+bx+c，将（0，2.5），（1，3.9），（2，3.3）代入得：
解得：
，
，
∴y 关于 x 的函数表达式为 y＝﹣x2+2.4x+2.5， 故答案为：y＝﹣x2+2.4x+2.5；
∵y＝﹣x2+2.4x+2.5＝﹣（x﹣1.2）2+3.94，
∴该抛物线的顶点坐标为（1.2，3.94），
∴水流达到最高点时与池中心水管的水平距离为 1.2m． 故答案为：1.2；
（2）∵只降低水管出水口距离地面的高度 OC，
∴设降低水管出水口距离的抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2.4x+m，
∵水流落地点与水管的距离 OA 缩短为 3m，
∴抛物线 y＝﹣x2+2.4x+m 经过（3，0），
∴﹣32+2.4×3+m＝0，
∴m＝1.8，
∴降低水管出水口距离的抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2.4x+1.8， 令 x＝0，则 y＝1.8，
∴降低后的水管高度为 1.8 米．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，利用待 定系数法和数形结合法解答是解题的关键．
【题型 5：二次函数与方程的关系】
1.【2023-2024 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 14 题 4 分】
如图抛物线 y  ax2  bx  c 的对称轴是直线 x  1 ，与 x 轴的一个交点为(5, 0) ，则不等式
ax2  bx  c  0 的解集为 5  x  3 ．
【分析】先根据抛物线的对称性得到 A 点坐标(3, 0) ，由 y  ax2  bx  c  0 得函数值为正数，
即抛物线在 x 轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式 ax2  bx  c  0 的解集．
【解答】解：根据图示知，抛物线 y  ax2  bx  c 图象的对称轴是直线 x  1 ，与 x 轴的一个交点坐标为(5, 0) ，
根据抛物线的对称性知，抛物线 y  ax2  bx  c 图象与 x 轴的两个交点关于直线 x  1 对称， 即
抛物线 y  ax2  bx  c 图象与 x 轴的另一个交点与(5, 0) 关于直线 x  1 对称，
另一个交点的坐标为(3, 0) ，
不等式 ax2  bx  c  0 ，即 y  ax2  bx  c  0 ，
抛物线 y  ax2  bx  c 的图象在 x 轴上方，
不等式 ax2  bx  c  0 的解集是5  x  3 ． 故答案为： 5  x  3 ．
【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与 x 轴的交点，然后由图象找出当 y  0 时，自变量 x 的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
【题型 6：二次函数综合】
【2023-2024 学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷第 10 题 4 分】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y  x2  3x  4 与 x 轴交于 A 、C 两点，与 y 轴交于点 B ，
若 P 是 x 轴上一动点， Q(0, 2) ，连接 PQ ，则 PC 
2PQ 的最小值是()
6
A．6B．8C． 2
【分析】过 P 作 PH  BC ，过Q 作QH   BC ．再由 PH 
2
2 PC 得
2
D． 4
PC 
2PQ 
2(PQ 
2 PC ) 
2
2(PQ  PH ) ，根据垂线段最短可知， PQ  PH 的最小值
为QH  ，求出QH  即可．
【解答】解：连接 BC ，过 P 作 PH  BC ，过Q 作QH   BC ， 令 y  0 ，即 x2  3x  4  0 ，
解得 x  4 或 1，
 A(1, 0) ， C(4, 0) ，
 OB  OC  4 ， BOC  90 ，
PCH  45 ，
 PH  PC sin 45 
2 PC ．
2
 PC 
2PQ 
2(PQ 
2 PC ) 
2
2(PQ  PH ) ，
根据垂线段最短可知， PQ  PH 的最小值为QH  ，
 BQ  OB  OQ  4  2  6 ， QBH   45 ，
2
QH   sin 45  BQ  3，
 PQ 
 PC 
2 PC 的最小值为3．
2
2
2PQ 的最小值是 6，
故选： A ．
【2023-2024 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 10 题 4 分】
已知二次函数 y  mx2  4mx  1，其中 m  0 ，若当0  x  4 时，对应的 y 的整数值有 6 个， 则 m 的取值范围为()
A． 1  m  3
24
B．1  m  5
4
C． 5  m  3
42
D． 5  m  3
42
【分析】由 y  mx2  4mx  1  m(x  2)2  1  4m ，可知在3  x  6 范围内，函数的最小值为1  4m ，最大值为 1，若当0  x  4 时，对应的 y 的整数值有 6 个，则5  1  4m  4 ，解得即可．
【解答】解： y  mx2  4mx  1  m(x  2)2  1  4m ，
抛物线的对称轴为直线 x  2 ， 当 x  0 时， y  1 ，
当 x  4 时， y  1 ，
 m  0 ，当0  x  4 时，对应的 y 的整数值有 6 个，
当 2  x  4 时， y 随着 x 的增大而增大， 则5  1  4m  4 ，
 5  m  3 ，
42
故选： D ．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的 性质，掌握二次函数性质是解题的关键．
【2023-2024 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 26 题 12 分】
抛物线 y  x2  mx  m  1 与 y 轴交于点 A ，顶点为 D ．
若抛物线过点 B(3, 2) ，求抛物线顶点 D 和点 A 坐标；
如图，在（1）的条件下，连接 AB ，点 N 为线段 AB 下方抛物线上一点，求ABN 面积的最大值；
已知点 P(2m  3, 2) ， Q(1,3  m2 ) ，若线段 PQ 与抛物线恰有一个交点，求 m 的取值范围．
【 分 析 】 （ 1 ） 将
m  2 代 入
y  mx2  2m(m  1)x  2
可 得 抛 物 线 解 析 式 为 ：
y  2x2  4x  2  2(x  1)2  4 ，即可得抛物线的顶点坐标；
利用待定系数法求出直线 AB 的解析式为 y  x  1 ，过 N 作 MN / / y 轴交 AB 于 M ，
设N (n, n2  2n 1)
， 则M (n, n 1)
，MN  n  1 n 2  2n  1  n 2  3n， 则
SABN
 1  3MN  3 (n2  3n)   3 (n2  3n)   3 (n  3)2  27 ，根据二次函数的性质即可求222228
解；
令 y  2 ，可得抛物线过点 E(m 1 ， 2)F (1 ， 2) ，可得点 P 在直线 EF 上，分 m  1  1
时， m  1  1时， m  1  1 时，画出图象，结合图象列出不等式组，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线过点 B(3, 2) ，
 2  9  3m  m  1 ， 解得 m  2 ，
抛物线的解析式为 y  x2  2x 1，
当 x  0 时， y  1 ，
 A(0, 1) ，
 y  x2  2x 1  (x  1)2  2 ，
抛物线顶点 D 的坐标为(1, 2) ；
（2）设直线 AB 的解析式为 y  kx  b ，
b  1
 3k  b  2 ，

b  1
 k  1 ，

直线 AB 的解析式为 y  x  1 ， 过 N 作 MN / / y 轴交 AB 于 M ，
设 N (n, n2  2n 1) ，则 M (n, n 1) ，
 MN  n  1 n 2  2n  1  n 2  3n ，
 SABN
 1  3MN  3 (n2  3n)   3 (n2  3n)   3 (n  3)2  27 ，
222228
ABN 面积的最大值为 27 ；
8
（3）令 y  2 ，则 y  x2  mx  m 1  2 ，
解得 x  m  1 或 1，
点 E(m 1 ，2， )F (1， 2) ，
点 P 在直线 EF 上，
①如图，当 m  1  1 ，即 m  2 时， 2m  3  m  1 ， 3  m2  2 ，
 E(m  1, 2) 在 F (1, 2) 右侧，且Q(1,3  m2 ) 在 F (1, 2) 的上方，
 P(2m  3, 2) 在 E(m 1, 2) 右侧，线段 PQ 与抛物线恰有一个交点，
 m  2 ；
②当 m  1  1，即 m  2 时， 3  m2  2 ，
由图得，当 2m  3  m 1 时，线段 PQ 与抛物线恰有一个交点，
m  4 ；
当 2m  3  1时，线段 PQ 与抛物线恰有一个交点，
m  1 ，
1  m  2 ；
③当 m  1  1 即 m  2 时， 2m  3  7 ， 3  m2  7 ，
点 P(7, 2) ， Q(1, 7) ， E(1 ， 2)F (1 ， 2) ，
此时，线段 PQ 与抛物线恰有一个交点，
 m  2 ，
综上所述， m 的取值范围为 m  1或 m  4 ．．
【点评】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及 性质，能对 m 进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键．
3.【2023-2024 学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷第 26 题 12 分】
如图 1，抛物线 y  ax2  bx  3(a  0) 与 x 轴交于 A(3, 0) 和 B(1, 0) 两点，与 y 轴交于点C ．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2） P 是抛物线上，位于直线 AC 上方的一个动点，过点 P 作 PD  AC 于点 D ，求 P 坐标为何值时 PD 最大，并求出最大值；
（3）如图②，将原抛物线向左平移 2 个单位长度得到抛物线 y ，y 与原抛物线相交于点 M ，
点 N 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 H ，使以点 A ，M ，N ，
H 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设顶点式 y  a(x  3)(x  1) ，展开得3a  3 ，解方程求出 a 即可得到抛物线解析式；
根据题意推出等腰三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出 PD 的表达式，利用二
次函数的性质求最值即可；
先通过勾股定理求出 N 点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算 H 的坐标．
【解答】（1）解：设抛物线解析式为 y  a(x  3)(x  1) ， 即 y  ax2  2ax  3a ，
3a  3 ，解得 a  1 ，
抛物线的函数表达式为 y  x2  2x  3 ；
（2）令 x  0 得： y  3 ，
 C 点的坐标为C(0.3) ，
OAC 为等腰直角三角形， CAO  45 ，
设 AC 的解析式为 yAC  kx  b ，将 A(3, 0) 与C(0.3) 代入得：
b  3
k  1 ，

 yAC  x  3 ，
过 P 点作 PM / / y 轴交 AC 于点 M ，
设 P(m, m2  2m  3) ，则 M (m, m  3) ， PM  m2  3m ，其中3  m  0 ，
由题可知， PMD 为等腰直角三角形，
 PD 2 PM 2 (m 2  3m)   2 (m  3 )  9 2 ，
22228
由二次函数的性质可得，当 m   3 时， PD 有最大值为 9 2 ，
28
 P 点纵坐标为： ( 3)2  2  ( 3)  3  15 ，
224
此时 P 点坐标为( 3 ，  15) ；
24
 P 坐标为( 3 ，  15) 时 PD 最大，最大值为 9 2 ；
248
（3）在平面直角坐标系中存在点 H ，使以点 A ， M ， N ， H 为顶点的四边形为矩形；理由如下：
由平移可求得平移后函数解析式为 y  (x  3  2)(x 1  2)  x2  6x  5 ，与原函数交点
M (2, 3) ；
①以 AM 为边，作 MN1  AM 交对称轴于 N1 ，可构造矩形 AMN1 H1 ，如图 2，
设 N1 (1, y1 ) ，
11
 AM 2  10 ， MN 2  [(1)  (2)]2  ( y
 3)2 ， AN 2  [(1)  (3)]2  ( y
 0)2 ，
11
11
 AM 2  MN 2  AN 2 ，
10 [(1)  (2)]2  ( y  3)2  [(1)  (3)]2  ( y
 0)2 ，
11
解得 y  8 ，即 N ( 8 ，
131
1, )
3
此时设 H1 ( p1 ， q1 ) ，由 A 、 M 、 N1 、 H1 四点的相对位置关系可得：
(1)  (3)  (2)  p1
8，
0  3  q
31
 p1  2
q
解得： 
 1
  1 ，
3
 H (2,  1) ；
13
②同理，以 AM 为边，作 MN2  AM 交对称轴于 N2 ，可构造矩形 AMH2 N2 ，如图 2， 设 N2 (1, y2 ) ，
22
 AM 2  AN 2  MN 2 ，
22
10 [(1)  (3)]2  ( y  0)2  [(1)  (2)]2  ( y  3)2 ，
解得 y   2 ，即 N (1,  2) ，
2323
此时设 H2 ( p2 ， q2 ) ，由 A 、 M 、 N2 、 H2 四点的相对位置关系可得：
(1)  (2)  (3)  p2


3  (

，
2
3)  0  q2
 p2  0

解得： 
q
 7 ，
 23
7 ；
H2 (0, 3)
③以 AM 为对角线，作 MN3  AN3 交对称轴于 N3 ，可构造矩形 AN3 MH3 ，如图 3，
设 N3 (1, y3 ) ，
33
 AM 2  AN 2  MN 2 ，
10  [(1)  (3)]2  ( y  0)2 [(1)  (2)]2  ( y
 3)2 ，
33
解得 y3  1， y4  2 ，即 N3 (1,1) ， N4 (1, 2) ，
此时设 H3 ( p3 ， q3 ) ，由 A 、 M 、 N3 、 H3 四点的相对位置关系可得：

(3)  (2)  (1)  p3 ，
3  0  1  q
3
解得：  p3  4 ，
q  2
 3
 H3 (4, 2) ；
设 H4 ( p4 ， q4 ) ，由 A 、 M 、 N4 、 H4 四点的相对位置关系可得：

(3)  (2)  (1)  p4 ，
3  0  2  q
4
解得：  p4  4 ，
q  1
 4
 H4 (4,1) ．
(0, )
综上所述，点 H 的坐标为(2,  1) 或7
或(4, 2) 或(4,1) ．
33
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角函数定义，用函数法求线段和最值问题， 二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，
难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关 键．
3.【2023-2024 学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷第 26 题 12 分】
已知：抛物线 y＝ax2+bx+4 与 x 轴相交于 A（﹣2，0），B（8，0）两点，与 y 轴相交于点 C， 连接 BC，点 M 为坐标平面内一点且横坐标为 m．
求抛物线的表达式并直接写出点 C 的坐标；
如图，当点 M 为抛物线上第一象限内的点时，连接 MB，MC．
①求△MBC 面积的最大值；
②过点 M 作 MN⊥BC 垂足为 N，当△MCN∽△ABC 时，请求出点 M 的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①求出 ME＝m2+m+4﹣（m+4）＝m2+2m，则 S△DCB＝×8ME＝﹣m2+8m，即可求解；
②证明△ABC 为直角三角形且∠ACB＝90°，则∠MCB＝∠ABC 即可，进而求解．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+4 与 x 轴交于 A（﹣2，0），B（8，0）两点，代入
得解得：，
抛物线的表达式为：y＝ x2+ x+4 且 C（0，4）；
（2）①过 M 作 ME∥y 轴交 BC 于点 E， 设 BC 的解析式为 y＝kx+b，
将 B（8，0）和 C（0，4）代入得，，
解得，
∴y＝ x+4，
设 M（m，m2+ m+4），则 E（m，m+4），
∴ME＝ m2+ m+4﹣（ m+4）＝ m2+2m，
∴S△MCB＝ ×8ME＝﹣m2+8m， 当 m＝4 时，S 取最大值，
即△MBC 面积的最大值为 16；
②∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4）
∴AC＝2 ，BC＝4 ，AB＝10；
∴△ABC 为直角三角形且∠ACB＝90°，
∴为使△MCN∽△ABC，只需∠MCB＝∠ABC 即可，
∴MC∥AB，
∴点 M 的纵坐标为 4．则x2+ x+4＝4， 解得：x＝0（舍）或 x＝6，
即 M（6，4）．
【点评】此题考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、用待定系数法求函数 表达式、解一元二次方程等知识与方法，题目有一定的综合性，难度适中．
【2022-2023 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 26 题 12 分】
如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 的图象经过点 C，交 x 轴于点 A（﹣1，0）、B（4，0）（A
点在 B 点左侧），顶点为 D．
求抛物线的解析式；
点 P 在直线 BC 上方的抛物线上，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 Q，过点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 F，过点 Q 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 E，求矩形 PQEF 的周长最大值；
抛物线的对称轴上是否存在点 M，使∠BMC＝45°？若存在，请直接写出点 M 的纵坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
由矩形 PQEF 的周长，即可求解；
①当点 M 在 BC 上方时，证明△BGR≌△RHC（AAS），求出点 R（3，3），即可求解；当点 R（R′）在 BC 下方时，同理可解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）， 则 y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣ x2+ x+2；
由抛物线的表达式知，点 C（0，2）， 设直线 BC 的表达式为：y＝kx+2，
将点 B 的坐标代入上式得：0＝4k+2， 解得：k＝﹣，
则直线 BC 的表达式为：y＝﹣x+2，
设点 P（x，﹣x2+ x+2），则点 Q（x，﹣x+2）， 则 PQ＝（﹣x2+ x+2）﹣（﹣ x+2）＝﹣ x2+2x， 则矩形 PQEF 的周长＝2PF+2PQ＝2x﹣x2+4x＝﹣x2+6x，
∵﹣1＜0，故矩形 PQEF 的周长有最大值， 当 x＝3 时，矩形 PQEF 的周长有最大值为 9；
存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为 x＝，设点 M 的坐标为（，t），
①当点 M 在 BC 上方时，作△BCM 的外接圆 R，连接 RB、RC，
过点 R 作 RH⊥y 轴于点 H，过点 B 作 BG⊥HR 交 HR 的延长线于点 G，设点 R（m，n），
∵∠BMC＝45°，
∴∠CRB＝90°，
∵∠GRB+∠HRC＝90°，∠GRB+∠RBG＝90°，
∴∠HRC＝∠RBG，
∵∠G＝∠RHC＝90°，
RB＝RC，
∴△BGR≌△RHC（AAS），
∴BG＝RH 且 GR＝HC， 即 m＝n 且 4﹣m＝n﹣2， 解得：m＝n＝3，
即点 R（3，3）；
∵RM＝RC，则（3﹣ ）2+（3﹣t）2＝（3﹣0）2+（3﹣2）2， 解得：t＝3+ （负值已舍去），
即点 M 的纵坐标为 3+；
②当点 R（R′）在 BC 下方时，
由图象的对称性得，点 R′（1，﹣1），
由 R′C＝R′M 得：（1﹣）2+（﹣1﹣t）2＝（1﹣0）2+（﹣1﹣2）2， 解得：t＝﹣1﹣ （正值已舍去），
即点 M 的纵坐标为﹣1﹣；
综上，点 M 的纵坐标为：﹣1﹣或 3+．
【点评】本题考查了二次函数的相关性质、三角形全等和圆的基本知识、一次函数的相关性 质、一元二次方程的解法、勾股定理等．本题解题技巧要求高，而且运算复杂，因此对考生 的综合能力提出了很高的要求．
【2022-2023 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 26 题 12 分】
如图，在平面直角坐标系中．抛物线 与 x 轴交于 A 两点，与 y 轴交于点 C，
点 A 的坐标为（﹣1，0），点 C 的坐标为（0，﹣2），已知点 E（m，0）是线段 AB 上的动点（点 E 不与点 A，B 重合）．过点 E 作 PE⊥x 轴交抛物线于点 P．交 BC 于点 F．
求该抛物线的表达式；
若 EF：PF＝1：2，请求出 m 的值；
是否存在这样的 m，使得△BEP 与△ABC 相似？若存在，求出此时 m 的值，若不存在，请说明理由；
当点 E 运动到抛物线对称轴上时，点 M 是 x 轴上一动点，点 N 是抛物线上的动点，在运动过程中，是否存在以 C、E、M、N 为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点 M 的坐标．
【分析】（1）把点 A、点 C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
设点 E 的坐标为（m，0），则点 F 的坐标为（m，m﹣2），PE＝2EF，即： m﹣2
﹣ + m+2＝2（2﹣ m），即可求解；
当△BEP 与△ABC 相似，分∠EPB＝∠CAB 或∠EPB＝∠ABC 两种情况，求解即可．
分 CE 为边，CE 为对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
【解答】解：（1）抛物线过点 C，则其表达式为：y＝+bx﹣2， 将点 A 坐标代入上式得：0＝﹣b﹣2，解得：b＝﹣ ，
故：抛物线的表达式为：y＝ ﹣ x﹣2；
（2）y＝ ﹣ x﹣2，令 y＝0，则 x＝﹣1 或 4，故点 B（4，0）， 设：直线 BC 过点 C（0，﹣2），设其表达式为：y＝kx﹣2，
将点 B 坐标代入上式得：0＝4k﹣2，解得：k＝， 则直线 BC 的表达式为：y＝x﹣2，
同理直线 AC 的表达式为：y＝﹣2x﹣2，
设点 E 的坐标为（m，0），则点 F 的坐标为（m，m﹣2）， 当线段 EF，PF 的长度比为 1：2 时，即：PF＝2EF，
则： m﹣2﹣ + m+2＝2（2﹣ m）， 解得：m＝4（舍去）或 2，
故：m＝2；
设 BC 的表达式为 y＝kx+b， 把 B（4，0），C（0，﹣2）代入，
，
解得
，
直线 BC 的表达式为：y＝x﹣2， 设 AC 的表达式为 y＝mx+n，
把 A（﹣1，0），C（0，﹣2）代入，
，
解得
，
直线 AC 的表达式为：y＝﹣2x﹣2， 则：BC⊥AC，
当△BEP 与△ABC 相似，则∠EPB＝∠CAB，或∠EPB＝∠ABC， 即：tan∠EPB＝tan∠CAB，或 tan∠EPB＝tan∠ABC，
当 tan∠EPB＝tan∠CAB 时，即：，
解得：m＝0 或 4（舍去 m＝4），
同理，当 tan∠EPB＝tan∠ABC，m＝3 或 4（舍去 m＝4）， 故：存在，m 的值为 0 或 3．
∵抛物线的表达式为：y＝ ﹣ x﹣2＝ ，
∴抛物线的对称轴为直线 x＝，点 C（0，﹣2）， 当点 E 在抛物线的对称轴上时，则 E（，0）， 设点 M（t，0），点 N（x，y），
若四边形 CENM 是平行四边形
∴CN 与 EM 互相平分，
∴+t＝x+0，0+0＝2+y，
∴y＝﹣2，
∴ ﹣ x﹣2＝﹣2，
∴x＝0 或 3，
∴t＝﹣ 或 （舍去），
∴点 M（，0），
若四边形 CEMN 是平行四边形，
∴CM 与 EN 互相平分，
∴0+t＝ +x，﹣2+0＝0+y，
∴y＝﹣2，
∴ ﹣ x﹣2＝﹣2，
∴x＝0 或 3，
∴t＝ 或 （舍去），
∴M（ ，0），
若四边形 CMEN 是平行四边形或四边形 CNEM 是平行四边形，
∴CE 与 MN 互相平分，
∴0+ ＝t+x，﹣2+0＝0+y，
∴y＝﹣2，
∴ ﹣ x﹣2＝﹣2，
∴x＝0 或 3，
∴t＝﹣ 或 （舍去），
∴M（﹣ ，0），
综上所述：点 M 坐标为（，0）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和二次函数与几何图形综合能力，相似三角形 的判定与性质，平行四边形的判定与性质．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合 起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
【题型 1：三角函数基本性质】
第六章 三角函数
【2023-2024 学年山东省济南市历下区甸柳一中九年级（上）期末数学试卷第 4 题 4 分】在ABC 中， A  120 ， B  45 ， C  15 ，则cs B 等于()
3 2
【答案】D
【解析】

cs 45 2 ，
2
cs B 2 ．
1C．
3
2
D． 2 2
2
故选： D ．
【2023-2024 学年山东省济南市商河县九年级（上）期末数学试卷第 2 题 4 分】如图，在RtABC 中， C  90 ， AC  4 ， BC  3 ，则A 的正切值是()
3
5
【答案】C
4
3
3
4
4
5
【解析】
 RtABC 中， C  90 ， AC  4 ， BC  3 ，
A 的正切值 BC  3 ．
AC4
故选： C ．
【2023-2024 学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷第 1 题 4 分】
tan 45 的相反数是()
B． 1
【答案】B
 3 2
2
【解析】
 tan 45  1，
tan 45 的相反数是1 ． 故选： B ．
【2022-2023 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷（A 卷）第 2 题 4 分】下列三角函数中，值为 的是（）
A．cs30°B．tan30°C．sin5°D．cs60°
【答案】D
【解析】
由于 cs30°＝，因此选项 A 不符合题意；
由于 tan30°＝，因此选项 B 不符合题意；
sin5°＜sin30°，即 sin5°＜，因此选项 C 不符合题意；
由于 cs60°＝sin30°＝，因此选项 D 符合题意； 故选：D．
【题型 2：解直角三角形】
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 5 题 4 分】
如图，矩形 ABCD 为一个正在倒水的水杯的截面图， AB  18cm ，杯中水面与CD 的交点为
E ，当水杯底面 BC 与水平面的夹角为30 时，杯中水的最大深度为()
3
3
A．9B．15C． 6D． 9
【答案】D
【解析】
过点 A 作 AG  BH ，垂足为G ．如图．
四边形 ABCD 为矩形，
ABC  90 ．
CBH  30 ，
ABG  180  ABC  CBH  60 ． 在RtAGB 中，

sin ABG  AG ，
AB
 AG  AB  sin ABG
 18  sin 60
 18  3
2
 9 3(cm) ． 故选： D ．
【2023-2024 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 9 题 4 分】
济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某数学兴趣小组用无人机测量超然楼 AB 的高度，测量方案如图 2：先将无人机垂直上升至距水平地面142m 的 P 点，测得超然楼顶端 A 的俯角为37 ，再将无人机面向超然楼沿水平方向飞行 210m 到达Q 点，测得超然楼顶端 A 的俯角为 45 ，则超然楼 AB 的高度约为( )
（参考数据： tan 37  3 ， sin 37  3 ， cs 37  4)
455
A． 48mB． 50mC． 52mD． 54m
【答案】C
【解析】
延长 BA 交 PQ 于点C ，
由题意得： BC  142m ， PQ  210m ， BC  PQ ，
设 PC  x m ，
CQ  PQ  PC  (210  x)m ， 在RtAPC 中， APC  37 ，
 AC  PC  tan 37  3 x(m) ，
4
在RtACQ 中， AQC  45 ，
 AC  CQ  tan 45  (210  x)m ，
 3 x  210  x ，
4
解得： x  120 ，
 AC  210  x  90(m) ，
 AB  BC  AC  142  90  52(m) ，
超然楼 AB 的高度约为52m ， 故选： C ．
【2022-2023 学年山东省济南市章丘区九年级（上）期末数学试卷第 14 题 4 分】
如图，某地修建一座高 BC＝5m 的天桥，已知天桥斜面 AB 的坡度为 ，则斜坡 AB 长度为 ．
【答案】10
【解析】如图所示：
∵i＝ ，BC＝5m，
∴ ＝ ＝ ，
解得：AC＝5 （m），
则 AB＝＝ ＝10（m）， 故答案为：10．
【题型 3：网格点求三角函数】
【2023-2024 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 2 题 4 分】
如图，在由边长为 1 的小正方形构成的网格中，点 A ， B ， C 都在格点上，则tan B 的值为
()
3
4
【答案】B
4
3
3
5
4
5
【解析】
根据网格结构找出B 所在的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可． 由图得， AC  4 ， BC  3 ，
C  90 ，
 tan B  AC  4 ，
BC3
故选： B ．
【2023-2024 学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷第 8 题 4 分】
如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A ， B ，C 都在格点上，则BAC 的正切值是
()
B． 2 5
5
5
1
2
【答案】D
【解析】
连接 BC ，
2
32  12
则 BC ， AC 
， AB 
 2，
10
22  22
2
则 BC 2  AB2  AC 2 ，
B  90 ，
则tan BAC  BC  1 ，
AB2
故选： D ．
【2023-2024 学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷第 4 题 4 分】
在正方形网格中，以格点O 为圆心画圆，使该圆经过格点 A ， B ，并在直线 AB 右侧圆弧上取一点C ，连接 AC ， BC ，则ACB 的度数为()
A． 60B． 50C． 45D．不确定
【答案】C
【解析】
ACB 与AOB 是同弧所对的圆周角与圆心角， AOB  90 ，
ACB  1 AOB  45 ．
2
故选： C ．
【2022-2023 学年山东省济南市南山区九年级（上）期末数学试卷第 8 题 4 分】如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：连接 DC， 由网格可得出∠CDA＝90°， 则 DC＝，AC＝ ，
故 sinA＝＝ ＝ ．
故选：B．
【题型 4：三角函数应用】
【2023-2024 学年山东省济南市商河县九年级（上）期末数学试卷第 8 题 4 分】
如图，某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡 AD 与水平方向的夹角为(0  90) ，地下停车场层高CD  3 米，则在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是( )
B．3
cs
C． 3sinD． 3cs a
【答案】D
【解析】
过C 作CE  AD ，垂足为 E ，
DCE  CDE  90 ，
BAD  ADB  90 ，
DCE  BAD ，
斜坡 AD 与水平方向的夹角为，
BAD  ，
DCE  ，
在RtCDE 中， CE  CD  cs 3cs（米) ，
故在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是3cs米． 故选： D ．
【2023-2024 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 20 题 8 分】
3
如图，一艘轮船位于灯塔 P 的南偏东30 方向，距离灯塔 100 海里的 A 处，此时船长接到台风预警信息，台风将在 7 小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔 P 的北偏东45 方向上的避风港 B 处．如果轮船的航速是每小时 20 海里，问轮船能否在台风到来前赶到避
2
风港 B 处？（参考数据：
【答案】能
【解析】
过点 P 作 PC  AB 于C ，
 1.414 ，
 1.732)
在RtACP 中， A  30 ， PA  100 海里，
 PC  PA  sin A  100  1  50 （海里），
3
2
AC  PA  cs A  100 
3  50
2
（海里），
在RtBCP 中， B  45 ，
 BC  PC  50 海里，
 AB  AC  BC  (50 3  50) 海里，
轮船的航速是每小时 20 海里，
 50  50 3  6.8  7 ，
20
轮船能在台风到来前赶到避风港 B 处．
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 21 题 8 分】
祖冲之发明的水碓( duì ) 是一种舂米机具（如图1) ，在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图 2 是碓杆与支柱的示意图，支柱OM 高 4 尺且垂直于水平地面，碓杆 AB 长 16 尺，OB  3OA ．当点 A 最低时， AOM  60 ，此时点 B 位于最高点；当点 A 位于最高点 A 时， AOM  108.2 ， 此时点 B 位于最低点 B ．
（1）求点 A 位于最低点时与地面的垂直距离；
（2）求最低点 B 与地面的垂直距离．（参考数据： sin18.2  0.31 ， cs18.2  0.95 ，
tan18.2  0.33)
【答案】2
【解析】
如图，过点 A 作 AC  OM 于点C ，
 AB  16 ， OB  3OA ，
OA  16 
1
1  3
 4 ， OB  3OA  12 ，
在RtAOC 中， AOC  60 ， OA  4 ，
OC  1 OA  2 ，
2
CM  4  2  2 ，
即点 A 位于最低点时与地面的垂直距离为 2 尺；
如图，过点 B 作 BD  OM 于点 D ，
在 Rt △ BOD 中， OB  12 ， OBD  108.2  90  18.2 ，

sin OBD  OD ，
OB
OD  12  sin18.2
 12  0.31
 3.72 ，
 DM  4  3.72  0.28 （尺) ，
即最低点 B 与地面的垂直距离约为 0.28 尺．
【2023-2024 学年山东省济南市历下区甸柳一中九年级（上）期末数学试卷第 19 题 6 分】如图，在一次空中搜寻中，水平飞机的飞机观测到在点 A 俯角为30 方向的 F 点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止），为了便于观察，飞机继续向前飞行了 800 米到达 B 点，此时测得点 F 在点 B 俯角为60 的方向上，请你计算当飞机飞临 F 点的正上方点C 时（点
A 、B 、C 在同一直线上），竖直高度CF 约为多少米？（结果保留整数，参考数值： 3  1.7)
【解析】
CBF  60 ， CAF  30 ， CBF  CAF  BFA ，
BFA  30 ，
 AB  BF ，
 AB  800 米，
 AB  BF  800 米，
BCF  90 ， CBF  60 ，
CF  BF sin 60  800
3  400 3  680 （米) ，
2
答：竖直高度CF 约为 680 米．
【2023-2024 学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷第 21 题 8 分】
数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台 阶底部点 A 处测得塔楼顶端点 E 的仰角GAE  50.2 ，台阶 AB 长 26 米，台阶坡面 AB 的坡度i  5 :12 ，然后在点 B 处测得塔楼顶端点 E 的仰角EBF  63.4 ，则
点 B 到 AG 的距离为多少米？
塔顶到地面的高度 EF 约为多少米？
（参考数据： tan 50.2  1.20 ， tan 63.4  2.00 ， sin 50.2  0.77 ， sin 63.4  0.89)
【解析】
如图 HP ，延长 EF 交 AG 于点 H ，则 EH  AG ，作 BP  AG 于点 P ，
 BF / / HP ， BF  HP ， BPH  90 ，
四边形 BFHP 是矩形，
 FB  PH ， FH  PB ，
由i  5 :12 ，可以假设 BP  5x
 PB2  PA2  AB2 ，
(5x)2  (12x)2  262 ，
米， AP  12x 米，
 x  2 或2 （舍去），
 PB  FH  10 米， AP  24 米， 答：点 B 到 AG 的距离为 10 米；
设 EF  a 米， BF  b 米，

tan EBF  EF ，
BF
 a  2 ，
b
 a  2b ①，

tan EAH  EH  EF  HF  EF  BP ，
AHAP  PHAP  BF
 a  10  1.2 ②，
24  b
由①②得 a  47 ， b  23.5 ，
答：塔顶到地面的高度 EF 约为 47 米．
【2022-2023 学年山东省济南市长清区九年级（上）期末数学试卷第 22 题 8 分】
为进一步加强疫情防控工作，长清区某学校决定安装红外线体温检测仪，对进入测温区域的人员进行快速测温（如图 1），其红外线探测点 O 可以在垂直于地面的支杆 OP 上下调节（如图 2），已知探测最大角（∠OBC）为 61°，探测最小角（∠OAC）为 37°．若该校要求测温区域的宽度 AB 为 1.4 米，请你帮助学校确定该设备的安装高度 OC．（参考数据：sin61°≈0.87，
cs61°≈0.48，tan61°≈1.8，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【解析】方法 1：
解：根据题意可得，在 Rt△OBC 中，
∵tan∠OBC＝tan61°＝ ＝1.8，
∴设 BC＝x，则 OC＝1.8x， 在 Rt△OAC 中，
∵tan∠OAC＝tan37°＝ ＝0.75，
∴x＝1，
经检验，x＝1 是原方程的解，
∴OC＝1.8x＝1.8（米）． 方法 2：
解：根据题意可得，在 Rt△OAC 中，
∵tan∠OAC＝tan37°＝ ＝0.75＝ ，
∴设 OC＝3x，则 AC＝4x， 在 Rt△OBC 中，
∵tan∠OBC＝tan61°＝ ，
∴x＝0.6，
经检验，x＝0.6 是原方程的解，
∴OC＝3x＝1.8（米）．
【题型 5：三角函数计算】
【2023-2024 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 17 题 6 分】
8
计算：
 (tan 60  2023)0  (1) 2023  2sin 45 ．
2
【答案】 
2
【解析】原式 2
 1  1  2 2
2
2
2
 2
2
．
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 17 题 6 分】计算： tan 45  2sin 30  cs 2 45  cs 60
【答案】2
【解析】
原式 1  2  1  (
2 )2  1
222
 1  1  1  1
22
 2 ．
【2023-2024 学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷第 17 题 6 分】
计算： (1)0  4sin 60  12  | 3 | ．
【答案】4
【解析】
(1)0  4sin 60  12  | 3 |
 1  4 
3  2 3  3
2
3
3
 1  2 2 3
 4 ．
【题型 1：圆中的基本定理应用】
第七章 圆
【2023-2024 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 6 题 4 分】如图，点 A 、 B 、C 在 O 上， ACB  30 ，则AOB 的度数是()
A． 30B． 40C． 60D． 65
【答案】C
【解析】
AOB  2ACB ， ACB  30 ，
AOB  60 ，
故选： C ．
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 9 题 4 分】
中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计 的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为 A ，曲线终点为 B ，过点 A ， B 的两条切线相交于点 C ，列车在从 A 到 B 行驶的过程中转角 为 60 ．若圆曲线的半径
OA  1.5km ，则这段圆曲线 AB 的长为()
km
4
【答案】B
km
2
3km
4
3km
8
【解析】
过点 A ， B 的两条切线相交于点C ，
OAC  OBC  90 ，
 A 、O 、 B 、C 四点共圆，
AOB   60 ，
圆曲线 AB 的长为： 601.5  1(km) ．
1802
故选： B ．
【2022-2023 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 4 题 4 分】已知⊙O 的半径为 6，点 P 在⊙O 外部，则 OP 需要满足的条件是（）
A．OP＞6B．0≤OP＜6C．OP＞3D．0≤OP＜3
【答案】A
【解析】∵当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外，
∴OP＞6， 故选：A．
【2022-2023 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第 8 题 4 分】
如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上的两点，若∠ACD＝56°，则∠DAB 的度数为（）
A．34°B．36°C．46°D．54°
【答案】A
【解析】连接 BC，如图
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DAB＝∠DCB＝90°﹣∠ACD＝90°﹣56°＝34°． 故选：A．
【2022-2023 学年山东省济南市南山区九年级（上）期末数学试卷第 9 题 4 分】
AB 为⊙O 的直径，延长 AB 到点 P，过点 P 作⊙O 的切线，切点为 C，连接 AC，∠P＝40°， D 为圆上一点，则∠D 的度数为（）
A．20°B．25°C．30°D．40°
【答案】B
【解析】如图，连接 OC．
∵PC 为⊙O 的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠COP+∠P＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠COP＝50°，
∴ ，
故选：B．
【2022-2023 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 8 题 4 分】如图，点 A，B，C 均在⊙O 上，若∠ACB＝120°，则∠α的度数为（）
A．120°B．130°C．100°D．110°
【答案】A
【解析】在优弧 AB 上任意找一点 D，连接 AD，BD．
∵∠D＝180°﹣∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠D＝120°， 故选：A．
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 15 题 4 分】
只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于 A ， B ， C ， D 四点，利用刻度尺量得该纸条宽 MN 为7cm ， AB  6cm ，CD  8cm ．请你帮忙计算纸杯的直径为 cm ．
【答案】10
【解析】
如图， MN  AB ， MN 过圆心O ，连接OD ， OB ，
 MN  7cm ，
CD / / AB ，
 MN  CD ，
 DM  1 CD  1  8  4(cm) ， BN  1 AB  1  6  3(cm) ，
2222
设OM  x
cm ，
ON  MN  OM  (7  x)cm ，
 OM 2  MD2  OD2 ， ON 2  BN 2  OB2 ，
OM 2  MD2  ON 2  BN 2 ，
 x2  42  (7  x)2  32 ，
 x  3 ，
OM  3(cm) ，
32  42
OD  5(cm) ，
纸杯的直径为5  2  10(cm) ． 故答案为：10．
【题型 2：圆中的面积计算】
【2023-2024 学年山东省济南市长清区九年级（上）期末数学试卷第 9 题 4 分】
如图，点 O 为ABC 的 AB 边上的一点，O 经过点 B 且恰好与边 AC 相切于点 C ，若
B  30 ， AC  3 ， ? 则阴影部分的面积为()
A． 3  
22
【答案】B
【解析】连接OC ，
B． 3 3  
22
C． 3 3 
2
D． 3 
2
 O 与 AC 相切于C ，
半径OC  AC ，
OCA  90 ，
OB  OC ，
OCB  B  30 ，
AOC  B  OCB  30  30  60 ，

tan AOC  AC ， AC  3 ，
OC
OC 
3，
3
3
3
tan 60
3 3
60 ( 3)2
ACB 的面积 1 AC  OC  1  3 3 ，扇形ODC 的面积
1 ，
222
阴影的面积 ACB 的面积 扇形ODC 的面积 3 3  1 ．
22
3602
故选： B ．
【2022-2023 学年山东省济南市高新新航实验九年级（上）期末数学试卷第 9 题 4 分】如图，在矩形 ABCD 中，，BC＝1，以点 B 为圆心，BC 为半径画弧交矩形的边 AB 于点 E，交对角线 AC 于点 F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
连接 BF，过点 F 作 FH⊥AB 于 H，
在矩形 ABCD 中，，BC＝1，∠ABC＝90°，
∴ ，
∴∠BAC＝30°，∠BCA＝90°﹣30°＝60°，
∵BC＝BF，
∴△BCF 是等边三角形，
∴∠CBF＝60°，
∴∠EBF＝90°﹣60°＝30°，
∴ ， ，
∴S阴影＝S扇形BCF+S△ABF﹣S△BCF﹣S扇形BEF＝
＝ ＝ ．
故选：D．
【2023-2024 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 15 题 4 分】
如图，将半径为 2cm 的圆形纸片翻折，使得 AB ，BC 恰好都经过圆心O ，折痕为 AB ，BC ， 则阴影部分的面积为 cm2 ．
【答案】 4
3
【解析】
作OD  AB 于点 D ，连接 AO ， BO ， CO ，如图所示：

OD  1 AO ，
2
OAD  30 ，
AOB  2AOD  120 ， 同理BOC  120 ，
AOC  120 ，
阴影部分的面积 S
 1  S
 1  22  4cm2  ，
故答案为： 4．
3
扇形AOC3
圆33
【2022-2023 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 15 题 4 分】
如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，OA 与⊙O 交于点 C，以点 A 为圆心、以 OC 的长为半径作 ，分别交 AB，AC 于点 E，F．若 OC＝2，AB＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】4﹣π
【解析】连接 OB，
∵AB 是⊙O 的切线，B 为切点，
∴∠OBA＝90°，
∴∠BOA+∠A＝90°， 由 题 意 得 ： OB＝OC＝AE＝AF＝2，
∴阴影部分的面积＝△AOB 的面积﹣（扇形 BOC 的面积+扇形 EAF 的面积）
＝AB•OB﹣
＝×4×2﹣π
＝4﹣π，
故答案为：4﹣π．
【题型 3：线段最值问题】
1．【2023-2024 学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷第 16 题 4 分】
3
如图，矩形 ABCD 中， AB  2 ， AD  2
，动点 P 从点 A 出发向终点 D 运动，连 BP ，并
7
3
过点C 作CH  BP ，垂足为 H ．① ABP∽HCB ；② AH 的最小值为；③在运动
过程中， BP 扫过的面积始终等于CH 扫过的面积；④在运动过程中，点 H 的运动路径的长
为 2 3，其中正确的有（填写序号）
3
【答案】①②④
【解析】
四边形 ABCD 是矩形， CH  BP ，
BAP  CHB  ABC  90 ，
ABP  HCB  90  CBH ，
ABP∽HCB ， 故①正确；
如图 1，取 BC 的中点 E ，连接 EH ， AE ，
3
 BC  AD  2， AB  CD  2 ，
3
 HE  BE  CE  1 BC ，
2
AB2  BE 2
22  ( 3)2
7
 AE ，
 AH  HEAE ，
 AH 
3 7 ，
3
 AH 7 ，
7
3
 AH 的最小值是，
故②正确；
3
如图 2，点 H 的运动路径为以 BC 的中点 E 为圆心，半径长为
的一段圆弧，
3
3
当点 P 与点 D 重合时，则 BP 为与矩形 ABCD 的对角线 BD 重合，
 BP 扫过的面积为 S
BCD  90 ，
ABD
 1 AB  AD  1  2  2 22
 2，
2
2 3
tan CBD  CD  3 ，
BC3
CBD  30 ，
EBH  EHB  30 ，
BEH  180  EBH  EHB  120 ，
120  ( 3)2
 S扇形BEH 
1
 CH  2 BC 
360
3
，
 ，
 BH 
 S
 3 ，
BC 2  CH 2
(2 3)2  ( 3)2
 1 BH  CH  1  3 3  3 3 ，
BCH
222
 SECH
 1 S
2
BCH
 1  3 3  3 3 ，
224
3 3
4
CH 扫过的面积为 S扇形BEH  SECH  ，
 SABD  S扇形BEH  SECH ，
 3
 2
3，
 BP 扫过的面积不是始终等于CH 扫过的面积， 故③错误；
 lBH
 120 
1803
点 H 的运动路径的长为 2 3，
3
故④正确，
故答案为：①②④．
【题型 4：圆综合】
【2023-2024 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第 22 题 8 分】
独轮车（图 1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图 2 所示为从独轮车中抽
象出来的几何模型．在ABC 中，以ABC 的边 AB 为直径作 O ，交 AC 于点 P ，PD 是 O
的切线，且 PD  BC ，垂足为点 D ．
（1）求证： A  C ；
（2）若 PD  2BD  4 ，求 O 的半径．
【解析】
证明：连接OP ，如图 2，
 PD 是 O 的切线，
OP  PD ，
 PD  BC ，
OP / / BC ，
OPA  C ，
 OA  OP ，
OPA  A ，
A  C ；
解：连接 PB ，如图 2，
在RtPBD 中， PD  2BD  4 ，
22  42
 PB 
 AB 为直径，
 2 5 ，
APB  90 ，
BDP  BPC ， DBP  PBC ，
BDP∽BPC ，
5
5
 BP : BC  BD : BP ，即 2: BC  2 : 2，
解得 BC  10 ，
A  C ，
 BA  BC  10 ，
 O 的半径为 5．
【2023-2024 学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第 23 题 10 分】
如图， AB 为 O 的直径， D 、 E 是 O 上两点，延长 AB 至C ，连接CD ， BDC  A ．
求证： CD 是 O 的切线；
若tan BED  3 ， AC  8 ，求 O 的半径．
4
【解析】
（1）证明：连接OD ，
 AB 为 O 的直径，
ADB  90 ，
A  ABD  90 ，
OB  OD ，
ABD  ODB ，
BDC  A ，
BDC  ODB  90 ，
ODC  90 ，
OD  CD ，
 OD 是 O 的半径，
CD 是 O 的切线；

（2）解：ADB  90tan E  3
4
 tan BAD  BD  3 ，
AD4
BDC  A ， C  C ，
BDC∽DAC ，
 CD  BC  BD  3 ，
ACCDAD4
 AC  8 ，
CD  3 ，
84
CD  6 ，
 BC  3 ，
64
 BC  9 ，
2
 AB  AC  AB  8  9  7 ，
22
 O 的半径为 7 ．
4
【2023-2024 学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷第 22 题 8 分】
如图在ABC 中，AB  AC ，以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 D ，过点 D 作 O 的切线交 AB
的延长线于点 F ，交 AC 于 E ．
求证： DE  AC ；
若 AE  6 ， FB  4 ，求 O 的半径．
【解析】
连结 AD 、OD ，如图，
 AB 为 O 的直径，
ADB  90 ，即 AD  BC ，
 AB  AC ，
 BD  CD ， 而OA  OB ，
OD 为ABC
OD / / AC ，
的中位线，
 EF 是 O 的切线；
 OD  EF
OD / / AC ，
 EF  AC ；
设 O 的半径为 R ，
 OD / / AE ，
FOD∽FAE ，
 OD  FO ，
AEFA
 R 
4  R ，
64  2R
 R  4 或(3 舍弃）．
 O 的半径为 4．
【2022-2023 学年山东省济南市高新新航实验九年级（上）期末数学试卷第 23 题 10 分】如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，CD 是⊙O 的切线，BD⊥CD，DB 的延长线与⊙O 交于点 E．
求证：∠ABE＝2∠A；
tanA＝ ，BD＝2，求 BE 的长．
【解析】
证明：连接 OC，如图，
∵CD 是的⊙O 切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵BD⊥CD
∴∠D＝90°，
∴∠OCD+∠D＝180°，
∴OC∥DE，
∴∠ABE＝∠COB，
∵∠BOC＝2∠BAC，
∴∠ABE＝2∠A；
解：连接 CE，如图，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵∠OCB+∠BCD＝90°
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠A＝∠E，
∴∠A＝∠E＝∠BCD，
在 Rt△BCD 中，tan∠BCD＝＝tanA＝ ，
∴CD＝2BD＝4，
在 Rt△CDE 中，tanE＝＝tanA＝ ，
∴ED＝2CD＝8，
∴BE＝DE﹣BD＝8﹣2＝6．
【2022-2023 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第 22 题 8 分】
如图，在△ABC 中，AB＝BC，以 AB 为直径的⊙O 与 AC 交于点 D，过 D 作⊙O 的切线交
AB 的延长线于 E，交 BC 于 F．
求证：DF⊥BC；
已知 DE＝6，BE＝3，求⊙O 的半径．
【解析】（1）证明：连接 OD，
∵DE 是⊙O 的切线，
∴OD⊥DE，
∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠C，
∴OD∥BC，
∴DF⊥BC；
（2）解：设⊙O 的半径为 r，
在 Rt△ODE 中，OD2+DE2＝OE2，即 r2+62＝（r+3）2， 解得：r＝4.5，即⊙O 的半径为 4.5．