北师大版（2024新版）七年级上册数学期末考试尖子生测试卷（含答案解析）

这是一份北师大版（2024新版）七年级上册数学期末考试尖子生测试卷（含答案解析），共28页。试卷主要包含了下列比较大小正确的是，下列各式中，运算正确的是，如图，，平分等内容，欢迎下载使用。
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列选项中，左边的平面图形经过折叠能够围成右边的几何体的是（ ）
A．B．
C． D．
2．下列比较大小正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若 是关于，的六次单项式，且系数是2，则的值是（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．如图是甲和乙两家庭全年支出费用的扇形统计图，根据图中信息，下列判断正确的是（ ）
A．甲家庭教育支出费用与乙家庭衣着支出费用相同
B．乙家庭食品支出费用高于甲家庭食品支出费用
C．甲家庭教育投入费用比例大于乙家庭教育投入比例
D．两个家庭的年收入相同
6．如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为；若，则这条绳子的原长为（ ）．
A．48或64B．96C．48或96D．64或96
7．如图，，平分．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．张老师出门散步，出门时5点多一点，他发现手表上分针与时针的夹角恰好为，回来时接近6点，他又看了一下手表，发现此时分针与时针再次成角．则张老师此次散步的时间是（ ）．
A．40分钟B．30分钟C．50分钟D．非以上答案
9．已知整式，其中，为正整数，为自然数，且．下列说法：
①满足条件的整式中有4个单项式；
②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；
③满足条件的整式共有15个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：

①在图1的情况下，在内作，则平分；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次；
④的角度恒为．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．在-1.3,20%,0.3,0,-1.7,21, π，0.23中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ．
12．如果数轴上表示a，b两数对应点的位置如图所示，那么的计算结果为 ．
13．已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ．
14．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ．
15．将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当 时，与三角板的直角边平行．
16．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“巧合数”．例如：四位数5611，因为，所以5611是“巧合数”：又如：四位数7816，因为，所以7816不是“巧合数”．则最大的“巧合数”是 ；若“巧合数”能被3整除，设，则的最大值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：
(1)
(2)
18．（6分）已知代数式，．
(1)若，求的值；
(2)若的值与y的取值无关，求x的值．
19．（8分）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：______，得 第一步
去括号，得 第二步
移项，得 第三步
合并同类项，得 第四步
方程两边同除以2，得 第五步
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是______；
(2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误；
(3)请写出正确解方程的过程．
20．（8分）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则．
(1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______．
(2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为．
①请用含有的代数式分别表示和．
②当为何值时，．
③若线段的中点为，直接写出时的值．
21．（10分）随着时代和科技的快速发展，抖音电商利用自身的智能化推荐、定位、搜索等先进技术迅速占领线上购物市场．10月初，某抖音主播用11000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价40元，B商品每件进价10元．
(1)求10月初购进A、B两种商品各多少件？
(2)该主播在抖音平台上出售10月初购进的A、B两种商品．A商品在进价的基础上加价50%出售，并全部售完：B商品的售价为30元/件，并以此价格售出后迎来了双“十一”促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上打m折销售，并将剩下的商品全部售完．最后销售10月初购进的A、B两种商品一共获得的利润为9400元，求m的值．
22．（10分）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线．
(1)若，为的分位线，且，则 ．
(2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）．
①已知，，则 ．
②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
(3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数．
23．（12分）【新知理解】
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”．
(1)线段的中点______这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）；
(2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝______cm；
(3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．
24．（12分）甲、乙两人借助“数轴”和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上随机挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点记为A，乙选择的游戏起点记为B；然后两人进行“剪刀、石头、布”，每次“剪刀、石头、布”的结果共有三种可能：平局、甲胜、乙胜；再根据每次“剪刀、石头、布”的结果，A、B两点沿数轴同时移动，移动规则如下：
设甲、乙两人共进行了k次“剪刀、石头、布”（k为正整数）．
(1)如图，起点A表示的数是，起点B表示的数是3．

①当时，其中平局一次，甲胜一次，点A最终位置表示的数为____，点B最终位置表示的数为____，此时A、B两点间的距离为______．
②当时，其中平局x次，甲胜y次，求A、B两点最终位置表示的数．（用含x、y的式子表示）
(2)若起点A表示的数是a，起点B表示的数是b（a、b均为整数，且），当A、B两点最终位置相距3个单位时，探究k的值，直接写出结论．（用含a、b的式子表示）
“剪刀、石头、布”的结果
A、B两点移动方式
平局
点A向右移动个单位，点B向左移动个单位
甲胜
点A向右移动2个单位，点B向右移动1个单位
乙胜
点A向左移动1个单位，点B向左移动2个单位
参考答案：
1．C
【分析】本题注意考查立体几何图形的展开图，解题的关键是要熟悉一些常见立体几何的展开图．利用空间想象能力，对立体几何图形的展开图做一个判断，首先要确定，展开后的面的个数是否准确，再去确定面的位置是否合理．
【详解】解：A．正方体展开图错误，故本选项不符合题意；
B．展开图多一个底面，错误，故本选项不符合题意；
C．圆柱的展开图正确，故本选项符合题意．
D．展开图少一个底面，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，掌握比较大小的方法是解题的关键．
先根据绝对值和相反数的意义化简A、B、C三项中的相关有理数，然后根据正数大于负数即可进行比较；根据两个负数比较大小的方法即可判断项，从而可得答案．
【详解】解：A、，，
，
故本选项错误，不符合题意；
B、，
，
故本选项错误，不符合题意；
C、，，
，
故本选项错误，不符合题意；
D、，，
，
故本选项正确，符合题意；
故选：D
3．C
【分析】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型．
根据整式的加减运算法则逐项判断即可求出答案．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故选：C．
4．C
【分析】此题主要考查了单项式的次数和系数，一元一次方程，熟练掌握单项式次数和系数是解题的关键．
根据单项式系数得出n的值，根据次数的定义，可求出，然后求再解即可．
【详解】解∵ 是关于，的六次单项式，且系数是2，
∴，，
解得：，，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查扇形统计图，熟练掌握扇形统计图的应用是解题的关键，根据扇形图中所给的百分比，只表示各项支出所占的比例，逐一判断即可得到答案．
【详解】解：∵两个扇形统计图分别反映两家各类支出费用占各自的总支出费用的百分比，不知道各家庭支出的总费用和收入，
∴无法比较两个家庭各类支出费用和年收入的多少，
∴A、B、D错误．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查线段的和与差，分点是对折点和点为对折点，两种情况进行讨论求解，根据剪断后最长的一段为，得到最长的的或的长，进行求解即可．
【详解】解：当点为对折点时，剪断后有3段，
∵，
∴剪断后3段的长度相等，均为的长，即3段的长度均为，
∴绳子的原长为：；
当点为对折点时，剪断后最长的一段为的长，即：，
∵，
∴绳子的原长为；
故选C．
7．A
【分析】本题考查了角平分线定义和周角定义的知识，掌握以上知识是解答本题的关键．
本题由已知两角之比，设出和，再由两个直角，利用周角为列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的度数，进而求出度数，根据为角平分线，求出度数，根据求出度数即可．
【详解】由，设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵为平分线，
∴，
∴．
故选：A．
8．A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握散步前分针在时针后面,散步后分针在时针前面,是解题的关键．
设这期间分针走了,则时针走了,由题意列方程求得x，再根据分针每分钟转度即可解答．
【详解】解:设这期间分针走了,则时针走了,
由题意得:,解得：,即分针走了,
∵分针每分钟转度,
∴张老师散步的时间 (分钟) ．
故选A．
9．B
【分析】本题考查的是整式的规律探究，掌握分类讨论思想成为解题的关键．由条件可得，然后再分类讨论即可解答．
【详解】解：∵为自然数，为正整数，且，
∴，
当时，则，
∴，，满足条件的整式有，
当时，则，
∴，；，；，；
，；
满足条件的整式有：，
当时，则，
∴，
满足条件的整式有：，，，，，；
当时，则，
∴，
满足条件的整式有：；
当时，，满足条件的整式有：；
∴满足条件的单项式有：，，，，共5个，故①不符合题意；
不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个；故②符合题意；
满足条件的整式M共有个．故③不符合题意；
综上，正确的只有1个，
故选：B．
10．C
【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断．
【详解】①如图可得，所以平分，①正确；
②当时，设，
∵平分，
∴，
∴ ，，
∴，
当时，设，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③时，时，时故③正确；
④当时，当时，故④错误；
综上所述，正确的结论为①②③；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算．
11．0
【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据有理数的分类即可得出答案．
【详解】解：-1.3,20%,0.3,0,-1.7,21, π，0.23
正数有5个，则；
非负整数有0，21，有2个，则；
正分数有0.23，20%,0.3,有3个，则；
则．
故答案为：0．
12．/
【分析】本题主要考查了整式的加减，去绝对值等知识点，先根据两点在数轴上的位置判断出，，的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
【详解】解：由图可知，，
,，
，
故答案为：．
13．或
【分析】本题考查线段的和差，根据题意画出图形，再分点在、之间与点在点的延长线上两种情况进行讨论．熟练掌握线段等分点的性质和线段的和差计算及分类讨论思想的运用是解题的关键．
【详解】解：如图1，
∵为的中点，且，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图2，
∵为的中点，且，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述：的长是或．
14．
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键．
【详解】解：方程变形得，，
设，
则方程的解即为方程的解，
∵方程的解为，
∴，
∴，
∴一元一次方程的解为，
故答案为：．
15．5或35或65或95或125
【分析】根据题意，分6种情况讨论：当时，当时，当第二次平行于时，当第二次平行于时，当第三次平行于时，当第三次平行于时，画出对应的图形，利用平行线的性质，计算得到答案．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解答本题的关键．
【详解】解：如图， 时，
延长交于D点，
则，，
，
，
，
，
，
解得；
②如图：时，
，，
，
，
，
解得；
③如图第二次平行于时，
设与的交点为E，
则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
④如图第二次平行于时，
，，
∵，
∴，
∴，
解得；
⑤如图：第三次平行于时，
则，，
，
，
又，
，
∴，
解得；
⑥如图：第三次平行于时，
，，
，
，
∴，
解得（舍去）．
综上，所有满足条件的t的值为：5或35或65或95或125．
故答案为：5或35或65或95或125
16． 9918
【分析】本题考查整式的运算，不等式的应用．
要使“巧合数”最大，则该四位数的千位和百位上的数取最大，即，，从而根据“巧合数”的定义可得c，d的值，从而解答．由“巧合数”，结合，可得，根据巧合数”能被3整除，得到能被3整除，根据a，b的取值范围可得到，又要使取得最大值，则a尽量取最大值，b尽量取最小值，即可确定a，b，c，d的值，从而解答．
【详解】解：要使该“巧合数”最大，则，，
∵，
∴，
∴最大的“巧合数”是9918．
∵“巧合数”，又，
∴，
∵“巧合数”能被3整除，
∴能被3整除，
∵，
∴，
∵要使取得最大值，
则a尽量取最大值，b尽量取最小值，
∴，，
∵，
∴，，
∴，为最大值．
故答案为：9918，
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
（1）先算乘方，再算乘法，再算加减即可；
（2）先算乘方，再算乘除，再算加减即可．
【详解】（1）解： 原式
；
（2）解：原式
．
18．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题等知识．
（1）先将A和B代入进行化简，再利用绝对值和平方的非负性质求出x和y的值，然后将x和y的值代入化简后的中进行计算即可．
（2）将（1）化简后的进行变形，结合的值与y的取值无关即可求出x的值．
【详解】（1）解：


∵，
∴，
∴，
∴原式；
（2）解：由（1）知
∵的值与y的取值无关，
∴，
∴．
19．(1)去分母
(2)三
(3)见解析
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键．
（1）根据解一元一次方程的步骤解答即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤解答即可；
（3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可．
【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，
故答案为：去分母；
（2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号，
故答案为：三；
（3）解：
两边同乘6得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
两边同除以2，得．
20．(1)2
(2)①，或；②或；③或
【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用；
（1）根据题意可得，即，根据定义，即可求解；
（2）①根据题意得出，，根据新定义即可求解；
②根据题意列出方程，解方程，即可求解．
③分情况讨论求得的长，根据可得，即，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和，
∴，即
∴
（2）解：①依题意，，或
∴，或
②∵
∴或
解得：或；
③相遇时，
当时，都在线段上，如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
解得：
当时，如图所示，都在线段上，如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
解得：（舍去）
点的速度大于的速度，当时，
当点在点的右侧时，如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
解得：（舍去）
当点在点的左侧时，如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴．
解得：．
综上所述，的值为或．
21．(1)10月初购进200件A商品，300件B商品；
(2)m的值为9．
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．
（1）设10月初购进x件A商品，则购进件B商品，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；
（2）根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设10月初购进x件A商品，则购进件B商品，
根据题意得：，
解得：，
∴．
答：10月初购进200件A商品，300件B商品；
（2）解：根据题意得：
，
解得：．
答：m的值为9．
22．(1)
(2)①；②不会发生变化，见解析
(3)或
【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确联系新定义的内容是解题的关键；
（1）根据题意可得：，，进而得出答案；
（2）①由题意可得：，，根据，得到，，求解即可；
②不变，根据题意，，代入即可求解；
（3）因为，位置不确定，有两种情况，第一种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数；第二种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数．
【详解】（1）解：，为的分位线，且；
，，
，
；
故答案为：30°；
（2）解：①，分别为与的分位线，（，）
，，
，
，
，，
，
，
；
②不变；
，分别为与的分位线，（，），
，，
；
若，的度数不会改变；
（3）解：根据题意作图，如图所示，
已知射线、分别为与的分位线，
设，，
，，
点、、在同一条直线上
，
，
，
；
根据题意作图，如图所示；
已知射线、分别为与的分位线，
设，
则，，
∵点、、在同一条直线上，
，
，
解得；
∴；
的度数为或．
23．(1)是
(2)6或4或8c
(3)t为3或或或或或6
【分析】（1）若点M是线段AB的中点时，则AB＝2AM＝2BM，由此即可得到答案；
（2）分①当N为中点时，CN＝＝6cm；②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝＝4cm；③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝＝8cm．
（3）分P为A、Q的和谐点，Q为A、P的和谐点，两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：若点M是线段AB的中点时，满足AB＝2AM＝2BM，
∴线段的中点是这条线段的“和谐点”，
故答案为：是；
（2）解：①当N为中点时，CN＝＝6cm；
②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝＝4cm；
③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝＝8cm．
故答案为：6cm或4cm或8cm；
（3）解：∵AB＝15cm，
∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5），
由题意可知，A不可能为P、Q的和谐点，此情况排除；
①P为A、Q的和谐点，有三种情况：
1）P为中点，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），
解得t＝；
2）P为AQ的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），
解得t＝3；
3）P为AQ的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），
解得t＝；
②Q为A、P的和谐点，有三种情况：
1）Q为中点，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，
解得t＝6；
2）Q为AP的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，
解得t＝；
3）Q为AP的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，
解得t＝．
综上所述，t为3或或或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．
【点睛】本题主要考查了与线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
24．(1)①，1.5，5；②；点最终位置表示的数为，点最终位置表示的数为
(2)当时，；当时，或
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，以及整式的加减，善于运用数形结合思想是解题的关键．
（1）①根据移动规则和两点间的距离公式即可求解；
②根据移动规则即可求解；
（2）分当点A在点B的左侧时或当点A在点B的右侧时两种情况求解即可．
【详解】（1）①当时，其中平局一次，甲胜一次，点最终位置表示的数为，点最终位置表，此时、两点间的距离．
故答案为：，1.5，5；
②当时，其中平局次，甲胜次，
点最终位置表示的数为，
点最终位置表示的数为；
（2）设平局次，甲胜次，由题意得
点最终位置表示的数为，
点最终位置表示的数为；
当点在点的左侧时，，
解得．
当点在点的右侧时，，
解得．
综上可知，当点A在点B的左侧时，；当点A在点B的右侧时，．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
C
C
C
A
A
B
C