中考数学一轮复习题型归纳精练专题18 锐角三角函数（2份，原卷版+解析版）

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题型演练
题型一 正余弦、正切函数的概念
1．如图：在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出，再根据正切的定义得出答案即可．
【详解】解：勾股定理，得．
∴．
故选：A．
2．如图，在中，，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出，然后根据三角函数关系即可得解．
【详解】解：在中，，，，
，
，
故选：D
3．如图，在中，，，，则的面积为（ ）
A．7B．C．D．25
【答案】A
【分析】过点C作于点D，根据正切函数的定义和勾股定理求出，，根据正切函数值求出，得出的面积即可．
【详解】解：过点C作于点D，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴设，则，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
4．如图，在网格中，点，，都在格点上，则的正弦值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】取格点，连接，证明是直角三角形，且，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，取格点，连接，
∵
∴,
∴是直角三角形，且
∵，
∴，
故选：A．
5．如图，在中，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据勾股定理计算出，再根据三角函数的定义，即可得解．
【详解】解：根据勾股定理可得，
则，
故选：B．
题型二 特殊角的三角函数值
1．的值是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】直接根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：的值是1，
故选：C．
7．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出30度角的正弦值，再根据相反数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的相反数是，
故选C．
8．计算的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故选C．
9．若的内角满足，则的形状是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．三角不全相等的锐角三角形
【答案】A
【分析】根据非负数的性质，求出和的度数，然后可判定的形状．
【详解】解：由题意得：，，
即，，
∴，
∴，
即的形状是直角三角形．
故选：A．
10．在中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，，可得，进而得出，即可求解．
【详解】解：在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
题型三 由锐角三角函数值求锐角
1．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角的余角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再根据特殊角的三角函数值即可得出锐角的度数，继而得出答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
锐角等于，
锐角的余角等于，
故选：D．
2．在中，都是锐角，，，则的形状是：（ ）
A．等腰直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．不能确定
【答案】B
【分析】根据三角函数求出的度数，即可判断三角形的形状．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
故选：B．
3．在中，若，则这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．锐角三角形
【答案】B
【分析】根据特殊角的三角函数值求出的度数和的值，然后利用三角形内角和定理求出的值，即可判断出三角形的形状．
【详解】∵，
∴ ．
∵，
∴．
，
∴为等腰三角形，
故选：B．
4．周末，刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起去江边垂钓．如图．钓鱼竿的长为m．露在水面上的鱼线的长为m，刘老师想看看鱼钩上的情况．把鱼竿逆时针转动15°到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（ ）
A．mB．mC．mD．
【答案】C
【分析】先求出，在求出，最后利用特殊角的三角函数值直接求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5．在中，为锐角，满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据非负数的性质可得，再由特殊角锐角三角函数值，可得，然后三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A
题型四 锐角三角函数的增减性
1．如果，那么与的差（ ）
A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定
【答案】B
【分析】，再根据正弦函数随着角的增大而增大进行分析即可．
【详解】∵，正弦函数随着角的增大而增大，
∴当时，，
，即，
故选B．
2．已知为锐角，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】判断出所给的正切值在最接近的哪两个锐角的正切值之间，即可得到正确选项．
【详解】解：∵，，
∴ ．
故选：D
3．如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据“正弦值随着角度的增大而增大”解答即可．
【详解】解：∵0°＜25°＜30°
∴
∴．
故选A．
4．若tanA=2，则∠A的度数估计在（ ）
A．在0°和30°之间B．在30° 和45°之间
C．在45°和60°之间D．在60°和90°之间
【答案】D
【分析】由题意直接结合特殊锐角三角函数值进行分析即可得出答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴.
故选：D.
5．比较、、和的大小，并由小到大排列：_______________．
【答案】
【分析】把余弦化成正弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值随着角度的增大而增大，相同角的正切值大于正弦值即可解答
【详解】，正弦值随着角度的增大而增大
故答案为：
题型五 同角三角函数的关系
1．在中，，，则值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用同角三角恒等式计算出，然后根据求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
2．已知，是锐角，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用锐角三角函数的定义和勾股定理，求出各条边的长，再求出答案．
【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，
由于，因此设BC=5k，则AC=12k，
由勾股定理得，，
∴，
故选 C．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则csA＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据sin2A+cs2A＝1，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：sin2A+cs2A＝1，
∴，
∴，
故选C．
4．若为锐角，且，则______°．
【答案】26
【分析】根据同一个角的正弦和余弦的平方和等于1，即可解答．
【详解】，
，
，
为锐角，
，
故答案为：26．
5．已知，则________．
【答案】
【分析】由于，则，然后把代入中利用分式的性质计算即可．
【详解】解：，
，
，
故答案是：．
题型六 解直角三角形及其应用
1．常州天宁寺始建于唐贞观年间，是佛教音乐梵呗的发源地之一，也是常州最大的寺庙．某校数学兴趣小组的同学利用卷尺和自制的测角仪尝试求解天宁寺宝塔的高度．如图所示，平地上一幢建筑物AB与宝塔CD相距56m，在建筑物的顶部分别观测宝塔底部的俯角为45°、宝塔顶部的仰角为60°．求天宁寺宝塔的高度（结果保留根号）．
【答案】天宁寺宝塔的高度为米
【分析】过点作于点，进而得出，解，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形，
依题意，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
则四边形是正方形，
∴，
在中，，
∴，
答：天宁寺宝塔的高度为米．
2．小明同学想利用刚学的三角函数知识测量一栋教学楼的高度，如图，他在A处测得教学楼顶B点的仰角为，走到C处测得B的仰角为，已知O、A、C在同一条直线上．求教学楼的高度．（参考数据：，，，结果精确到）
【答案】
【分析】在中，可得，从而得到，在中，根据，即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
答：教学楼的高度约为．
3．我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船在海岛C附近捕鱼作业，正以30海里/时的速度向正北方向航行，渔船在A处时，测得海岛C在该船的北偏东方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时海岛C与该船距离最短．求海岛C到B处的距离．（结果保留根号）
【答案】海岛C到B处距离为海里
【分析】过C作于B，根据题意，利用正切函数的定义求解即可．
【详解】解：过C作于B，
由题意，（海里），
在中，，
∴（海里）．
答：海岛C到B处距离为海里．
4．南安北站设计理念的核心源自南安当地古厝民居，体现了南安古厝“红砖白石双坡曲，出砖入石燕尾脊，雕梁画栋皇宫式”的精美与韵味．如图，数学兴趣小组为测量南安北站屋顶的高度，在离底部点米的点处，用高米的测角仪测得顶端的仰角．求南安北站屋顶的高度（精确到米）．[参考数据：，，]
【答案】南安北站屋顶的高度约为米．
【分析】根据示意图得出，，在中，根据，得出，进而根据，即可求解．
【详解】解：依题意，，，
在中，，
∴，
∴（米），
答：南安北站屋顶的高度约为米．
5．如图，为楼梯的倾斜角，楼梯底部到墙根垂直距离为，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为，已知，，求调整后的楼梯的长．
【答案】
【分析】先解求出，再解求出的长即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴．
∵在中，，
∴．
6．为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校门口安装一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触．如图所示，是水平地面，其中是测温区域，测温仪安装在校门上的点处，已知，．
(1)___________度，___________度．
(2)学生身高米，当摄像头安装高度米时，求出图中的长度；（结果保留根号）
(3)为了达到良好的检测效果，测温区的长不低于米，请计算得出设备的最低安装高度是多少？（结果保留位小数，参考数据：）
【答案】(1)；
(2)米
(3)设备的最低安装高度是米
【分析】（1）根据题意得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；
（2）根据题意，先求得，解即可求解；
（3）根据题意得出，解，得出，然后根据，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，
∵，．
∴，
∴；，
故答案为：；；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴米；
（3）解：∵，，
∴,
∴，
∴（米），
∴设备的最低安装高度是米．