2025年中考数学二轮复习：三角形的证明 专题练习题汇编（含答案）

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一、解答题
1．如图，在和中，，，，，求证：．
2．如图，已知是等边三角形，，，分别是射线，，上的点，且，连结，，．
(1)求证：；
(2)试判断的形状，并说明理由．
3．如图，的延长线于点，于点，且．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
4．如图，在中，，点在边上，，
(1)当，求证：；
(2)当时，是否一定为30°，如果一定，给出证明：如果不一定，请说明理由．
5．如图，，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，连接，．
(1)和有何大小关系，请说明理由；
(2)如果把绕点顺时针再旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？
6．如图1，在中，，延长至D，过点D作交的延长线于点E，延长至F，过点F作交的延长线于点G，且．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，交于点H，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
7．在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形．
8．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
9．已知和是两个全等的等腰直角三角形，．
(1)如图1，和分别与边交于点，过点作，且使，连接，求证：
①；
②；
(2)如图2，与边交于点，与的延长线交于点，请探究和之间的数量关系，并说明理由．
10．如图，已知中，，厘米，厘米，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以每秒厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（）．

(1)用含t的代数式表示的长度；
(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的速度m为多少时，能使与全等？
11．如图，在中，点、分别为边、上的点，连接，点、分别在边、上，连接、交于点，已知，．
(1)求证：；
(2)如果，，求证：．
12．在中，，点D在边上（不与点A，C重合），连接，过D作，且，连接交的延长线于点F．
(1)如图1，若平分，求证：；
(2)如图2，在（1）的条件下，过D作交于G，过E作交的延长线于H，求证：；
(3)如图3，连接，M是的中点，连接，求的度数．
13．如图，在中，，若点E是边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点E的对应点为点D，连接，

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
14．在中，，，点为直线上一动点，以为直角边在的右侧作，使，，连接．
(1)当点在线段上时，如图1，证明：且；
(2)当点在线段的延长线上时，如图2，判断线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由．
15．在中，，点D是边AB上不与点B重合的一动点，将绕点D旋转得到，点B的对应点E落在直线上，与相交于点G，连接．
(1)如图1，当点D与点A重合时，
①求证：；
②判断与的位置关系是 ；
(2)如图2，当点D不与点A重合，点E在边上时，判断与的位置关系，并写出证明过程；
(3)如图3，当点D是AB的中点，点E在边上时，延长，CF相交于点P．若，求的长．
参考答案：
1．见解析
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
2．(1)证明见解析
(2)是等边三角形，理由见解析
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）是等边三角形．
理由：在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
3．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，，
∴
在和中，
，
∴
（2）证明：∵，
∴，
又，，
∴是的平分线，
∵
∴
∴
4．(1)详见解析
(2)当时，，详见解析
【详解】（1）证明：当时，
，
，
，
且，
，
，
，
；
（2）解：当时，，理由如下：
取BD的中点，连接，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
．
5．(1)，理由见解析
(2)成立；理由见解析
【详解】（1），理由如下：
、均为等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
．
（2）成立，；理由如下：
如图，
、均为等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
．
6．(1)见解析
(2)，理由见解析
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，
．
7．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：平分，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，在上截取，连接，
，
，，
在和中，
，
，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
为等边三角形．
8．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
9．(1)①见解析；②见解析
(2)，证明见解析
【详解】（1）证明：①∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴．
②由①知，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，由勾股定理得，
∴．
（2）解：，证明如下：
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，
则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．(1)
(2)全等，理由见解析
(3)厘米/秒
【详解】（1）解：由题意可知厘米，
∴厘米；
（2）解：和全等，理由如下：
∵秒，
∴厘米，
∴厘米．
∵厘米，点D为的中点，
∴厘米．
∴．
在和中，
，
∴；
（3）解：∵点P、Q的运动速度不相等，
∴．
又∵，
则当厘米，厘米时，，
∴点P，点Q运动的时间秒，
∴厘米/秒，
∴当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使与全等．
11．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：由（1）得：，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
12．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】（1）证明：，，
，
平分，
，
．
，
，
又，
，
在中，，
，
．
．
，
，
为中点，
；
（2）证明：，，
．
，
．
，
．
，
．
，
，
又，
，
．
，，
，
，
．
，，
，
，
，
，
，
．
；
（3）解：如图，延长至，使，连接．过作交于点．
是中点，
．
，．
．
，，
．
．
，
，
．
，
，
．
．
，，
，
．
．
．
又，
在和中，
．
．
，
，
，
．
13．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵
∴
由旋转知
∴
又
∴
（2）解：由（1）知
∴
∵
∴
∴
解得
∴
∴为等边三角形
∴
由旋转知
∴为等边三角形
∴
14．(1)见解析
(2)，，理由见解析
【详解】（1）证明：，，
，，
．
又，
，
，．
，
，；
（2）解：，．
理由：，，
，，
，．
又，
，
，，
．
，．
15．(1)①证明见解析
②
(2)，证明见解析
(3)
【详解】（1）①证明：由旋转的性质可知：，
∴，
，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴；
②解：与的位置关系是，理由如下：
由①可得：，
∴，
故答案为：；
（2）解：与的位置关系是，理由如下：
由旋转的性质可知：，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，点D是AB的中点，
∴，，
，
∴，
由（2）可知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
由旋转的性质可得：，
，
∴，
∴，
由（2）可知：，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴．