专题01 空间向量及其运算（思维导图+知识串讲+八大题型+过关检测）-【寒假提升课】2025年高二数学寒假提升试题（人教A版2019）

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考点要求
（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
知识点01：空间向量的有关概念
1、空间向量的有关概念
几类特殊的空间向量
2、空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；
（2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.
知识点02：空间向量的加法、减法运算
1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，
2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即
3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即
4、空间向量的加法运算律
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
知识点03：空间向量的数乘运算
1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2、数乘向量与向量的关系
知识点04：共线向量与共面向量
1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．
2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．
3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
4、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
5、空间共面向量的表示
如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．
或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
6、拓展
对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．
知识点05：空间两个向量的夹角
1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）
2、范围：．
特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作．
(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)．
3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）
若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为，
(1)向量夹角的范围是0