专题08 数列通项公式的求法-【寒假提升课】2025年高二数学寒假提升试题（人教A版2019）

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考点要求
（1）掌握求数列通项的几种常见方法.
知识点01：公式递推法
若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
知识点02：累加法
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
知识点03：累乘法
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
知识点04：构造数列法
（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的递推式：
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．
知识点05：倒数变换法
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
知识点06：形如型的递推式
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
考点剖析
【题型一：公式递推法】
一、单选题
1．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知为等比数列，为数列的前n项和，，则（ ）
A．3B．18C．54D．152
2．（2024高二·全国·专题练习）数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·福建·模拟预测）设数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知数列满足，则（ ）
A．2B．C．D．
5．（24-25高三上·辽宁·期中）数列中，已知对任意自然数，则等于（ ）
A．B．C．D．
【题型二：累加法】
一、单选题
1．（24-25高二上·江苏连云港·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（ ）

A．B．C．D．
2．（23-24高二下·宁夏吴忠·阶段练习）已知数列首项为，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）19世纪的法国数学家卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，以他的名字命名的卢卡斯数列满足，若其前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，若首项为的数列满足，则数列的前2024项和为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【题型三：累乘法】
一、填空题
1．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ．
2．（2024高三·全国·专题练习）若数列满足，，则 ．
二、单选题
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二下·四川·期中）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64，……是一阶等比数列，则该数列的第10项是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二下·四川达州·期中）在数列中，若，且对任意有，则数列的前30项和为（ ）
A．B．
C．D．
【题型四：加减、作商构造】
一、单选题
1．（22-23高二上·天津·期末）已知数列中，（且，则数列通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河南·模拟预测）已知数列中，，若，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，其中，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）已知数列满足，，数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【题型五：倒数构造】
一、单选题
1．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知数列满足,则（ ）
A．2024B．2025C．D．
2．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·山东青岛·期末）设数列的前项和为，已知，若，则正整数的值为（ ）
A．2024B．2023C．2022D．2021
过关检测
一、单选题
1．（24-25高二上·重庆·期中）将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ）
A．55B．75C．111D．135
2．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）数列满足，且对于任意的都满足 则数列的前n项和为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·福建·模拟预测）设数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（24-25高二上·重庆渝中·期中）若数列的前项和公式为，则的通项公式为 .
7．（23-24高二上·江苏镇江·期中）在数列中，，则 ．
8．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列满足，若，则的通项公式为 .
9．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则 ．
10．（24-25高三上·安徽·期中）记Sn为数列的前n项和．已知，，则数列的通项公式是 ．
11．（24-25高三上·天津·期中）数列的首项为，且满足，数列满足，且，则 .
12．（24-25高二上·甘肃兰州·阶段练习）在数列中，，则的通项公式为 .
13．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知数列，满足，则 ；若数列的前项和为，且，则 .
14．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，若，则数列的前n项和 ．
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