第01讲 导数的概念及其意义-【寒假提升课】2025年高二数学寒假提升试题（人教A版2019）

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一、物体的平均速度与瞬时速度
1、平均速度
设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为
2、瞬时速度
（1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度；
（2）一般地，当无限趋近于0时，无限趋近于某一个常数，我们就说当趋近于0时，的极限就是，这时就是物体在时的瞬时速度，
即瞬时速度
二、抛物线切线的斜率
1、抛物线割线的斜率
设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=.
2、抛物线切线的斜率
一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋
近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==.
三、平均变化率
函数从到的平均变化率
1、定义式：
2、实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
3、意义：刻画函数值在区间上变化的快慢．
4、平均变化率的几何意义：
设，是曲线上任意不同的两点，
函数的平均变化率为割线AB的斜率，如图．
5、求平均变化率的步骤：
第一步：先计算函数值的改变量；
第二步：再计算自变量的改变量；
第三步：求平均变化率；
四、函数在x＝x0处的瞬时变化率
1、定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
2、定义法求导数步骤：
① 求函数的增量：；
② 求平均变化率：；
③ 求极限，得导数：.
3、导数的几何意义
如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率
【注意】
函数在处的导数，是曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．
与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
五、求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为；
第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．
【考点一：平均、瞬时变化率】
一、单选题
1．（23-24高二下·陕西渭南·期中）某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平均速度的计算方法，列式计算，即可得答案.
【详解】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，
则该质点在这段时间内的平均速度为（）.
故选：A
2．（24-25高二下·全国·课后作业）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由平均速度的定义可得汽车在时间段上的平均速度即为该段直线的斜率，结合图像即可得出答案.
【详解】设直线，AB，BC的斜率分别为，，，
则，，，
由题中图象知，即．
故选：B.
3．（22-23高二下·全国·课后作业）质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（ ）
A．2 m/sB．6 m/s
C．4 m/sD．11 m/s
【答案】D
【分析】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合.
【详解】质点M在t＝2 s时位移的平均变化率为＝＝11＋2Δt，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11 m/s.
故选：D.
4．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知甲､乙两个小区在这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（ ）
①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢；
②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快；
③在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢；
④乙小区在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据图象的性质，结合图象的变化快慢，即可判断选项.
【详解】①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢，故①正确；
②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快,故②正确；
③在时刻，乙的图象比甲的图象陡，所以乙的瞬时增长快，故③正确；
④乙小区在时刻比在时刻陡，所以在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快，故④正确.
故选：D
5．（23-24高二下·安徽合肥·期末）若质点运动的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系是），那么该质点在时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用瞬时速度公式即可求得时的瞬时速度，利用物体在到这段时间内的平均速度为公式即可求得从到这两秒内的平均速度.
【详解】，
所以.即该质点在时的瞬时速度为；
从到这两秒内的平均速度为；
故选：D.
【考点二：导数的概念】
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据导数的定义可求.
【详解】由导数的定义得:
．
故选：D.
2．（23-24高二下·江西萍乡·期中）设在R上的导函数为f'x，若，则（ ）
A．-2B．2C．D．6
【答案】C
【分析】由已知结合导数定义即可求解.
【详解】由于，则.
故选：C.
3．（2024高二下·全国·专题练习）已知，则的值为（ ）
A．－2aB．2a
C．aD．
【答案】B
【分析】由导数的定义变形即可求解.
【详解】.
故选：B．
二、填空题
4．（22-23高二下·湖北·期末）已知函数的导函数为，且，，则实数t的值为 .
【答案】32/
【分析】根据导数的知识列方程，化简求得的值.
【详解】依题意，
即，解得.
故答案为：
5．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数，其中a，b，c为常数，则函数在处的导数为 .
【答案】
【分析】利用导数的定义求出导函数，从而可求的答案.
【详解】，
，
当时，瞬时变化率为，即函数在处的导数为.
故答案为：.
【考点三：求曲线切线的斜率（倾斜角）】
一、单选题
1．（23-24高二下·贵州·期中）若曲线在处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】运用导数几何意义得答案.
【详解】曲线y=fx在处的切线方程为，
则运用导数几何意义，知道.
故选：D.
2．（23-24高二下·河北承德·阶段练习）曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．120°D．135°
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义求斜率，再求倾斜角.
【详解】因为，则，所以，
所以曲线在点处的切线的倾斜角为.
故选：D．
3．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的定义和几何意义就可以求出切线斜率，然后即可得切线方程.
【详解】由可得：，即，
根据导数的定义可知：，
又根据导数的几何意义可知：在点处的切线斜率，
所以过点处的切线方程为：，即，
故选：A.
4．（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合图形，利用曲线上两点所在直线的斜率和过两点的切线斜率的比较即可得到.
【详解】

如图，设函数的图象上有两点，经过点的切线分别为,
则直线的斜率依次为，
由图知直线的倾斜角满足，，
因函数在上递增，故，
即.
故选：B.
5．（23-24高二下·北京·期中）某物流公司为了完成一项运输任务，提出了四种运输方案，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示．在这四种方案中，运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由导数的几何意义结合题意可判断.
【详解】由运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高，即为逐渐变大，
结合导数的几何意义可得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，
结合图象可知，故B正确，
故选：B.
【考点四：导数的几何意义】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由导数的几何意义分析可得f'1，和的几何意义，结合图像可得解.
【详解】由函数的图像可知，
当时，单调递增，
，，.
随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的，
.
故选：A.
2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数的图象如图所示，且f'x为的导函数，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分别作出函数在的切线，进而得到的大小关系.
【详解】分别作出函数在的切线，
则
则有.

故选：B
3．（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，如图是的图像，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据斜率关系得到，可看作过和的割线的斜率，根据图像得到答案.
【详解】图象可知，在处的切线斜率大于在处的切线斜率，且斜率为正，
故，
，
可看作过和的割线的斜率，
由图象可知，故，
故选：B．
【考点五：求在曲线上一点和过一点的切线方程】
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．9B．6C．3D．1
【答案】A
【分析】求出，从而求出，根据导数的几何意义计算可得.
【详解】因为，
所以，．
由导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率是．
故选：A
2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数在点处的切线斜率为2，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】B
【分析】由题意得，可求出，再将代入函数解析式中可求出，从而可求得的值.
【详解】由题意得，
所以，
解得，
又，则，
所以．
故选：B
3．（24-25高二上·全国·课后作业）设曲线与轴的交点为，曲线在点处的切线与轴交于点，则点的横坐标为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】利用导数的定义求得函数在处的导数，求得切线方程，可求结论.
【详解】易知处切线的斜率为，
则，令，则，故点的横坐标为．
故选：D.
二、填空题
4．（22-23高二下·全国·课后作业）若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】利用导数定义求出，设，根据垂直得出切线斜率为，则可得，进而求出点坐标.
【详解】设，则
，
因为点处的切线垂直于直线，
所以点处的切线的斜率为，
所以，解得，则，
即点的坐标是．
故答案为：
三、解答题
5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数．
(1)求曲线上任意一点处的切线斜率；
(2)求曲线在点处的切线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率；
（2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程.
【详解】（1）由导数的几何意义可知曲线y=fx上任意一点x0,fx0处的切线斜率为，
则由导数的定义，可得
．
即曲线y=fx上任意一点x0,fx0处的切线斜率为．
（2）f3=0，由（1）知，曲线y=fx在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，即．
6．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若函数，
(1)用定义求；
(2)求其图象在与轴交点处的切线方程．
【答案】(1)
(2)和
【分析】（1）根据函数的导数的定义求出；
（2）由导数的几何意义可求出切线的斜率，从而可得切线方程.
【详解】（1）由导数定义可得，
（2）函数的图象与轴有两个交点，
交点坐标分别为，，
∴，
∴在处的切线方程为；
同理，在处的切线方程为．
一、单选题
1．（24-25高二下·全国·课后作业）设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为（单位：米），则列车运行10秒的平均速度为（ ）
A．10米/秒B．8米/秒C．4米/秒D．0米/秒
【答案】A
【分析】根据平均变化率的定义求解.
【详解】，则，
即列车运行10秒的平均速度为米/秒.
故选：A
2．（2024高三·全国·专题练习）设是定义在R上的可导函数，若（a为常数），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的定义计算即可求解.
【详解】．
故选：A
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数y=fx的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义判断斜率大小即可.
【详解】由图可知函数在点处的切线斜率小于0，即；
在点处的切线斜率等于0，即，
在点处的切线斜率大于0，即，
所以.
故选：B.
4．（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（ ）
A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地
B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同
【答案】C
【分析】结合图中数据分析一一判断各选项即可.
【详解】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差，
所以甲地的绿化好于乙地，故A正确；
对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大，
所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确；
对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大，
所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误；
对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确.
故选：C.
5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，一质点做简谐运动，其位移，则时该质点的瞬时速度为（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】A
【分析】利用导数的定义求解即可.
【详解】由题可知时该质点的瞬时速度为
．
故选：A.
二、多选题
6．（23-24高二下·四川广元·期中）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（ ）
A．前内球滚下的垂直距离的增量B．在时间内球滚下的垂直距离的增量
C．前内球在垂直方向上的平均速度为D．第时刻在垂直方向上的瞬时速度为
【答案】BCD
【分析】利用函数关系式计算可判定A、B，由平均速度、瞬时速度的求法可判定C、D选项.
【详解】前内，，，
此时球在垂直方向上的平均速度为，A错误；C正确；
在时间内，，，B正确；
，，则第2s时刻在垂直方向上的瞬时速度为，
D正确．
故选：BCD．
7．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）午饭时间；B同学从教室到食堂的路程与时间的函数关系如图，记时刻的瞬时速度为，区间上的平均速度分别为，则下列判断正确的有（ ）
A．
B．
C．对于，存在，使得
D．整个过程小明行走的速度一直在加快
【答案】AC
【分析】可通过题意，分别表示出，，，再根据选项A，B进行比大小，即可确定；选项C可根据图像，由线与直线的交点，即可判断，选项D，可以观察曲线在各点处的切线方程的斜率，即可判断．
【详解】由题意可知；，，，
由图像可知，，即，因此，，
所以，因此，此时，故A正确；
由，可化为，故，故B不正确；
由图像可知，直线与曲线的交点为，，故存在，使得，即当时，，故C正确；
时刻的瞬时速度为判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，
由图象可知，当时，切线方程的斜率最大，
故而在此时，速度最快，故D不正确.
故选：AC.
三、填空题
8．（24-25高三上·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 .
【答案】3
【分析】根据平均变化率的定义，函数的平均变化率为，分别计算出的值代入计算即可.
【详解】由题意得，函数在区间上的平均变化率为，
故答案为：3.
9．（22-23高二下·安徽马鞍山·期中）设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为 ．
【答案】/
【详解】因为，
所以曲线在点处的切线斜率为.
故答案为：.
10．（22-23高二下·陕西宝鸡·期中）设，则 .
【答案】
【分析】由导数的定义计算即可.
【详解】由，
所以，即.
故答案为：
11．（24-25高三·上海·课堂例题）曲线在点处的切线方程是 .
【答案】
【分析】求出函数在点处的切线斜率，根据导数的几何意义，即可求得答案.
【详解】由题意得在处的切线斜率为，
故切线方程是，即，
故答案为：
12．（2024高二下·全国·专题练习）已知曲线，则曲线过点的切线方程为 .
【答案】或
【分析】由题意首先根据定义得导函数，进一步求出切点即可得解.
【详解】点不在曲线上．
设所求切线的切点为，
则切线的斜率，
故所求的切线方程为，
将及代入上式，得，
解得或，所以切点为或．
从而所求切线方程为或.
故答案为：或.
四、解答题
13．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数
(1)写出；
(2)求出；
(3)求出；
(4)写出，，
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)，，
【分析】（1）代入直接计算即可；
（2）直接作商即可求解；
（3）直接进行简单极限运算；
（4）利用导函数概念求解导函数，代入法求解，.
【详解】（1）
；
（2）；
（3）；
（4）由（2）知，
则，.
14．（23-24高二下·北京·期中）已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且．
(1)利用导数定义求函数的导数；
(2)求直线、的方程．
【答案】(1)
(2)：；：
【分析】（1）结合导数的定义及极限的运算性质计算可得；
（2）结合（1）求出直线的斜率，即可求出直线的方程，设的切点为，利用导数的几何意义及两直线垂直斜率之积为，求出，从而得到切点坐标，再由点斜式求出切线方程.
【详解】（1）因为，
所以；
（2）点满足曲线，即为直线的切点，
直线的斜率为，
故直线的方程为，即；
又为该曲线的另一条切线，设该切点为，则，
因为，所以，解得，所以，
即切点为，切线的斜率为，
故的方程为，即．
15．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中，求：
(1)点处的切线的斜率；
(2)点处的切线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的定义即可求得点处的切线的斜率；
（2）根据导数的几何意义，即可求得答案.
【详解】（1）点处的切线的斜率为
，
即点处的切线的斜率是；
（2）结合（1）可得切线方程为，即.
16．（24-25高三·上海·课堂例题）如果曲线的一条切线与直线平行，求曲线与此切线相切的切点坐标.
【答案】或
【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义可列方程，即可求得答案.
【详解】设切点坐标为，则，
曲线在点P的切线与直线平行，
则切线斜率为
，
则；当时，；当时，，
所以切点坐标为或.
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.通过对实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.
2理解函数的平均变化率、瞬时变化率，会求函数在某一点附近的平均变化率.
3.理解导数的概念，会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
4.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.