2025赣州大余县部分学校联考高一上学期12月月考试题数学含解析

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一、单选题
1. 已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式性质判断ACD，利用基本不等式判断B.
【详解】对于A，因为，所以，错误；
对于B，因为，所以，所以，
当且仅当即时，等号成立，又，所以，正确；
对于C，因为，所以，，所以，错误；
对于D，因为，所以，所以，
又，所以即，错误；
故选：B.
2. 已知，则下列语句能成为“都不小于1”的否定形式的是（ ）
A. 中至少有1个大于1B. 都小于1
C. 都不大于1D. 或或
【答案】D
【解析】
【分析】根据题设的描述知，原命题否定为中至少有一个小于1，即可得答案.
【详解】由都不小于1，即，即都大于或等于1，
所以其否定是不都大于或等于1，即中至少有一个小于1，故或或.
故选：D
3. 已知函数，对任意，则实数的取位范围是（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由函数单调性的定义判断得的单调性，从而利用分段函数的单调性得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】因为对任意，
所以函数在上单调递增，
又，
所以，解得.
故选：A.
4. 已知偶函数的定义域为，在上单调递增，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由偶函数将自变量转换到内，再由函数单调性，得到函数值的大小关系，从而得出结论.
【详解】在上是偶函数，，，
，且在区间上单调递增，
，.
故选：A.
5. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数且在上递减B. 是奇函数且在上递增
C. 是偶函数且在上递减D. 是偶函数且在上递增
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，再根据函数奇偶性、单调性的定义判断即可.
【详解】∵，
∴，定义域为，
，∴是偶函数，
当时，，在0,+∞上是单调增函数.
故选：D.
6. 已知函数（，且）在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分两种情况讨论，当和分别对函数的单调性进行讨论.
【详解】由题意可知，该函数为指数型复合函数，
当时，令，对称轴为，则要使（，且）在区间上单调递增，则则；
当时， 要使（，且）在区间上单调递增，
则，则，综上，.
综上，实数的取值范围为.
故选：D
7. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性可比较，根据即可求解.
【详解】由于函数为单调递增函数，故，
而，故，
故选：C
8. 定义在上的奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇函数的性质，结合单调性，借助换元法将原不等式转化成不等式组求解.
【详解】由上的奇函数在上单调递减，得在上单调递减，，
由，得，令，则不等式，
于是或，由，得，则，解得，
由，得或，则或，解得
或，
因此或或，解得或或，
所以原不等式的解集为.
故选：D
二、多选题
9. 下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D. 若，则.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据对数运算法则及换底公式一一计算可得.
【详解】对于A：，
，
所以，故A正确；
对于B：，
，
所以，故B错误；
对于C：
，故C正确；
对于D：因为，
所以，，
所以，故D错误.
故选：AC
10. 对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABCD
【解析】
【分析】通过与0和-1的大小关系分别计算即可.
【详解】对于一元二次不等式，
当时，函数的图象开口向上，与轴的交点为，，故不等式的解集为.
当时，函数的图象开口向下，
若，不等式的解集为；
若，不等式的解集为；
若，不等式的解集为.
故选：ABCD.
11. 已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A. 的图象关于点对称
B.
C.
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A：由是奇函数可得，即可得解；对B：由，借助赋值法计算即可得解；对C：借助所得函数的周期性，结合周期性与赋值法计算即可得；对D：由，计算即可得.
【详解】对A：由是奇函数，则，又定义域为，
故的图象关于点对称，故A正确；
对B：由，则，
故，故周期为，故，故B正确；
对C：，令，有，
故，故C错误；
对D：由，
则
，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12. 已知，命题“存在，使”为假命题，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】将条件转化为任意，恒成立，此时有，从而解出实数a的取值范围.
【详解】命题：“存在，使”为假命题
即恒成立，则，
即：，解得，
故实数a的取值范围为
故答案为：
【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，考查一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.
13. 函数的单调增区间为______．
【答案】（也对）
【解析】
【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数的单调性同增异减来求得单调增区间.
【详解】由得，
解得，所以的定义域是.
函数的开口向下，对称轴为，
函数在0,+∞上单调递减，
根据复合函数的单调性同增异减可知，的单调递增区间是.
故答案为：（也对）
14. 已知，则_______．
【答案】198
【解析】
【分析】观察所求式子猜测可能为定值，通过验算可知，注意到，由此即可进一步求解.
【详解】因为
，
又，
所以
.
故答案为：198.
【点睛】关键点点睛：关键是得出，由此即可顺利得解.
四、解答题
15. 已知集合，.
（1）当时，求，；
（2）当，时，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将代入集合，解出，从而求出.再求出，与集合一起计算出；
（2）解出集合，由得，由子集关系可求得参数的范围.
【详解】（1）当时，，即
解得，即，则
，
又或，
；
（2）由解得，
又，，即，
由得，
，，
，即的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题考查了指数不等式的求解，以及集合的运算，由包含关系求参数范围.其中转化为是一个关键，再由其求出参数范围.
16. 已知函数，关于的不等式的解集为，且.
（1）求的值；
（2）是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先根据，求出不等式的解，结合可得的值；
（2）利用换元法，把函数转化为二次函数，结合二次函数区间最值法求解.
【小问1详解】
由可得，又，所以，
又因为的解集为，所以，
因为，所以，即，
解得或，因为，所以；
【小问2详解】
由（1）可得，
令，则，设，
①当 时，在上单调递增，
则，解得，符合要求；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，又，故；
③当时，在上单调递减，
，解得，不合题意；
综上所述，存在实数或符合题意.
17. 已知函数.
（1）若f（x）＜k的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，求实数k的值；
（2）若∀x1∈[2，4]，都∃x2∈[2，4]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析】
（1）由f（x）＜k，整理得：kx2﹣x+6k＞0，然后，利用韦达定理进行求解
（2）把题目的成立条件转化为f（x）最小值≥g（x）最小值，进而分别求出，函数f（x）在区间[2，4]上的最小值和函数g（x）在区间[2，4]上的最小值即可
【详解】（1）证明：由f（x）＜k得：k，整理得：kx2﹣x+6k＞0，因为解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，所以 k＜0，所以方程kx2﹣x+6k＝0的根是﹣3，﹣2，∴2+（﹣3），∴k；
所以实数k的值是；
（2）由题意可得，f（x）最小值≥g（x）最小值，
∀x1∈[2，4]，f（x）在区间[2，]为增函数，[，4]为减函数，f（2），f（4），
所以函数f（x）在区间[2，4]上的最小值是f（4）；
函数g（x）开口向上，且对称轴x＝﹣m，
①当﹣m≤2，即m≥﹣2，g（x）最小值＝g（2）＝4+4m⇒m，解得：﹣2；
②当2＜﹣m＜4，即﹣4＜m＜﹣2，g（x）最小值＝g（﹣m）＝m2﹣2m2⇒m≤﹣1或m≥1，所以﹣4＜m＜﹣2；
③﹣m≥4，即m≤﹣4，g（x）最小值＝g（4）＝16+8m，解得：m，所以m≤﹣4；
综上所述，m的取值范围：（﹣∞，].
【点睛】关键点睛：本题解题的关键有两点：分别在于：1.把题目的成立条件转化为f（x）最小值≥g（x）最小值，2.通过对进行分类讨论，求出函数g（x）在区间[2，4]上的最小值
18. 已知函数是奇函数，并且函数的图象经过点．
（1）求实数、的值及的值域；
（2）解不等式；
（3）若对任意恒有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），，值域为
（2）或x>1
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义结合可求得实数、的值；
（2）分析函数的单调性，将所求不等式等价变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可；
（3）由函数的单调性与奇函数的性质将所求不等式变形为，其中，利用参变量分离法结合对勾函数的单调性可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
因为函数是奇函数，则，
即，
化简可得
所以，解得或．
又，所以，所以，．
所以，
因为，则，所以，
所以，
即函数值域为.
【小问2详解】
由（1）得，
任取、，且，则，
则，
所以，即函数为上的减函数，
由题意知：在上单调递减且为奇函数，
所以，
所以，解得或，
所以原不等式的解集为或.
【小问3详解】
由上可知：在上单调递减且为奇函数，
由，即，
即，即，
化简得：，
又因为，当时，对恒成立，
当时，，
令，
令，则，
由对勾函数的性质知：在上单调递减，在上单调递增，
，所以．
19. 已知函数
（1）设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；
（2）已知集合
①求集合；
②当时，函数的最小值为，求实数a的值．
【答案】（1）
（2）①；②a值为或5
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）①由题知解得，再解对数不等式即可得答案；
②由题知，进而结合①还原，转化为求，的最小值问题，再分类讨论求解即可.
【小问1详解】
解：根据题意，当时，，
当时，，则，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，，
所以，
【小问2详解】
解：①，即
所以，
所以，，解得
所以，
②
由①可得
所以，函数等价转化为，，
下面分三种情况讨论求解：
当，即，在上增函数，所以，，解得，与矛盾，舍；
当，即时，在上是减函数，所以，解得，满足题意；
当，即时，，解得或（舍）
综上：a的值为或5