2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习04铅垂法求面积 （含解析）

这是一份2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习04铅垂法求面积 （含解析），共32页。试卷主要包含了求三角形面积最值，求四边形面积最值等内容，欢迎下载使用。
一、求三角形面积最值
例1
1．如图，抛物线与x轴交于A、B点，直线l：与抛物线交于E，F两点．
(1)直线l 过定点： ；
(2)求的最小值．
例2
2．如图，抛物线和y轴交于点A，与它的对称轴直线交于点B，过定点的直线与该抛物线交于点M，N．若的面积等于1，求k的值．
对应练习：
（2024•凉州区二模）
3．如图，已知：关于的二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)有一个点从点出发，以每秒个单位的速度在AB上向点运动，另一个点从点与点同时出发，以每秒个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点到达点时，点、同时停止运动，问点、运动到何处时，面积最大，试求出面积．
（2024•沂源县一模）
4．如图，已知抛物线经过A(，0)，B(，)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值及点P的坐标；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024•鼓楼区校级模拟）
5．已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)如图，点P为直线下方抛物线上一点，于点D，求的最大值；
（2024•翠屏区校级模拟）
6．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数y=kx+bk≠0的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，当面积的最大值时，求出此时点E的坐标；
（2024秋•长沙期中）
7．如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标；
（2024秋•阜阳期中）
8．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点A−2,0和点，与轴交于点．
(1)求、的值；
(2)若点是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点的坐标，并求出面积的最大值．
（2024秋•西岗区校级月考）
9．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接．
(1)求该二次函数和直线的解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，作轴于点Q交于点H，当的长度最大时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，若的面积最大时，边上的高的值为_____．
（2024秋•吉林月考）
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)连接、，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值；
（2023秋•大丰区月考）
11．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴相交于点．

(1)求该二次函数的解析式；
(2)点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P．连接，，当三角形的面积最大时，求此时点P的坐标；
（2024•深圳三模）
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值
二、求四边形面积最值
例3.（2024•南召县开学）
13．综合与探究
如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴相交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P．连接，，当四边形的面积最大时，求点P的坐标和四边形面积的最大值．
对应练习：
（2023秋•新会区校级月考）
14．如图，二次函数的图象交x轴于，交y轴于．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点M为该二次函数图象在第四象限内的一个动点，当四边形的面积最大时求出此时点M的坐标及四边形面积的最大值；
（2024春•江北区校级期末）
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点和点B4,0，与y轴交于点C，连接，过点A作交y轴于点D，连接．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图，点P在第一象限内的抛物线上，连接、，当四边形的面积最大时，求出此时点P的坐标以及的最大值；
（2024•吐鲁番市二模）
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积；
参考答案与解析
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，涉及了一元二次方程根与系数的关系以及二次函数与面积问题等知识点，掌握相关结论即可．
（1）根据即可求解；
（2）作轴交直线于D，设E、F点的横坐标分别为，则为方程的两根，可推出；根据，，即可求解；
【详解】（1）解：∵，且k为任意不为0的实数，
∴当，
∴直线l 过定点；
故答案为：；
（2）解：设E、F点的横坐标分别为，
则为方程的两根，
整理得，
∴，
∴，
当时，有最小值，最小值为8，
当时， 解得，
则，
作轴交直线于D，如图，
则，
∴
∴的最小值为，
2．
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，掌握数形结合思想成为解题的关键．
先求出A的坐标为，一次函数可化为，则其过定点E坐标为；将抛物线解析式化成顶点式可得点，则；再根据可得；联立一次函数和二次函数解析式可得、，结合可得，据此求得k的值即可．
【详解】解：令，解得：，
∴A的坐标为；
∵一次函数可化为：，
∴当时，，即该直线所过定点E坐标为．
由抛物线的解析式得，
∴点，
∴．
∵，
∴，
∴，
由 得：，
解得：，
则，，
∵，
∴，解得：．
∵，
∴．
故答案为：．
3．(1)
(2)当、或时，面积最大，最大面积是
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质；
（1）代入和，解方程组即可；
（2）设运动时间为，则，得，运用二次函数的顶点坐标解决问题．
【详解】（1）解：把和代入，

解得：，
∴二次函数的表达式为：；
（2）如图2，
设运动时间为，由，得，则，
，
当 时，最大，最大面积为 ；
即当、或时，面积最大，最大面积是．
4．（1）；（2）①，P(，)，②存在，P(，)或(0，5)
【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①根据S△PBC=PG（xC-xB），即可求解；
②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y=x2+6x+5…①，
令y=0，则x=-1或-5，
即点C（-1，0）；
（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y=x+1…②，
设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），
，
∵−＜0，
∴S△PBC有最大值，当t=-时，其最大值为；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC=∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为（-，-），
过该点与BC垂直的直线的k值为-1，
设BC中垂线的表达式为：y=-x+m，将点（-，-）代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：y=-x-4…③，
同理直线CD的表达式为：y=2x+2…④，
联立③④并解得：x=-2，即点H（-2，-2），
同理可得直线BH的表达式为：y=x-1…⑤，
联立①⑤并解得：x=-或-4（舍去-4），
故点P（-，-）；
当点P（P′）在直线BC上方时，
∵∠PBC=∠BCD，∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y=2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s=5，
即直线BP′的表达式为：y=2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x=0或-4（舍去-4），
故点P（0，5）；
故点P的坐标为P（-，-）或（0，5）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
5．(1)，，；
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴交点，以及二次函数的图像和性质,相似三角形的判定以及性质等知识．
（1）令和，解方程可求解；
（2）过点P作轴于E，交于点F，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，则，再证得，可得，得出，再运用二次函数的性质即可求得答案；
【详解】（1）解：对于，令，则，
∴，
∴点，点，
令，则，
∴点；
（2）解：过点P作轴于E，交于点F，如图1：
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大为；
6．(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为；
(2)
【分析】主要考查了二次函数的平移和待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质．
（1）先写出平移后的抛物线解析式，再把点代入可求得的值，由的面积为5可求出点的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）作轴交于，利用三角形面积公式，由构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，
∵，∴点的坐标为，
代入抛物线的解析式得，，
∴，
∴抛物线的解析式为，即；
令，解得，，
∴，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∴，
代入抛物线解析式得，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：过点作轴交于，如图，
设，则，
∴，
∴
，
∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．
7．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数与面积的综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）在中，令，，可得，将，代入即可求解；
（2）过点P作轴交于点E，设点，则，根据即可建立函数关系式求解；
【详解】（1）解：在中，
令，则；令，则，解得；
∴，
将，代入得：
，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：如图，过点P作轴交于点E，
设点，则
，
∵，
∴当，即点时，有最大值，且最大值为；
8．(1)
(2)当时，，此时
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，一次函数与几何综合：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出，得到；方法1：连接，设点，分别求出，再根据求出，据此可得答案；方法2：作于，交于点，求出直线的解析式为：，则，，进而得到，据此可得答案．
【详解】（1）解；解：把点A−2,0和点代入，
得，
解得，；
（2）解：由（1）可知抛物线解析式为，
当时，，
，
，
方法一：如图1，
连接，
设点，
，
，
∵，
当时，最大，此时；
方法二：如图2，
作于，交于点，
设解析式为：
，，
∴，
解得
直线的解析式为：，
，
，
，
∵，
当时，，此时；
9．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与图形的面积，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由（1）知直线的解析式，设，得到，利用二次函数的性质求解即可得；
（3）根据（2）中点P、H的坐标，得出，根据求出面积的最大值，然后求高即可．
【详解】（1）解：将，C0,−3代入中得：
，
解得：，
二次函数的解析式；
令，则，
解得：，，
∴点B的坐标为，
∴，
设直线的解析式为，
代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
（2）解：由（1）知直线的解析式为，
设点，
轴于点Q交于点H，
，
，
，
．当时，的长度最大，
将代入得
；
（3）由（2）得，
，
，
，
最大面积为，
．
10．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）将、代入即可求解；
（2）解一元二次方程即可；
（3）过点作轴，求出直线的解析式，设点，则，根据即可建立函数关系式求解；
本题考查了二次函数综合问题，涉及了待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与面积问题，掌握函数的性质是解题关键．
【详解】（1）解：将、代入得：
，
解得：，
；
（2）解：依题意，令，
解得，，
∵点的坐标为，
点的坐标；
（3）解：∵点，
∴设直线的解析式为：，
将代入得：，
解得：；
直线的解析式为：，
过点作轴，如图1所示：
设点，
则
，
当，即点时，有最大值，且最大值为
11．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据铅垂法求出表达式；
（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）先求出直线解析式，设P坐标为，则点Q的坐标为，
求出，根据铅垂法求出，再根据二次函数的图象和性质求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过与点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图：

设直线解析式为，
把，代入得，
解得：，
直线解析式为，
设点P坐标为，
轴，
∴点Q的坐标为，
，
，
当时，面积有最大值，此时，
此时点P的坐标为．
12．(1)
(2)，
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点作轴，交于点，易得，转化为二次函数求最值即可．
【详解】（1）解：把，代入解析式，得：
，解得：，
∴；
（2）设，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
过点作轴，交于点，则：，
∴，
当时，的面积最大，
∴，
此时，点的坐标为，的面积最大值为．
13．(1)
(2)，面积最大为16
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据铅垂法求出表达式；
（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）先求出，可知当的面积最大时，边形的面积最大，求出直线解析式，设P坐标为，则点Q的坐标为，求出，根据铅垂法求出，再根据二次函数的图象和性质求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过与点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图：

∵，，
∴，
∴，
∵四边形的面积＝，
∴当的面积最大时，四边形的面积最大，
设直线解析式为，
则有，
解得：，
直线解析式为，
设点P坐标为，
轴，
∴点Q的坐标为，
，
，
当时，面积有最大值，此时，
此时点P的坐标为，
∴四边形的面积最大值．
14．(1)
(2)当点的坐标为时，四边形的面积最大，最大值为
【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键．
（1）运用待定系数法解二次函数解析式即可求解；
（2）如图，连接，作轴交于点，可求出直线的解析式，设点的坐标为，的坐标为，用含的式子表示四边形的面积，根据二次函数图象的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，交轴于点，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）解：如图，连接，作轴交于点，

设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，
∴，解得，
∴，
∴设点的坐标为，的坐标为，
∴，
∴
，
∴当时，四边形的面积取得最大值为4，此时，
∴，
∴当点的坐标为时，四边形的面积最大，最大值为4．
15．(1)
(2)，最大值为13.5
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）先求出直线为，直线AD为，进而得，过点作轴交于点，设，则，利用面积公式构造二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：把点和点代入二次函数得，
，
解得，
∴二次函数为；
（2）解：当时，，
∴，
设直线为，
把，B4,0代入得，
，
解得，
∴直线为，
∵，
∴设直线为，
把代入得，
解得，
∴直线为，
当时，，
∴
过点作轴交于点，设，则，
，
∴当时，的最大值为，
当时，，
∴，的最大值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和面积问题，待定系数法求二次函数，一次函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．(1)
(2)，
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是求出的最值；
（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）过P作轴于点F，交于点E，求出直线的解析式，设，则，进而可得，根据二次函数的性质求出的最大值，再加上面积即可得解．
【详解】（1）解：把代入，得，
抛物线的表达式为，
将点B的坐标代入上式得，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）解：如图1，过P作轴于点F，交于点E，
∵四边形的面积的面积的面积，而的面积不变，
∴当的面积最大时，四边形的面积也最大，
令，则，
解得：，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
把代入得，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，，，
此时，
∴此时四边形ABPC的面积也最大，，
∴此时点P的坐标为，四边形的最大面积为．
铅垂法1：
铅垂法2：
铅垂法3：