专题04 直线与圆中的最值（范围）问题-【寒假提升课】2025年高二数学寒假提升试题（人教A版2019）

专题04 直线与圆中的最值（范围）问题考点要求（1）了解直线的斜率的概念，了解圆的一般方程和标准方程、直线与圆的位置关系及其应用，能用直线斜率的意义和圆的几何性质解决常见的距离和最值问题.知识点01：与圆有关的最值与范围问题的常用技巧1．数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.2．建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、 判别式法等进行求解.3．利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如或者的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证.4．多与圆心联系，转化为圆心问题.5．参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解.知识点02：与对称有关的三点共线最值问题1、点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则AP+BPmin=AB'(当点A、P、B'共线时取到)，点B'是点B关于直线l的对称点.2、点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则|AP-BP|max=AB(当点A、P、B共线时取到).3、点A、B在直线l异侧，点P在直线l上，则|AP-BP|max=AB'(当点A、P、B共线时取到)，点B'是点B关于直线l的对称点.知识点03：点与圆的位置关系最值（范围）问题1、若点M在圆内，则MNmin=MN1=r-OM，MNmax=MN2=r+OM；2、若点M在圆外，则MNmin=MN1=OM-r，MNmax=MN2=r+OM；3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r为圆半径，则PEmin=P1F=d-r，PEmax=P2F=d+r.知识点04：代数式的几何意义最值（范围）问题1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率；2、形如，可以转化为点和点的距离的平方；3、形如，可以转化为动直线纵截距知识点05：弦长长度的最值（范围）问题设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为知识点06：圆的参数方程（供了解）圆的标准方程x-a2+y-b2=r2，圆心为(a , b)，半径为r，它对应的圆的参数方程：x=rcosθ+ay=rsinθ+b (θ是参数).考点剖析 【题型一：点到圆上点的最值范围问题】一、单选题1．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点在圆上，点，则的值可能为（   ）A．1 B．7 C．13 D．15【答案】B【分析】先确定在圆内，再求出到圆心的距离，然后得到的取值范围即可；【详解】因为，所以点在圆内，圆心，半径，点到圆心的距离为，所以的取值范围为，所以的值可能为7，故选：B.2．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（    ）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】将直线的方程化为点斜式，求点坐标，判断点与圆的位置关系，结合圆的性质求PQ的最大值.【详解】由，得，所以直线过定点，由，知圆心坐标，半径为，所以到圆心的距离为，所以在圆外，故PQ的最大值为.故选：C.3．（24-25高二上·云南文山·期末）已知点O0,0，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意知，点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，直线经过定点，结合图形可得，当且仅当轴时，点到直线的距离最大，即可求得.【详解】如图，因点满足，则点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，又直线经过定点，由图知，要使点到直线的距离最大，只需使圆心到直线的距离最大，即当且仅当轴时，点到直线的距离最大，为.（理由：如图，过点另作一条直线，过点作于点，在中显然有，故当且仅当轴时，点到直线的距离最大）.故选：D.4．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，，利用椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求出的最大值.【详解】如图,  由，得，，则，则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为，由椭圆的定义得，所以，又，所以，当且仅当为线段与椭圆的交点，且为射线与圆的交点且、方向相同时，上述不等式中的两个等号同时成立，故的最大值为.故选：B.5．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，进而可得，由此即可得解.【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，则，当且仅当、、、四点共线（点在、两点之间）时，取等号，所以的最小值为.  故选：C.【点睛】结论点睛：若点是半径为的圆外的一点，则点到圆的上一点的距离的取值范围是.【题型二：与对称有关的三点共线最值问题】一、单选题1．（24-25高二上·江苏泰州·期中）点在直线上运动，，，则的最小值是（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出点关于直线的对称点，再求出线段长即可.【详解】点，都在直线的下方，点关于直线的对称点，于是，当且仅当点是线段与直线的交点时取等号，所以的最小值是5.故选：C2．（24-25高二上·重庆·期中）已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由切线长公式知当时，最小，结合点到直线距离公式求得的最小值，然后作关于直线的对称点，可知当点为与直线的交点时，最小，由对称知，此时与重合，从而易得最小值．【详解】由可知圆心为，半径，由题意，所以当时，取最小值，由点到直线的距离公式可得，此时， 过作直线的对称点，连接，，与直线的交点即为所求的点，由于与关于直线对称，，与关于直线对称，因此与就是同一条直线，即点即为所求的点，所以的最小值为.故选：C  3．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知直线与抛物线y2=2pxp>0相交于M，N两点，线段的中点的横坐标为4，点T为轴上的动点.若的最小值为，则实数的值为（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】设点，联立直线与抛物线，利用韦达定理以及中点坐标，设点关于轴的对称点为，可得，代入计算即可求出实数的值.【详解】设点，联立，消去得，则，因为线段的中点的横坐标为4，所以，即，设点关于轴的对称点为，则，所以，解得或.故选：A.二、填空题4．（24-25高二上·广东韶关·阶段练习）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 .【答案】【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，再求出到圆上的点的距离最小值.【详解】设点关于直线的对称点，的中点为，故，解得，即，依题意即为点到军营最短的距离，所以“将军饮马”的最短总路程为.故答案为：5．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 .【答案】 .【分析】由图，求出B关于l的对称点为的坐标，当A，，Q三点共线时，可求的最大值及相应Q坐标.【详解】如图，设B关于l的对称点为，因，则，即.连接，则所在的直线方程为.由得与l的交点为，记此点为Q，又在直线任取一点M，连接BM，，由对称性，，则当A，，M三点共线时，即M与Q重合时，此时的值最大且为.故答案为：；【题型三：代数式的几何意义最值范围问题】一、单选题1．（24-25高二上·陕西·期中）已知点在直线：上运动，点，，则的最大值为（   ）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】可以验证点与点关于直线对称，从而，结合三角不等式即可得解.【详解】设，注意到点，，所以中点为1,0，满足，且，所以点关于直线对称，从而，等号成立当且仅当三点共线，所以的最大值为.故选：A.2．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解.【详解】，表示平面上点与点，的距离和，连接，与轴交于，此时直线方程为，令，则的最小值为，此时故选：C．3．（24-25高二上·福建福州·期中）已知实数满足，则的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将问题转化为圆上的点与连线的斜率，利用圆的切线方程的求法可求得斜率的取值范围，进而得到最大值.【详解】由得：，点的轨迹是以2,1为圆心，为半径的圆，的几何意义为该圆上的点与连线的斜率，  当过点的直线斜率不存在，即为时，与圆显然不相切；设过点的圆的切线为，即，圆心到切线的距离，解得：，，则的最大值为.故选：C.二、填空题4．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若实数满足，则的最大值是 ．【答案】/【分析】利用两点间距离几何意义求解最值.【详解】设点，由实数满足可得：点在以原点为圆心，以为半径的圆上，设点，则的几何意义为动点到定点的距离，由，则点在圆外，结合图形可知，.的最大值是.故答案为：.  5．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知，则的最小值为 .【答案】【分析】根据给定条件，利用各算术根的几何意义，结合几何图形求出最小值.【详解】依题意，取点，顺次连接得矩形，设，，显然点在矩形内，因此而，当且仅当点在线段上（除端点外）时取等号，，当且仅当点在线段上（除端点外）时取等号，因此，当且仅当是与的交点时取等号，此时，所以当时，取得最小值.故答案为：【题型四：弦长长度的最值范围问题】一、单选题1．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，直线：，若与交于两点，则的最小值为（   ）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】求出直线过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出最短弦长.【详解】直线：过定点，圆：的圆心，半径，，即点在圆内，当且仅当时，最短，所以的最小值为故选：C2．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）直线过点，且与圆：相交所形成的长度为的弦的条数为（    ）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】根据过圆内的弦长最长为直径，最短时点与圆心连线为弦心距求出范围即可判断.【详解】由题设，圆的圆心为，且半径，而，即点在圆内，且圆心到该点的距离，当直线与、的连线垂直时，弦长最短为，故长度为的弦的条数为1条.故选：C3．（23-24高二上·广东江门·期中）过的直线与圆相交，若使得相交弦长最短，则该直线的方程为（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可判断点在圆内，圆的圆心为，当过点的直线与垂直时，所得弦的长度最短，通过求斜率即可求解.【详解】因为，所以点在圆内，圆的圆心，当过点的直线与垂直时，所得弦的长度最短，因为过点，的直线的斜率为，所以所求直线的斜率为，故直线的方程为，即.故选：.4．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出直线过定点，再根据点在圆内结合几何性质求出最短弦和最长弦即可得解.【详解】直线可化为，则直线过定点，点代入圆中：，所以点在圆内，当时，直线被圆截得的弦长最短，即，当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，即，所以.故选：A5．（24-25高二上·福建·期中）已知直线将圆分成面积分别为，的两个部分，当的值取最大时，的值为（   ）A．0 B．2 C． D．【答案】D【分析】由题意可得，直线过定点，且当弦长最短时，的值取最大，此时直线与直线垂直，即可求解.【详解】由题意可得，直线过定点，且当弦长最短时，的值取最大，此时直线与直线垂直，圆的圆心为，半径为3，所以，所以.故选：.【题型五：圆的参数方程解决最值范围问题】一、单选题1．已知点是圆上的动点，则的最大值为（    ）A． B． C．6 D．5【答案】A【分析】根据圆的标准方程，设x、y的参数方程，利用辅助角公式及正弦型函数的性质求最值即可.【详解】由，令，则，所以当时，的最大值为.故选：A2．（2024·河南·模拟预测）已知点是圆 C 上的任意一点，则 的最大值为（    ）A．25 B．24 C．23 D．22【答案】A【分析】设 代入算式中由倍角公式化简，利用基本不等式求积的最大值.【详解】点是圆 C 上的任意一点，设 则 ， 当且仅当 时，等号成立.的最大值为25.故选：A3．（23-24高一下·江苏徐州·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为（    ）  A．0,4 B．0,4 C．0,2 D．【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，再由平面向呈的坐标运算结合三角函数的有界性计算即可求得.【详解】如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，则，则以AB为直径的半圆为，因为动点P在以AB为直径的半圆上，所以，所以，所以，因为，所以，所以，即的取值范围为0,4.故选：B  过关检测一、单选题1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）如果实数满足，那么的最小值是（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析方程得出圆心和半径，代数式表示圆上的点到原点的距离，通过数形结合得到最小值点，从而求得最小值.【详解】是以为圆心，半径的圆，所求代数式可以理解为求圆上的点到原点的距离，如图：显然最远距离和最小距离分别为圆与轴的交点和，∴的最小值为.故选：C.2．（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ）A．5 B． C．4 D．【答案】B【分析】首先求出直线过定点，则到直线的最远距离为，此时直线垂直于，求出，即可得解.【详解】将直线方程变形为，令，解得，由此可得直线恒过点，不妨设为，所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于．又，所以到直线的距离的最大值为．故选：B3．（24-25高二上·河南开封·期中）已知是曲线上的动点，是直线上的一个动点，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】曲线C表示以为圆心，以1为半径的圆，先求得点关于直线的对称点，然后由求解.【详解】解：如图所示：曲线，即为，表示以为圆心，以1为半径的圆，设关于直线的对称点为，则，解得，即，连接，，则，，当且仅当共线时，等号成立，所以则的最小值是，故选：C4．（2024·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案.【详解】设，变形可得，则的几何意义为直线的斜率，圆化为，所以圆的圆心为，半径为.因为Px0,y0是圆上任意一点，所以圆与直线有公共点，即圆的圆心到直线的距离不大于圆的半径，所以，解得，即的最大为.故选:D.5．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知，关于直线对称的圆记为，点，分别为，上的动点，长度的最大值为12，则（    ）A．或0 B． C．或0 D．0【答案】A【分析】画出图形，当过两圆圆心且与对称轴垂直又远离对称轴时，长度最大，此时圆心到对称轴的距离为4，根据点到直线的公式建立方程求解即可.【详解】由题易知两圆不可能相交或相切，如图，当过两圆圆心且与对称轴垂直又远离对称轴时，长度最大，此时圆心到对称轴的距离为4，所以，即，解得或.故选：A.6．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知点在直线上，点在直线上，点的坐标为，且，，三点不共线，则周长的最小值为（     ）A． B． C． D．8【答案】C【分析】利用对称将三角形周长转化为四点共线问题，求出两点之间距离即可.【详解】依题意，点关于直线的对称点，关于直线的对称点，则， 的周长，当且仅当点分别是直线与直线及直线的交点时取等号，所以周长的最小值为.故选：C7．（22-23高二上·四川内江·期中）已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圆关于轴的对称圆，结合图形分析即可得.【详解】记圆关于轴的对称圆为，点关于轴的对称点为，由题知，圆的圆心为2,3，半径为，圆的圆心为，半径为，则，由图可知，当且仅当共线时取等号，因为，所以的最小值为.故选：B  8．（24-25高二上·重庆江北·期中）如图，曲线由三部分构成：半圆，半圆，半椭圆，直线交于，动点在曲线上，则面积的最大值为（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求，再求点到直线的距离，表示出的最大面积.【详解】如图：，故.显然当点在半圆上且时，面积最大.因为点到直线：的距离为：.所以点到直线的距离故.故选：B9．（24-25高二上·四川成都·期中）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用直线过定点及两直线位置关系先确定的轨迹，令，可求出点坐标，根据两点之间线段最短可求解.【详解】直线过定点，直线过定点，且直线与直线垂直，所以点的轨迹是以为直径的圆，故圆心是，半径为则点的方程是令，因为，所以，则所以，可得点则.    10．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用题设条件，建系，求得相关点的坐标，因点在圆上，设点，计算得三角函数形式，运用辅助角公式将其化成正弦型函数，即可求其最值.【详解】如图，以为原点，建立直角坐标系.由题意，梯形的高长为，则.因为以为圆心的半径为的圆的方程为：，可设点，.则其中，，故当时，.故选：A.11．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知圆是圆上的两个动点，且，则的最大值为（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出中点M的轨迹方程为圆，所求式子可转化为M到直线的距离，利用圆的性质即可得出最大值.【详解】如图，圆，圆心为点，设线段的中点为，得，所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，即为可看作点到直线的距离，同理，可看作点到直线的距离，因此可看作点到直线的距离，于是点到直线的距离最大值即，则，即，故D正确．故选：D二、多选题12．（24-25高二上·四川南充·期中）已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（   ）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最大值为【答案】ABD【分析】设，可得，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断AB选项；利用距离的几何意义求出的最大值，可判断C选项；设，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断D选项.【详解】将方程化为标准方程可得，圆的圆心为，半径为，对于A选项，设，可得，则直线与圆有公共点，所以，，整理可得，解得，AB都对；对于C选项，代数式的几何意义为圆上的点到原点的距离的平方，如下图所示：由图可知，当点为射线与圆的交点时，取最大值，即，故的最大值为，C错；对于D选项，设，则直线与圆有公共点，所以，，解得，所以，的最大值为，D对.故选：ABD.13．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点、，则下列说法正确的是 （    ）A．切线长最小值为B．四边形的面积最小值为C．最小时，弦所在的直线方程为D．弦长的最小值为【答案】BC【分析】分析可知，当时，取最小值，结合勾股定理可判断A选项；推导出，可得出，利用三角形的面积公式可判断B选项；分析可知，当最小时，四边形为正方形，求出线段的中点坐标，结合直线的点斜式方程可判断C选项；分析可知，，求出的最小值，可判断D选项.【详解】圆心为，半径为，连接、，则，对于A选项，由勾股定理可得，当时，取最小值，此时，也取最小值，且，则，A错；对于B选项，由切线长定理可得，又因为，，所以，，故，当且仅当时，等号成立，故四边形面积的最小值为，B对；对于C选项，当取最小值时，，因为直线的斜率为，则，此时，直线的方程为，联立可得，此时，点，线段的中点为，因为，且，所以，四边形为正方形，此时，，且直线过线段的中点，则直线的方程为，即，C对；对于D选项，设，因为，则，因为，则，且为的中点，所以，，且，当时，取最小值，此时，，故，D错.故选：BC.【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法（1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.14．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知，，是曲线上的任意一点，若的值与无关，则（   ）A．m的取值范围为B．n的取值范围为C．的最大值为7D．的最小值为【答案】ACD【分析】由方程知曲线为半圆，再由题意转化为半圆夹在两平行直线之间，求出相切与过端点的情况即可得解.【详解】由曲线，得，则（），所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）.设直线：与：，由，得表示点到直线和的距离和的2倍，对于AB，若的值与无关，则该曲线在两平行直线：与：之间，当与该曲线相切时，，解得，则的取值范围为，当经过点时，，解得，则的取值范围为，故A正确，B错误；对于C，由图知，当点的坐标为时，点到直线的距离最大，为，所以的最大值为7，故C正确；对于D，由图可知，当与该曲线相切，且经过点时，点到直线和的距离和最小，此时，则点到直线和的距离和最小值为，所以的最小值为，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：将转化为点到直线和的距离和的倍，是解决本题的关键.三、填空题15．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知点在直线上，则的最小值为 【答案】4【分析】根据所求式子，转化为动点到两个定点的距离和，利用数形结合，结合对称性，即可求最小值.【详解】，表示直线上的点到定点和的距离和，如图，点关于的对称点为，，当点三点重合时，最小，最小值为4.故答案为：416．（24-25高二上·全国·课后作业）点到直线距离的最小值为 ，最大值为 .【答案】 / /【分析】利用点到直线的距离公式结合辅助角公式求得，然后利用正弦函数的性质求解最值即可.【详解】点2,1到直线的距离，其中，故当时，取得最小值；当时，取得最大值．故答案为：；17．（23-24高二下·上海·期中）已知实数，满足，则的最大值是 ．【答案】【分析】利用圆的参数方程思想，引入参数来表示、，代入后得到关于的三角函数来求最值.【详解】由得：，所以可设，,则,因为，所以的最大值是，故答案为：.18．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则四边形的面积的最小值为 .【答案】【分析】首先判断直线与圆的位置关系，再由、，将问题化为先求最小值，进而求最小面积.【详解】由，即，则，半径，所以到的距离，即直线与圆相离，如下图示，  由题意，且，而，所以，要使四边形的面积最小，只需最小，又，即只需最小，显然，所以，故最小.故答案为：.19．（24-25高二上·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 ．【答案】【分析】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形，得最小值.【详解】在椭圆中，，，则，即点、，如图，为椭圆上任意一点，则，又因为为圆上任意一点，.当且仅当、、、共线且、在、之间时等号成立．所以的最小值为.故答案为：.20．（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）已知圆上有一动点，记点到直线的距离为，平面上有一定点，则的最小值为 .【答案】【分析】求出中点的轨迹，再结合图形找到线段和最小值的情况.【详解】作出图形，分别取线段中点分别为，因为，则，则，则点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆，其轨迹方程，半径，则，设点到直线的距离为，则，则的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出中点的轨迹，再根据三点共线即可得到最值.21．（24-25高二上·广东广州·期中）已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之差为 .【答案】16【分析】设，利用两点间的距离公式得到，再由点P在圆上运动，化简为求解.【详解】设，因为，，三点，所以，，因为点P在圆上运动，则，解得，所以，当时，取的最大值88，当时，取的最小值72.所以取的最大值与最小值之差为.故答案为：16考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破