专题05 椭圆、双曲线中的离心率问题-【寒假提升课】2025年高二数学寒假提升试题（人教A版2019）

专题05 椭圆、双曲线的离心率问题考点要求（1）理解椭圆、双曲线的定义、几何图形、标准方程，掌握椭圆、双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.知识点01：常见的离心率问题求解思路①定义法：根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程．②几何法：涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得eq \f(c,a)的值．③构造齐次方程求离心率利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解．知识点02：求离心率的范围主要思路是建立不等式1、利用焦半径的取值范围建立不等关系为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．2、利用最大顶角建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．3、利用题目不等关系建立不等关系．4、利用判别式建立不等关系．5、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．6、利用基本不等式，建立不等关系．知识点03：椭圆离心率求解的常用方法公式1: 公式2: 变形证明:公式3:已知棚圆方程为,两焦点分别为,设焦点三角形,,则椭圆的离心率公式 4: 以椭圆 两焦点 及椭圆上任一点 (除长轴两端点外) 为顶点 , 则 公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或知识点04：双曲线离心率求解的常用方法公式1:公式证明:公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或考点剖析 【题型一：利用a、b、c的齐次式】一、单选题1．（24-25高二上·安徽六安·期中）椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0满足，则该椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据的关系及椭圆离心率定义求解.【详解】由，知该椭圆的离心率.故选：A.2．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（    ）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的渐近线方程求得，再由离心率公式计算即可.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，所以此双曲线的离心率为.故选：B3．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，若a，b，c成等比数列，则C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合双曲线离心率定义与等比数列定义计算即可得.【详解】由题意可得，则有，即，解得，又，故.故选：C.4．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆的性质确定焦点三角形的周长和面积，再应用等面积法得到齐次式，即可求离心率.【详解】由题设，焦点三角形的周长为，面积为，又其内切圆半径为，所以.故选：A5．（24-25高二上·广东深圳·期中）椭圆：的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，再结合离心率公式即可得解.【详解】由题知，，设，则，则由得，，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率.故选：A.6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l： 与双曲线C：的右支交于点M，OM（O是坐标原点）的垂直平分线经过C的右焦点，则C的离心率为（　　）A． B．＋1C． D．【答案】C【分析】结合图形，由直线可得，根据OM的垂直平分线经过C的右焦点，得，从而可得点M坐标，再结合即可求得双曲线C的离心率.【详解】根据题意，直线，OM的垂直平分线经过C的右焦点，则，如图，   则，所以，所以，结合，可得，所以，则.故选：C.【题型二：利用勾股定理】一、单选题1．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得，利用椭圆定义可得，即可得到椭圆离心率.【详解】由题意得，.∵，，∴，由椭圆定义得，，即，∴，即椭圆的离心率为.故选：D.2．（23-24高二上·江西赣州·期末）已知，为双曲线C：（，）的两个焦点，以为直径的圆与C在第一象限的交点为P，若，则C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，利用双曲线的定义，求得，结合，利用勾股定理，得到，再结合离心率的定义，即可求解.【详解】由双曲线的定义，可得，因为，可得，又由以为直径的圆与C在第一象限的交点为，可得，则满足，可得，即，可得，所以双曲线的离心率为.故选：A.3．（24-25高二上·安徽·期中）已知双曲线的一个顶点为，左、右焦点分别为，，直线经过，且与交于，两点.若，，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，则，利用双曲线的定义表示，，由勾股定理可得关系进而可得离心率．【详解】由题意知，，且A，B都在双曲线的右支上．设，则，，．在中，，得，则，.在中，，即，得．所以双曲线C的离心率为.故选：B4．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用椭圆的定义及勾股定理用表示出，在△中求出，再在△中，通过余弦定理得到与的关系，即可求出离心率.【详解】由题意得，，令，则∵，∴，即，∴，,在△中，，在△中，，∴，∴.故选：A.5．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）设椭圆的左､右焦点分别为，点在上（位于第一象限），且点关于原点对称，若，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据对称以及垂直可证四边形是矩形，再结合椭圆定义，以及勾股定理求出，由及矩形性质列式求出离心率.【详解】由点关于原点对称，得线段互相平分，则四边形为平行四边形，由，得，则是矩形，，，设，由，得，由，得，整理得，而所以的离心率．故选：C【题型三：利用正、余弦定理】一、单选题1．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知点分别为椭圆的左､右焦点，，若经过的弦AB满足，则椭圆C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆的定义可得，由，根据余弦定理可得，再由离心率公式求解即可.【详解】由题可知，所以，解得，因为，即，整理得，所以.故选：A.2．（23-24高二下·河南郑州·开学考试）已知为椭圆上的点，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为的平分线交线段于点，则（    ）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根据角平分线定理及椭圆的定义求解即可【详解】因为的平分线交线段于点，所以，由正弦定理得，.又因为，所以，即.不妨设，则，则，解得，所以.故选：A.3．（24-25高二上·安徽·期中）已知双曲线的一个顶点为，左、右焦点分别为，，直线经过，且与交于，两点.若，，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，则，利用双曲线的定义表示，，由勾股定理可得关系进而可得离心率．【详解】由题意知，，且A，B都在双曲线的右支上．设，则，，．在中，，得，则，.在中，，即，得．所以双曲线C的离心率为.故选：B4．（2024·安徽合肥·三模）已知双曲线的右焦点为，圆与的渐近线在第二象限的交点为，若，则的离心率为（    ）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】由解得，根据三角函数的定义知，利用同角的三角函数关系求得，，由诱导公式、两角和的正弦公式和正弦定理计算可得，结合离心率的概念即可求解.【详解】如图，由题意知，双曲线的渐近线方程为，则，解得，所以,由三角函数的定义知，又，且显然为锐角，，又，解得，，则，在中，由正弦定理可得，即，化简得，所以的离心率为．故选：C．5．（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，且满足，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设椭圆的左焦点为，求出，利用椭圆的定义求出，然后在、求出，可得出的值，由此可得出椭圆的离心率的值.【详解】因为椭圆与双曲线有公共焦点，设Fc,0，则, 则，直线的方程为，即，点到直线的距离为，设椭圆的左焦点为，连接，则，在中，，在中，由余弦定理可得,所以，，解得，因此，椭圆的离心率为.故选：B.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.6．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解.【详解】由题意可知，，且，，所以，   因为，所以，所以即，又，所以，所以由余弦定理得， 整理得，所以即.故选：B.【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解.【题型四：利用中位线和相似】一、单选题1．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过边长相等得到角相等，证明三角形相似，利用线段比例关系得到的关系式即可得到结果.【详解】由题意得，，由椭圆定义得，故，∵，，∴，∴与相似，∴，即，整理得，故，解得，由得，，即椭圆的离心率为.故选：B.2．（23-24高二上·天津·期末）已知是双曲线的右焦点，过点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且直线与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设的左焦点为，连接，过作于，根据已知及双曲线性质有为线段的中垂线，结合双曲线定义及关系得到关系，即可得离心率.【详解】设的左焦点为，连接，过作于，易知，所以为的中位线，又图中双曲线的渐近线方程为，则，，则为线段的中点，所以为等腰三角形，即，又，即，，即，，解得.故选：B.3．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，E上两动点M，N均位于x轴上方，且，若与的交点在y轴上，且纵坐标为，则椭圆E的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据题意知道得到，再根据相似三角形得到，借助离心率公式计算即可.【详解】如图，由于，与的交点在y轴上，结合椭圆的对称性，知道则，代入E:x2a2+y2b2=1a>b>0，求得，求得，故.设与的交点在y轴上，为.显然,,代入.即，化简得，，即.故选：B.4．（2024·江西新余·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（     ）.A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，过作，结合点到直线的距离公式及双曲线定义求出的关系，即可求出双曲线的离心率.【详解】令双曲线的半焦距为，则，令直线与双曲线的渐近线垂直的垂足为，于是，，过作于，则，而为线段中点，于是，，由，得，，，由双曲线定义得，即，解得，所以双曲线的离心率.故选：B5．（2024·江西新余·二模）如图，已知为双曲线上一动点，过作双曲线的切线交轴于点，过点作于点，，则双曲线的离心率为（    ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】由与双曲线相切，可得，即可得，作轴于点，结合相似三角形的性质可得，计算即可得的值，从而求出离心率.【详解】设，则，令，则，故，过点作轴于点，则，由，轴，故与相似，故，及，即.又，所以，所以，即，则．其中双曲线上一点的切线方程，证明如下：不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）．由，得，所以，则在的切线斜率，所以在点处的切线方程为：，又有，化简即可得切线方程为：．故选：B.  【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造相似三角形，从而将求的值，转化为求的值.【题型五：利用双余弦定理】一、单选题1．（24-25高二上·山东淄博·期中）已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】确定在上，设，由椭圆的定义用表示出，由余弦定理确定的关系，然后在中用余弦定理求得关系，得离心率．【详解】点关于的角平分线的对称点N必在上，因此共线，，，设，则，，，又，∴，中，由余弦定理得：，∴，化简得，∴，，中，，由余弦定理得，解得，故选：B．  2．（2024·湖南衡阳·一模）已知双曲线，两焦点分别为，，过右焦点作直线交右支于，点，且，若，则双曲线的离心率为（   ）A． B． C． D．2【答案】C【分析】设，结合双曲线定义表达出其他各边长，在中，由余弦定理得到方程，求出，从而，，在中，由余弦定理得到的关系，求出离心率.【详解】如图，因为，令，则，，由双曲线定义，，  在中，，由余弦定理，即，整理得，解得或（舍去），则，，故在中，由余弦定理，得，整理得，则．故选：C．3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点为为在第一象限的两个动点，且，若，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合椭圆定义在中由余弦定理求得，同理在中利用余弦定理可得，再由可得关系，进而得离心率.【详解】连接，设，则，在中，由余弦定理可得，即，解得，即.由可知，在在中利用余弦定理可得，同理可解得，又因为，即，所以．故选：A.【题型六：求离心率的范围】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知过点可作出双曲线的两条切线，切点都在双曲线的同一支上，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意，点必须在渐近线轴和双曲线围成的区域内（不包括边界），可得，结合的关系求解即可.【详解】要满足题意，点必须在渐近线轴和双曲线围成的区域内（不包括边界），如图，所以，得，∴，∴，，即．故选：D．2．（24-25高二上·重庆·期中）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若离心率满足，则椭圆的离心率的取值范围为（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆定义结合已知条件得，即可根据求解.【详解】由椭圆定义可得，又，故，由于，所以，故且，解得.故选：D3．（23-24高二上·重庆·期中）已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意，可得夹角的取值范围，整理相关等式，进而可得离心率的函数表达式，利用不等式定义，可得答案.【详解】设，，，由，则，显然，则整理可得，由，则，解得，由双曲线的定义可知：，则，整理可得，化简可得，由，且，则，可得或，解得或，所以，解得.故选：C.4．（24-25高二上·重庆·期中）已知F为椭圆的右焦点，A，B为圆上两个关于原点对称的点，若恒成立，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题设，数形结合判断最大时的位置，再应用余弦定理求得，结合离心率范围确定答案.【详解】由题设，当且仅当为椭圆上下顶点时最大，只需此时即可，显然，此时为等腰三角形，且，所以，则，故，又，则椭圆的离心率范围是.故选：C5．（23-24高二上·天津和平·期末）椭圆的两个焦点为，，点M是椭圆上一点，且满足．则椭圆离心率的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将问题转化为当为短轴端点时，，即，进而可以求离心率的取值范围.【详解】点M是椭圆上一点，且满足，设为短轴端点，当时，必存在点，使，如图：此时，所以，所以，即，即，所以椭圆离心率的取值范围为.故选：C.【点睛】关键点点睛：求离心率的取值范围关键是要根据题目条件构造关于的不等式，然后解不等式即可.6．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设与轴交点为，连接，由双曲线的定义和对称性，结合已知条件得，有且，可求离心率的取值范围.【详解】设与轴交点为，连接，由对称性可知，又因为，所以，所以，又因为，所以，在中，，所以，所以，由，且三角形内角和为，所以，所以，即，则，综上：.故选：.过关检测一、单选题1．（23-24高二下·云南玉溪·期末）设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线定义及可得，的长度，再由勾股定理可得离心率.【详解】由，，可得，由双曲线定义可知，所以，，，由勾股定理可得，可得，故，故选:B.2．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆定义，结合椭圆的性质即可求解.【详解】根据椭圆定义可得，又，故，因此，故，故，故选：D3．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆的定义可得，由二次函数的图象与性质和可得的最大值为、最小值为，进而求解.【详解】因为，所以，所以当时，取得最大值，因为，所以的最小值为，因为的最大值是它的最小值的2倍，所以，所以，所以，所以椭圆的离心率为.故选：A4．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）设，是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的离心率为（    ）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】由双曲线的定义结合余弦定理计算可得离心率.【详解】由题意,设由双曲线的定义得，又，求得而，所以在中余弦定理得,所以，即.所以 ，故双曲线C的离心率为.故选：5．（23-24高二下·江西九江·期末）设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】取为的中点，为右焦点，根据得，由在上的投影向量的模为得，利用双曲线的定义可得结果.【详解】取为的中点，为右焦点，，，，在上的投影为，，，，，，，.故选：C6．（22-23高二上·浙江台州·期中）已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设椭圆的左焦点为，连接、、，推导出四边形为矩形，设，在中，利用勾股定理可解得，然后在中，利用勾股定理可求得椭圆的离心率的值.【详解】解：如图，设椭圆的左焦点为，连接、、，由题意可知，、关于原点对称，且为的中点，所以四边形为平行四边形，又因为，所以四边形为矩形.因为，设，，则，，所以，，在中，，即，解得，或（舍去），所以，，，在中，由勾股定理可得，即，整理可得，解得.故选：C.7．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先设点为第一象限的交点，根据椭圆和双曲线的定义结合余弦定理得到，再利用三角换元法求解最大值即可.【详解】不妨设点为第一象限的交点，如图所示：则由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可知，所以，，因此，即，所以，即，令，，因此，其中，所以，当时，有最大值，故选：D8．（2024·江西新余·二模）如图，已知为双曲线上一动点，过作双曲线的切线交轴于点，过点作于点，，则双曲线的离心率为（    ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】由与双曲线相切，可得，即可得，作轴于点，结合相似三角形的性质可得，计算即可得的值，从而求出离心率.【详解】设，则，令，则，故，过点作轴于点，则，由，轴，故与相似，故，及，即.又，所以，所以，即，则．其中双曲线上一点的切线方程，证明如下：不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）．由，得，所以，则在的切线斜率，所以在点处的切线方程为：，又有，化简即可得切线方程为：．故选：B.  【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造相似三角形，从而将求的值，转化为求的值.二、填空题9．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）椭圆C的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线另交椭圆C与点B，若，则C的离心率为 .【答案】33/133【分析】作出辅助线，由三角形相似得到，，求出，代入椭圆方程，求出，求出答案.【详解】如图，过B作轴于H，设椭圆方程为，AF2=a，，易知，所以，又，，所以，，得到，代入椭圆方程得，整理得到，所以.故答案为：10．（23-24高二上·天津·期中）已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左､右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为 .【答案】/【分析】由椭圆定义结合题意可得，即而利用余弦定理推出，即可求得答案.【详解】由椭圆的定义可得：，结合，得，又，则在中，，即，化简得，故，故答案为：11．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知是椭圆的左､右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，且，则的离心率为 .【答案】/0.25【分析】根据给定条件，可得为等边三角形，结合对称性得在轴上，求出点的坐标，再由直线的斜率求出椭圆的离心率．【详解】由，且，得为等边三角形，点在线段的中垂线，即轴上，令椭圆半焦距为，则，而点，且直线的斜率为，因此，所以的离心率为.故答案为：12．（24-25高二上·云南楚雄·期中）已知是椭圆：的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则C的离心率是 .【答案】/【分析】根据给定条件，结合椭圆的对称性及定义、余弦定理求得，再利用二倍角公式及离心率的几何意义求出离心率.【详解】不妨设是椭圆的左焦点，是的右焦点，的焦距为，连接，则，又，所以，在中，由余弦定理得，则，即，所以.故答案为：13．（24-25高二上·湖南·期中）已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 .【答案】【分析】作出辅助线，结合题目条件得到方程组，求出，结合双曲线定义得到方程，求出离心率.【详解】设的半焦距为cc>0，如图，设为坐标原点，的中点为的右焦点为，连接，.  因为，所以也是的中点.设，由双曲线的定义得，所以，在中，由，得，所以，在中，由，得.故答案为：.【点睛】方法点睛：求解离心率的常用方法：（1）直接法：直接求出，求解；（2）变用公式，整体求出；（3）利用题目中所给的几何关系或者条件得出的关系；（4）构造的齐次式，解出.14．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线上的两点，为坐标原点，且四边形为菱形，则双曲线的离心率为 .【答案】/【分析】利用双曲线的对称性，连结，根据图形分析可得是直角三角形，且，在结合双曲线的定义，即可得到双曲线的离心率.【详解】如图，  设双曲线的左焦点为，连结，因为四边形是菱形，所以，所以，并且根据对称性可知是等边三角形，所以，，所以根据双曲线定义可知，即，解得，所以双曲线的离心率为.故答案为：.【点睛】方法点睛：一般求双曲线离心率的方法是：1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.15．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知双曲线：与动直线相交于点，，若存在，使得（为坐标原点）为等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围为 .【答案】【分析】令，求出，点坐标，由等边三角形建立方程解得，由方程有解列出不等式，然后由离心率公式得到代数式， 得到范围.【详解】令，则，即，为等边三角形，则，即即有解，则，即，又∵,∴双曲线的离心率的取值范围为故答案为：16．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为 .【答案】/【分析】设的左焦点为，由双曲线的定义，得，又，，在中，由余弦定理可得，结合可得，求得答案.【详解】设为坐标原点，则，从而.  设的左焦点为，连接，由双曲线的定义，得.在中，由余弦定理，得，解得.由，得，解得，所以.故答案为：.17．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知、、分别是椭圆的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为 .【答案】33/133【分析】若，根据椭圆的定义有、，应用余弦定理及得到椭圆参数的齐次方程，即可求离心率.【详解】由为等腰三角形，则有，而，又，，若，则，，所以，在中，在中，，即，整理得，则.故答案为：.18．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为 .【答案】【分析】先根据正弦定理结合双曲线定义求得，然后根据相切对应的垂直关系结合勾股定理得到关于的方程，则离心率可求.【详解】在中，由正弦定理得，且，由，得，由，得为的中点，则，又以为圆心的圆与的延长线相切于点，则，，由，得，则，所以双曲线的离心率.故答案为：考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破