第06讲 导数中切线问题-【寒假提升课】2025年高二数学寒假提升试题（人教A版2019）

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一、在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
二、过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
三、公切线问题一般思路
两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
考法1：求公切线方程
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.
具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，
则f′(x1)＝g′(x2)＝.
考法2：由公切线求参数的值或范围问题
由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．
【考点一：在某一点的切线】
一、单选题
1．（23-24高二下·广东梅州·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据导数几何意义，该点处的导数值为切线的斜率，求出切线斜率，再利用点斜式即可得出所求切线方程.
【详解】由，得，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以所求切线方程为，即.
故选：B.
2．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求导得到切线斜率，再得到直线方程，再得到截距，进而得到面积.
【详解】解：由，
则，
，
所以在处切线的方程为，
令，得，
令，得，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.
故选：A
二、填空题
3．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】先求出切线的斜率，即可写出切线的点斜式方程．
【详解】，所以，
故切线方程为，
故答案为：．
4．（23-24高二下·广西·期末）已知曲线C的方程为，则曲线C在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】根据导数公式求出函数导数即可求解.
【详解】，当时，，
因为切线方程过点，所以，化简得.
故答案为：.
5．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）已知为奇函数，则在处的切线方程为
【答案】x+y=0
【分析】根据奇函数定义求出函数表达式，再结合导数和切线相关知识求解切线方程即可.
【详解】因为
，
所以，
因为为奇函数，
所以对恒成立，
所以，代入函数表达式得，
所以，则，
所以在处的切线方程为，即.
故答案为：x+y=0.
6．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数（f'x是的导函数），则曲线y=fx在处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】由导数的几何意义先求出切线的斜率，再求出切点坐标，由点斜式求出切线方程即可.
【详解】由题意设切点，
因为 ，
令，得，
由导数几何意义知：，
又，
所以切点为，
故曲线在处的切线方程为：，
整理得： .
故答案为：.
【考点二：过某一点的切线】
一、单选题
1．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设切点，结合导数的几何意义可得切线方程，根据切线过点，可得，进而确定切线斜率.
【详解】由，得，
设切点为，
则切线斜率，
即切线方程为，
又切线过点，
则，
整理可得，
解得或或，
则切线斜率为或或，
故选：D．
2．（23-24高二下·安徽·期末）过点能向曲线作切线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】设切点，求导写出切线方程，代入点，化简得到，将题设要求切线条数问题转化为该方程解的个数问题求解.
【详解】设切点为，由求导得,故切线斜率为，则切线方程为：，
因曲线经过点，则，又，则得，，
化简得，（*），
令，则，因，故在上恒成立，
即在上为增函数，
又，而，由零点存在定理可得，在上必有一个零点，
即方程（*）只有一个解，故切线只有一条.
故选：B.
二、多选题
3．（23-24高二下·贵州·期中）过点且与曲线相切的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】运用导数几何意义，结合导数运算，点斜式可解.
【详解】求导得，设切点为，
则，切线方程为，
又切线过点，所以，
整理得，解得或.
当时，，切线方程为.
当时，，切线方程为.
故选：BC.
三、填空题
4．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）过原点的直线与相切，则切点的坐标是 .
【答案】
【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义求出切线方程，将代入，即可求得答案.
【详解】由题意设切点坐标为，
由，得，故直线的斜率为，
则直线l的方程为，
将代入，得，
则切点的坐标为，
故答案为：
5．（23-24高三上·山东青岛·期中）曲线过原点的切线方程为 .
【答案】
【分析】设切点，求导，即可根据点斜式求解切线方程，进而根据直线过原点即可求解切点坐标，进而可求解.
【详解】由得
设切点为，则切线方程为
由于切线经过原点，所以，解得，
所以切线方程为，即，
故答案为：
【考点三：切线中平行、垂直、重合问题】
一、单选题
1．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】B
【分析】求导，根据导数的几何意义可得曲线在处的切线斜率为，结合垂直关系运算求解即可.
【详解】因为，可得，
即曲线在处的切线斜率为，
且直线的斜率为，
由题意可得：，解得.
故选：B.
2．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）函数和的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设切点P的横坐标为（），先根据导数几何意义列方程组，可得，再根据导数求其单调性，根据单调性确定其解，最后根据点斜式求切线方程.
【详解】由，，
则，，
设切点P的横坐标为（），则根据题意可得，
得，即，
设，，
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，又，
所以方程有唯一解，
所以切点P坐标为，切线斜率，
则切线方程为.
故选：D.
二、多选题
3．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知曲线在原点处的切线与曲线在处的切线重合，则（ ）
A．B．
C．D．曲线在处的切线方程为
【答案】ACD
【分析】令，求出的导函数，依题意，即可判断A，又曲线在原点处的切线过点，即可得到，即可判断C，再由求出，即可判断B、D.
【详解】令，则，
依题意，解得，故A正确；
依题意可得曲线在原点处的切线过点，所以，故C正确；
又，所以，
则曲线在处的切线方程为，故B错误，D正确.
故选：ACD
三、填空题
4．（2023·广东茂名·二模）已知曲线在处的切线与在处的切线平行，则的值为 .
【答案】
【分析】求导，根据列方程可得.
【详解】，
由题意可知，，即，解得.
故答案为：
5．（2024高三·全国·专题练习）曲线与在交点处存在公切线，则 ．
【答案】2
【分析】运用导数几何意义，结合导数运算来判定单调性和求最值，计算即可，
【详解】设两曲线的公切点为，因为，，
依题意得，，
由，解得，将代入，
整理得，令，则，令，
则，令，解得（舍负），
当时，；当时，，
所以有最小值f1=0，所以方程有唯一解，此时，解得．
故答案为：2.
【考点四：求公切线】
一、单选题
1．（23-24高二下·河北·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设出直线与曲线和的切点分别为和，由公切线得到方程解出切点坐标，计算求解即可.
【详解】由，得，由，得.
设直线与曲线相切于点，
与曲线相切于点，
则，故.又，
解得，所以直线过点，斜率为1，
即直线的方程为.
故选：A
二、多选题
2．（23-24高二上·山西运城·期末）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】令，则，
令，有，则，
即有，即，故，
令，则，
令，有，则，
即有，即，
故有，即.
故选：BD.
三、填空题
3．（23-24高二下·四川广安·阶段练习）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
【答案】/
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】设曲线与的切点分别为，
易知两曲线的导函数分别为，，
所以，
则.
故答案为：.
4．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为 .
【答案】1
【分析】利用导数求切点处的切线方程，可得，通过指数式对数式的运算，求出的值.
【详解】由，，有，，
在点处的切线方程为，
在点处的切线方程为，
则有，得，
所以，可得.
故答案为：1.
5．（23-24高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据函数在某点处的切线斜率，利用两点间距离，两直线位置关系，结合图象，可得答案.
【详解】
由函数，求导可得：，则，
在处的切线方程为，整理可得：；
由函数，求导可得：，则，
在处的切线方程为，整理可得；
由直线的斜率，易知：直线分别与两条切线垂直..
故答案为：.
【考点五：切线的条数问题】
一、单选题
1．（23-24高二下·广东·期中）过点作曲线的两条切线，.设，的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出两条切线的斜率，由两直线的夹角公式求得夹角的正切值．
【详解】两条切线，的倾斜角分别为，，
根据题意，，
若点是切点时，切线斜率为，
若点是切点（点不重合），则，
由，解得（舍去），
所以直线斜率为，
则．
故选：C．
2．（23-24高三上·陕西·阶段练习）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由导数的几何意义求解即可.
【详解】设切点横坐标为，所作切线斜率为，则，
当时，，故不存在；
当时，满足：.
所以：.
故选：C.
3．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设切点为，表示出切线方程，根据题意可得方程有两个不同的根，由此可得a的范围．
【详解】设切点为，∴切线的斜率，
∴切线方程是，
∵切线过点A（a，0），
∴，即，
∵过点A（a，0）可以作两条切线，
∴方程有两个不同的根，
∴＝（a+1）2﹣4＞0，解得a＞1或a＜﹣3．
故选：D.
4．（24-25高二下·全国·课后作业）若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设切点，根据导数求解斜率，可得和，进而将问题转化为与函数的图象有交点，即可根据导数求解.
【详解】由得，曲线在点处的切线斜率为
由得在点处的切线斜率为，
如果两条曲线存在公共切线，那么．
又由斜率公式可得，由此得到，则有解，
所以直线与函数的图象有交点即可．
当直线与函数的图象相切时，
设切点为，则，且，得，即有切点，此时，
故实数a的取值范围是．

故选：D．
5．（2024高二·全国·专题练习）已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求出切线方程，转化为有三个不等实根，利用导数分析单调性最值，画出图象求参数的取值范围即可.
【详解】设切点坐标为.
由题意得，
所以函数的图像在点处的切线的斜率为，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以，
则，由题意可知，这个方程有三个不等实根.
设，则，
由得，由得或.
所以函数在和上单调递减，
在上单调递增，又当趋近于正无穷时，趋近于；
当趋近于负无穷，趋近于正无穷，且，
所以的大致图象如图，
所以要使直线与函数的图象有三个交点，
则.
故选：C
6．（23-24高二下·湖南衡阳·期中）已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图象交点的个数，结合图象即可得出答案.
【详解】设切点为，由可得，
所以在点处的切线的斜率为，
所以在点处的切线为：，
因为切线过点，所以，
即，即这个方程有三个不等根即可，
切线的条数即为直线与图象交点的个数，
设，
则
由可得，由可得：或，
所以在和1,+?上单调递减，在-1,1上单调递增，
当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷，
的图象如下图，且，
要使与的图象有三个交点，则.
则的取值范围是:.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：关键是通过分离参数得出关于的方程有三个不同的实数根，通过数形结合即可顺利得解.
【考点六：切线问题中的参数问题】
一、单选题
1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知曲线，在点处的切线与直线垂直，则a的值为（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】C
【分析】根据导数求出曲线在点处的切线斜率，再根据两条互相垂直的直线斜率之积等于算出即可.
【详解】，则，
则，曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，解得.
故选：C
2．（23-24高二下·山东枣庄·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切点坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离．
【详解】直线的斜率，函数定义域为0,+?，
点是曲线上任意一点，设，由，
令，解得或（舍去），
，此时，∴曲线上与直线平行的切线的切点为，
所以曲线上点到直线的最小距离，
为点到直线的距离.
故选：C.
3．（23-24高三下·全国·阶段练习）若存在过原点的直线与函数的图象切于轴右侧，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
先求得，设切点为，根据，列出方程，得到，结合方程的根，即可求解.
【详解】
由函数，可得，
设切点为，可得，即，
整理得，解得或（舍去），
因为存在过原点的直线与函数的图象切于轴右侧，
所以，解得，即实数的取值范围为.
故选：D.
4．（23-24高二下·山东·期中）已知曲线过点的切线与函数的图象只有一个公共点，则的值为（ ）
A．0或1B．0或C．D．1
【答案】A
【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，分类讨论和时，方程只有一个解求解即可.
【详解】设切线与曲线的切点为，
函数的导函数为，故，
解得，所以，故切线方程为，
当时，，显然成立，
当时，与联立，，
其中，解得，
综上所述，的值为0或1.
故选：A
5．（24-25高三上·辽宁·期中）若曲线的一条切线为，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】设切点，由题意得，从而构造函数，利用导数求最值即可得解.
【详解】设切点，因为，所以，切线方程为，
整理得，所以，
设得，
又因为时，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
故选：B.
二、填空题
6．（22-23高二下·北京房山·期末）函数，若，则 ．
【答案】/
【分析】求出函数的导数，再由给定导数值求出a值作答.
【详解】函数，求导得，而，
即，解得，
所以.
故答案为：
7．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知曲线在处的切线与曲线相切，则 .
【答案】/
【分析】根据导数的几何意义可得曲线在处的切线，对于，设切点坐标为，可得切线斜率为，求切线方程列式求解即可.
【详解】因为，则，
当，可得，
即切点坐标为，切线斜率为，
则切线方程为，即；
又因为，则，
设切点坐标为，则切线斜率为，
所以切线方程为，即，
可得，解得.
故答案为：.
三、解答题
8．（23-24高二下·河北·开学考试）已知函数（，）的图象过点，且．
(1)求，的值；
(2)求曲线过点的切线方程．
【答案】(1)，．
(2)
【分析】（1）根据题意可得，由， 可得，联立即可得解；
（2）由可设曲线上的切点为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，利用点斜式可得切线方程，带入点，即可得解.
【详解】（1）因为函数的图象过点，所以①．
又，，所以②，
由①②解得，．
（2）由（1）知，
设所求切线在曲线上的切点为，则，
所以切线方程为，
又切线过点，所以，
可得，
，
，解得，
所以切点为，切线方程为．
故曲线过点的切线方程为．
一、单选题
1．（24-25高三上·广东·阶段练习）曲线在x=0处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求导函数，再计算导函数值得出切线斜率，最后应用点斜式写出直线方程即可.
【详解】由，得，
当x=0时，，
故曲线在x=0处的切线方程为，即.
故选：D.
2．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】在已知等式中，以替换，求解方程组得函数的解析式，然后对函数进行求导，进而可得，再求出，然后根据点斜式可得切线方程．
【详解】，
．
解得，，
在处的切线斜率为．
又，
函数在处的切线方程为，
即．
故选：C．
3．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数在点处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而可得交点坐标和面积.
【详解】因为，则，可得，
即切点坐标为，切线斜率为2，
则切线方程为，其与x轴交点为，
所以切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为.
故选：B.
4．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知曲线与曲线有唯一交点，且在交点处有相同的切线，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】D
【分析】根据两曲线交点和导数几何意义可求得切线斜率，由此可构造方程求得a的值.
【详解】当时，曲线与曲线有唯一交点，
当时，因为和在0,+?上单调递增，
故函数在0,+?上单调，
因为曲线在0,+?上单调递增，且两曲线有相同切线，
所以函数在0,+?上单调递增，故，
，，与的交点为，
，在处的切线斜率，
，，解得：.
记，则，
所以在0,+?上单调递减，故有唯一解，
即曲线与曲线有唯一交点，满足题意.
故选：D.
5．（2024高三·全国·专题练习）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】C
【分析】设切点为，利用导数的几何意义及点斜式直线方程求出切线方程，根据过点建立方程，求得切点的个数即为切线的条数.
【详解】设切点为，由，所以，得，
所以切线方程为，即．
因为切线过点，所以，解得或，
所以过点作曲线的切线可以作2条.
故选：C
6．（2024·四川成都·二模）直线与函数和的图象都相切，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】设直线与函数的切点为x1,y1，与函数的切点为x2,y2，根据导数的几何意义即切点的坐标，可求的值.
【详解】设直线与函数的切点为x1,y1，则.
设直线与函数的切点为x2,y2，则.
由；
由，；
由.
由，所以.
故选：D
7．（24-25高三上·湖南怀化·期中）已知过点可以作函数的三条切线，如果，则和应该满足的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求出过点的切线方程，再构造函数并利用导数求出函数有3个零点的条件即可.
【详解】设切点，由，求导得，
则切线方程为，由切线过点，
得，整理得，
令函数，求导得，而，
当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得极小值，在处取得极大值，
由过点可以作函数的三条切线，得有3个不等实根，
即函数有3个零点，所以.
故选：D.
二、多选题
8．（2024高三·全国·专题练习）若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】依次对各项函数求导，根据导数的几何意义，及已知切线的斜率判断是否存在导数值为，即可得答案.
【详解】直线的斜率为，
由的导数为，故A错；
由的导数为，令，解得，故B对；
由的导数为，而有解，故C对；
由的导数为，令，解得，故D对．
故选：BCD
9．（24-25高三上·重庆·阶段练习）记函数的图象为曲线，点不在曲线上，过点作曲线的切线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，可作1条切线
B．若，，可作0条切线
C．若，，可作3条切线
D．若，，可作2条切线
【答案】BCD
【分析】根据数形结合得到在上方，作两条切线的切点横坐标，，一个在，一个在，而若在下方，上方若，则两切点都在上，若，则两切点都在上，对，根据对称性也有类似结论.
【详解】曲线如图实线部分，不妨补全下方图象，

显然，曲线的切线必在其“凸面”，即单独对而言，在时不可作切线，在时不可作切线，而在其“凹面”能作条切线，

因此在区域内和都不可作切线，
因为在处切线为，
所以又可分为三个区域，在上方，作两条切线的切点横坐标，，一个在，一个在，
而若在下方，上方，
若，则两切点都在上，

若，则两切点都在上，

对，根据对称性也有类似结论，
回到题目中，可分为如图的个区域，区域不可作切线，

由于区域和在的“凹面”，故在段必不可作切线，
由于区域在上方，区域在下方，
所以在上区域可作条切线，区域可作条切线，
根据对称性，区域和区域在的“凹面”，
所以在必不可作切线，区域在下方，区域在上方，
所以在上，区域可作条切线，区域不可作切线，
同理，区域在，的“凸面”，又在上侧，上侧，
所以在可作条切线，在可作条切线，
所以区域可作条切线，由对称性知区域仅在作条切线，
最后，区域在可作条切线，在可作条切线，
对于A选项，因为，，
所以区域内可作一条切线，而区域可作条切线，故A错误；
对于B选项，因为，，
所以在区域，可作条切线，故B正确；
对于C选项，因为，，
所以在区域上，可作条切线，故C正确；
对于D选项，因为，，
所以在区域上，可作条切线，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：本题关键在于灵活运用数形结合的方法并得出普适性结论.
三、填空题
10．（2024高三·全国·专题练习）过点作曲线的切线，则切点坐标为 .
【答案】/
【分析】设出切点坐标，利用导数来求得正确答案.
【详解】由，得，，化简得，，
则，设切点为，显然不在曲线上，
则，解得，则切点坐标为.
故答案为：
11．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知，设函数的图象在点处的切线为l，则l与轴交点的坐标为 ．
【答案】0,1
【分析】先根据导数的几何意义求出切线l的方程，进而求解即可.
【详解】由，，
而，则，
所以切线l的方程为，
令，得，
即l与轴交点的坐标为.
故答案为：.
12．（2024高三·全国·专题练习）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】设出切点，利用导数的几何意义求出切线方程，代入原点坐标，根据关于的方程有两不等根由可解.
【详解】，.
设切点为，则，切线斜率，
切线方程为.
切线过原点，，
整理得.
切线有两条，，解得或，
的取值范围是.
故答案为：.
13．（2024高三·全国·专题练习）已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 .
【答案】或(写出其中一条即可)
【分析】分别设、并利用导数几何意义写出切线方程，根据所得切线相同列方程求参数，即可得切线方程.
【详解】设公切线与相切于点，与相切于点，
，，则公切线斜率，
公切线方程为或，
整理得或，
所以，即，
，解得或，
公切线方程为或.
故答案为：或