第09讲 导数中的极值点偏移问题-【寒假提升课】2025年高二数学寒假提升试题（人教A版2019）

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一、极值点偏移
1、极值点偏移定义
极值点偏移是函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图象不具有对称性。例如我们学过的二次函数为标准的对称结构，也有对称轴，但是有些函数没有对称轴，即关于类对称轴对称的两点横坐标之和不等于对称点横坐标两倍，我们把这种现象叫做极值点偏移
2、极值点偏移的原理
函数自身所导致的在极值点左右两端增速不一样
3、极值点偏移的图形定义
①左右对称，无偏移，如二次函数；若，则
②左陡右缓，极值点向左偏移；若，则
③左缓右陡，极值点向右偏移；若，则
二、极值点偏移的判断
根据极值点偏移的定义可知：当题干中出现等条件而求证不等式成立的时候，即可视为极值点偏移考察
三、答题模板（对称构造）
若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.
（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；
假设此处在上单调递减，在上单调递增.
（2）构造；
注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.
（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；
假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.
（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；
接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.
（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.
四、其他方法
1、比值代换
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
2、对数均值不等式
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
3、指数不等式
在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：
【考点一：极值点偏移：加法型】
一、解答题
1．（2024高二上·全国·专题练习）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）构造函数与，利用导数证得，再利用（1）中结论可得，从而得解.
【详解】（1）函数的定义域为，
，
当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）令函数，
代入化简得，
令，求导得，
当时，，即在上单调递减，于是，
则当时，，即，
所以时，，
由题意不妨令，则，
又，所以，
根据（1）知在上单调递增，
而，所以，故得证.
2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若恒成立，求的范围；
(3)若在内有两个不同零点，求证：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，即可求解斜率，根据点斜式求解切线方程，
（2）构造函数，求导，根据单调性可得，进而
，构造函数，求导判断单调性，即可求解最值得解.
（3）根据hx在单调递减.证明，即可求证，构造函数
以及，利用导数求解单调性，即可求证.
【详解】（1），
则，，
故切线方程为，即，
（2），
令，
令，
当在0,+?单调递增，且，
当时，，
解集为，
故，进而即，
令，，
当单调递增，当，单调递减，
当时，，
，因此，
故
（3）在内有两个不同零点，
则有两个根，即，
由（2）知，当x?0,? hx在单调递增，单调递减.
故，
欲证，即证，
由于，hx在单调递减.即，即，
即证，即，
即证即证显然成立，
欲证 即证，即证
即证，即证，即证
令，则，
令，
故在单调递增，且，
在单调递增，，得证
【点睛】方法点睛：利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
3．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数.
(1)当时，试讨论的单调性；
(2)若函数有两个不相等的零点，，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
【答案】(1)答案见解析；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【分析】（1）利用导数并讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性；
（2）（i）结合（1）的单调性判断、的符号，排除，再在的情况下研究的单调性和最值，根据零点的个数求参数范围；
（ii）由（i）有，分析法将问题化为证明，进而构造并利用导数研究其符号，即可证结论.
【详解】（1）由题设，且，
当时，在上，在上，在上，
所以，在、上单调递增，在上单调递减；
当时，在上恒成立，故在上单调递增；
当时，在上，在上，在上，
所以，在、上单调递增，在上单调递减.
（2）（i）由，
若时，，
令且，则，
所以时，时，
故在上递增，在上递减，则，
所以，
结合（1）中的单调性，易知不可能出现两个不相等的零点，
又时，在上只有一个零点，不满足，
所以，此时，在上，在上，
故在上单调递减，在上单调递增，则，
又趋向于0或负无穷时，趋向正无穷，只需成立，
显然在上递减，且当时，
所以，时恒成立，即所求范围为；
（ii）由（i），在时，存在两个不相等的零点，
不妨令，要证，即证，而，
由（i）知：在上单调递增，只需证，
由，则
令，且，
则
，
所以，在上，即在上递增，
所以，即成立，
所以，得证.
【点睛】关键点点睛：第二问，首先利用第一问及其零点个数将参数范围限定在，进而利用导数研究其最值求范围，再令，将问题转化为证是关键.
4．（24-25高二上·河北·阶段练习）已知函数.
(1)若该函数在单调递增，求的取值范围.
(2)当时，若方程有两个实数根，且，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数与单调性的关系讨论求解；
（2）构造函数，利用导数讨论其单调性，并结合即可证明.
【详解】（1）由题意，
当时，f?x>0，在0,+?上单调递增，满足题意；
当时，当时，f?x0，在上单调递增，
又该函数在单调递增，故，
综上可知，的取值范围为
（2）当时，，
由（1）可知在0,1上单调递减，在1,+?上单调递增，
所以，令，
则，
所以在0,1上单调递减，，即，
令，则，故，
又在1,+?上单调递增，，所以，
故
【点睛】方法点晴:对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略:
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围;
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.
【考点二：极值点偏移：减法型】
一、解答题
1．（23-24高二下·云南·期中）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：.
【答案】(1)在上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）求定义域，求导，结合得到，即f?x>0在0,+?内恒成立，所以在0,+?内单调递增；
（2），求导，得到函数单调性，得到，构造，求导得到函数单调性，得到，再构造，求导得到函数单调性，得到，两式结合得到答案.
【详解】（1）由题意可知：的定义域为0,+?，
，
令，可得，当时，即，
，可知在0,+?上恒成立，
即f?x>0在0,+?上恒成立，所以在0,+?上单调递增.
（2）当时，可得，
，
或
故在上单调递增，在上单调递减，
由题意可得：，
因为，
令，
则，
可知在0,1上单调递增，
则，可得在0,1上恒成立，
因为，则，
且在上单调递减
则，即；
令，
则，
可知hx在上单调递增，则，
可得在上恒成立，
因为，则，
且在上单调递增，
则，即；
由和可得.
【点睛】关键点点睛：构造两次差函数，解决极值点偏移问题，即构造，求导得到函数单调性，得到，再构造，求导得到函数单调性，得到.
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间与极值．
(2)若，求证：．
【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数可求得的单调区间，并确定极值点，由此可进一步求得极值；
（2）根据单调性和极值可确定的范围，利用极值点偏移的证明方法，构造函数，，可证得，，结合不等式的性质可证得结论.
【详解】（1）定义域为，，
令，解得：或，
当时，；当时，；
的单调递增区间为和，单调递减区间为；
的极大值为，极小值为.
（2）由（1）知：，，．
令，，
则；
令，则；
令，则，
在上恒成立，在上单调递增，
，
在上恒成立，在上单调递增，，
在上恒成立，在上单调递增，，
对任意恒成立．
，，又，，
在上单调递增，，，即；
令，，
则；
在上单调递增，，
在上恒成立，在上单调递增，
，对任意恒成立．
，．又，，
在上单调递增，且，，；
由得：，，.
【点睛】思路点睛：本题第（1）问用到导数零点九字诀：有没有，在不在，比大小．第（2）问用到第（1）问的两个极值点和，然后两次利用极值点偏移法，得出两个不等式和，再利用这两个不等式巧妙得出所要证明的不等式．
3．（23-24高二下·天津·阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；
①求证：；
②求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论，结合函数的定义域，即可求函数的单调区间；
（2）①要证，即证，只需证，构造函数，，借助导数即可得证；②同①中证法，先证，则可得，利用、是方程的两根所得韦达定理，结合即可得证.
【详解】（1），，
其中，，
当时，即，此时恒成立，
函数在区间单调递增，
当时，即或，
当时，在区间上恒成立，
即函数在区间上单调递增，
当时，，得或，
当，或时，，
当时，，
所以函数的单调递增区间是和，
单调递减区间是，
综上可知，当时，函数的单调递增区间是；
当时，函数的单调递增区间是和，
单调递减区间是；
（2）①由（1）知，当时，函数的单调递增区间是和，
单调递减区间是，、是方程的两根，
有，，
又的图象与有三个公共点，
故，则，
要证，即证，又，
且函数在上单调递减，即可证，
又，即可证，
令，，
由，
则
恒成立，
故在上单调递增，即，
即恒成立，即得证；
②由，则，
令，，
则
，
故在上单调递增，即，
即当时，，
由，故，又，故，
由，，函数在上单调递减，故，
即，又由①知，故，
又，
故.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先证，从而借助①中所得，得到.
【考点三：极值点偏移：乘法型】
一、解答题
1．（2024·广东湛江·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．
【答案】(1)在上单调递增，上单调递减，
(2)见解析
【分析】（1）求出f'x，根据导数的符号判断函数的单调性；
（2）由，得，设，画出的图象可得；由，设，对hx求导可得，又，再由在1,+?上单调递减，可得，即可证明.
【详解】（1）由题意可得，所以，
的定义域为0,+?，
又，由，得，
当时，f?x>0，则在0,1上单调递增，
当时，f?x